CONTRÔLE N°8 TS.
Vendredi 18 mai 2018.
2 heures I. Dans cet exercice, les calculs seront détaillés.
Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O,u,v).
On pose z1 3 3i, z2 4 3 4i et z3 2 i. A, B et C sont les points d affixes respectives z1, z2 et z3. 1. Écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
2. Écrire z1
z2
sous forme algébrique puis sous forme exponentielle 3. En déduire la valeur exacte de cos
11
12 puis celle de cos
12 . 4. Donner une mesure de l angle (OB OA).
5. Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que |z 2 i| 4.
II. Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10 3.
Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour.
Les trois parties sont indépendantes.
Partie A.
Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10. Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70% des cas.
On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :
• A : « le client choisit de faire l’aller en bateau »;
• R : « le client choisit de faire le retour en bateau ».
On note p la probabilité de l événement A.
Une étude a montré que la probabilité que le client utilise deux moyens de transport différents pour l aller et le retour est 0,31.
On choisit au hasard un client de l’agence.
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Montrer que p 0,65.
3. On choisit au hasard un client qui a fait le retour en train. Déterminer la probabilité qu il ait fait l aller en bateau.
4. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport. On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse assimiler l expérience à un tirage avec remise.
a. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.
b. Déterminer la probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.
c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 5 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
5. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de 1560€ en bateau; il est de 1200€ en train.
On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
a. Déterminer la loi de probabilité de Y.
b. Calculer l’espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat.
Partie B.
Le temps d attente d un client lorsqu il prend le train, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1 20].
1. Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ? 2. Préciser le temps d'attente moyen.
Partie C.
On modélise la durée de vie, en années, d un moteur de bateau par une variable aléatoire D suit une loi exponentielle de paramètre . On sait que P(D 8) 0,3.
1. Donner la valeur exacte de . Pour la sui te, on prendra 0,045.
2. Déterminer la probabilité qu un moteur ait une durée de vie de plus de 10 ans.
3. Déterminer la probabilité qu un moteur ait une durée de vie d exactement 9 ans et 3 mois.
4. Déterminer la probabilité qu un moteur qui a déjà 5 ans dure encore plus de 8 ans.
5. Déterminer la durée de vie moyenne d un moteur. Arrondir à l année.
III. On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O,u,v).
A est le point d affixe 1 et B est le point d affixe 2 3i. Le but de l exercice est de déterminer l affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct.
1. Justifier que ar g
zC zA
zB zA 3 et que
zC zA zB zA 1 2. En déduire la forme algébrique de zC zA
zB zA
. 3. En déduire l affixe de zC.
IV. On considère la suite ( )wn définie par w0 1 et, pour tout nombre entier n 1, nwn (n 1)wn 1 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
wn 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
1. Calculer w10.
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer l expression de wn en fonction de n. Justifier.
3. Donner la nature de la suite ( )wn . Justifier.
CORRECTION DU CONTRÔLE N°8 TS
I.
1. | |z1 3 2 (diagonale d un carré de côté 3) et graphiquement arg( ) 3
4 (2 ).
La forme exponentielle de z1 est 3 2e
3i 4
| |z2 (4 3)2 42 8
Soit un argument de z2. cos( ) 4 3
8
3
2 et sin( ) 4 8
1
2 donc π 6 (2 ) La forme exponentielle de z2 est 8e
i 6. 2. z1
z2
3 3i 4 3 4i
( 3 3i)(4 3 4i) (4 3 4i)(4 3 4i)
12 3 12 64
12 12 3 64 i z1
z2
3 3 3 16
3 3 3
16 i. La forme algébriq ue de z1
z2
est 3 3 3 16
3 3 3 16 i.
D autre part, z1
z2
3 2e
3i 4
8e
i 6
3 2
8 ei( 34 6) 3 2
8 ei( 1112 ).
La forme exponentielle de z1
z2
est 3 2 8 e
11i 12 .
3. cos
11
12 cos
arg
z1
z2
Re
z1 z2
z1
z2
3 3 3 16 3 2
8
1 3
2
2 6
4
cos
12 cos
11
12 cos
11 12
2 6
4
4. (OB OA) (OB u) (u OA) (u OA) (u OB) arg( )z1 arg( )z2 argzz1
2
donc (OB OA) 11
12 .
5. Soit (E) l ensemble cherché.
M(z) (E) ssi |z 2 i| 4
ssi |z (2 i)| 4
ssi |zM zC| 4
ssi C M 4
(E) est le cercle de centre C et de rayon 4.
II. Partie A.
1. On peut construire l arbre pondéré ci-contre : 2. La probabilité que le client choisisse deux moyens de transport différents est
P A R P(A R) P(A) PA( )R P( )A PA
(R) p 1
10 (1 p) 7
10 7 10
3 5 p Ainsi 7
10 3
5 p 0,31 donc 3
5p 0,39 donc p 0,65.
