Les bons choix de Diophante
Problème G139 de Diophante
1 Diophante a l'assurance de recevoir le gros lot s'il gagne aux échecs deux parties d'affilée sur les trois parties qu'il doit jouer contre Hippolyte (H) et Théophile (T) selon l'une des deux séquences H-T-H ou T-H-T. Hippolyte est de loin le plus fort des trois joueurs. Que Diophante joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie contre un joueur donné est toujours la même. Diophante a le choix de la séquence. Quel est son bon choix ?
2 Diophante a l'assurance de recevoir un deuxième gros lot s'il gagne au moins n+1 parties sur les 2n parties qu'il doit jouer contre Hippolyte. Qu'il joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie est égale à 0,45.
Diophante a le choix du nombre de parties. Quel est son bon choix ? Solution
1 – Pour gagner deux parties consécutives Diophante doit nécessairement gagner la deuxième. Intuitivement, il a intérêt à affronter, à cette deuxième partie, l’adversaire le plus faible : donc à choisir la séquence H-T-H.
Confirmons cette intuition par le calcul.
Notons h la probabilité qu’a Diophante de gagner contre Hippolyte et t celle de gagner contre Théophile, avec 0 < h < 0,5 et h < t.
Les événements permettant à Diophante de gagner le gros lot sont GGG, GGP et PGG (G pour gain et P pour perte).
Dans l’hypothèse H-T-H, la probabilité cherchée est hth + ht(1-h) + (1-h)th ; soit ht(2 - h) et ht(2 - t) dans l’autre hypothèse.
Du fait h < t on a 2 - h > 2 – t. Ce qui confirme l’intuition première.
Savoir qu’Hippolyte est meilleur que Diophante n’apporte rien, au problème posé mais compromet les chances de Diophante de gagner le gros lot.
2 – Le tableau ci-dessous contient les nombres C(m,k).pm.(1-p)m-k (1 ≤ m ≤ 16 et 0 ≤ k ≤ 8), avec p = 0,45.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,4500 0,5500
2 0,2025 0,2025 0,4950 0,3025
3 0,0911 0,3341 0,4084 0,1664
4 0,2415 0,0410 0,2005 0,3675 0,2995 0,0915
5 0,0185 0,1128 0,2757 0,3369 0,2059 0,0503
6 0,2553 0,0083 0,0609 0,1861 0,3032 0,2780 0,1359 0,0277
7 0,0037 0,0320 0,1172 0,2388 0,2918 0,2140 0,0872 0,0152
8 0,2604 0,0017 0,0164 0,0703 0,1719 0,2627 0,2568 0,1569 0,0548 0,0084 9 0,0008 0,0083 0,0407 0,1160 0,2128 0,2600 0,2119 0,1110 0,0339 10 0,2616 0,0003 0,0042 0,0229 0,0746 0,1596 0,2340 0,2384 0,1665 0,0763 11 0,0002 0,0021 0,0126 0,0462 0,1128 0,1931 0,2360 0,2060 0,1259 12 0,2607 0,0001 0,0010 0,0068 0,0277 0,0762 0,1489 0,2124 0,2225 0,1700 13 0,0000 0,0005 0,0036 0,0162 0,0495 0,1089 0,1775 0,2169 0,1989 14 0,2586 0,0000 0,0002 0,0019 0,0093 0,0312 0,0762 0,1398 0,1952 0,2088 15 0,0000 0,0001 0,0010 0,0052 0,0191 0,0515 0,1048 0,1647 0,2013 16 0,2558 0,0000 0,0001 0,0005 0,0029 0,0115 0,0337 0,0755 0,1318 0,1812
La probabilité, pour Diophante, de gagner au moins n+1 parties est la somme des cases colorées à la ligne 2n, où k exprime le nombre de parties gagnées par Hippolyte.
Le total (en gras, en deuxième colonne) est maximum pour m = 10 (n = 5).
Le bon choix pour Diophante est de vouloir jouer dix parties.