3. P
R(A) P(R A)
P( )R
A
p
R 9
10
R 1
10
A
1-p R
7 10
R 3
10
Calculons P( )R : A et A forment une partition de donc, d après la formule des probabilités totales, P( )R P(A) PA( )R P( )A PA( )R 0,65 0,1 0,35 0,3 0,17.
Ainsi , P
R(A) 0,65 0,1 0,17
13
34 0,382.
Lorsqu on choisit au hasard un client qui a fait le retour en train, la probabilité qu il ait fait l aller en bateau est environ 0,382.
4.
a. On répète 20 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un client et à noter s il utilise les deux moyens de transport. La probabilité qu il utilise les deux moyens de transport est 0,31. Alors X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,31.
b. D après la calculatrice, P(X 12) 0,005. La probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents est environ 0,005.
c. P(X 5) 1 P(X 5) 1 P(X 4) 0,791.
La probabilité qu’il y ait au moins 5 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est environ 0,791.
5.
a. Les valeurs prises par Y sont 3120, 2760 et 2400.
Voici la loi de probabilité de Y :
k 3 120 2 760 2 400
P(Y k) P(A R) 0,65 0,9 0,585
0,31 P A R 0,35 0,3
0,105 b. E(Y) 3120 0,585 5760 0,31 2400 0,105 2932,80.
Sur un grand nombre de clients, le coût moyen d un trajet aller-retour est 2930€80.
Partie B.
Le temps d attente d un client lorsqu il prend le train, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1 20].
1. P(T 12) P(12 T 20) 20 12
20 1 8
19 0,421.
La probabilité d'attendre plus de douze minutes est environ 0,421.
2. E(T) 20 1
2 10,5. Le temps d'attente moyen est 10 minutes et 30 secondes.
Partie C.
On modélise la durée de vie, en années, d un moteur de bateau par une variable aléatoire D suit une loi exponentielle de paramètre . On sait que P(D 8) 0,3.
1. P(D 8)
0
8 e tdt
e t
0 8
e 8 1 1 e 8 0,3 donc e 8 0,7 donc ln(0,7)
8 . Pour la sui te, on prendra 0,045.
2. P(D 10) 1 P(D 10) 1
0
10 e( t)dt 1
e t
0 10
1 (1 e 10 e 0,45 0,638 La probabilité qu un moteur ait une durée de vie de plus de 10 ans est environ 0,638.
3. La probabilité qu un moteur ait une durée de vie d exactement 9 ans et 3 mois est 0.
4. PT 5(D 5 8) P(D 8) car D suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
1 P(D 8) 1 0,3 0,7.
La probabilité qu un moteur qui a déjà 5 ans dure encore plus de 8 ans est 0,7.
5. E(T) 1
22,222.
La durée de vie moyenne d un moteur est environ 22 ans.
III. On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O,u,v).
A est le point d affixe 1 et B est le point d affixe 2 3i. Le but de l exercice est de déterminer l affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct.
1. arg
zC zA
zB zA
arg(zC zA) ar g(zB zA) (u AC) (u AB)
(AB u) (u AC) (AB AC)
3 car ABC est équilatéral direct.
zC zA zB zA
|zC zA|
|zB zA|
AB
AB 1 car ABC est équilatéral.
2. D après la question 1, zC zA
zB zA
1e
i
3 cos
3 isin
3
1 2
i 3 2 . La forme algébrique de zC zA
zB zA
est 1 2
i 3 2 . 3. zC zA
zB zA 1 2
i 3
2 donc zC
1
2
i 3
2 (zB zA) zA
1
2 i 3
2 (1 3i) 1 zC
3 3 3 2
3 3 3
2 i
IV.
1. 10w10 (10 1)w9 1 11 19 1 210 donc w10
210 10 21.
2. Il semble que, pour tout n de , wn 2n 1. Prouvons-le.
Initialisation : pour n 0 : w0 1 et 2 0 1 1 donc w0 2 0 1. La propriété est vraie pour n 0.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que wp 2p 1. Montrons que wp 1 2(p 1) 1 2p 3.
(p 1)wp 1 (p 2)wp 1 (p 2)(2p 1) 1 2p² 5p 3.
Factorisons le trinôme : 1 et le trinôme a deux racines réelles qui sont 3
2 et 1. On a donc
2p² 5p 3 2
p 3
2 (p 1) (2p 3)(p 1)
Ainsi, (p 1)wp 1 (2p 3)(p 1) et donc, puisque p 1 est non nul, wp 1 2p 3.
Conclusion : pour tout n de , wn 2n 1.
3. ( )wn est donc une suite arithmétique de raison 2 et de 1er terme u0 1.
