L OIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

L OIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

L OIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

Le hasard c'est Dieu qui se promène incognito.

Albert Einstein

Dans les situations étudiées jusqu'à présent, à une expérience aléatoire, on associait un univers ni muni d'une loi de probabilité P. Toute variable aléatoire ne prenait alors qu'un nombre ni de valeurs.

Cependant certaines expériences aléatoires conduisent à utiliser des variables aléatoires qui prennent toutes les valeurs d'un intervalleI de R.

Dans ce cas dit continu, il n'est plus possible de dénir une loi de probabilité sur I en donnant la probabilité de chaque élément de I sous forme de tableau car dans I, il y a une innité de valeurs.

De plus les événements intéressants ne sont plus obtenir telle ou telle valeur mais ob- tenir une valeur comprise entreaetb .

Parmi les phénomènes continus nous trouvons : les temps d'attente, les durées de vie ...

1 L

Dans ce paragraphe I désigne un intervalle (borné ou non) deR.

On appelle densité de probabilité surItoute fonction f dénie sur I telle que

f est continue sur I (éventuellement par morceaux).

f est positive sur I. Z

I

f(x)dx= 1

1 u.a.

x y

I

C_f

Z

I

f(x)dx= 1

Dénition 1 (Densité de probabilité).

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

LorsqueIest non borné, par exempleI =

0 ; +∞

, alors : Z

I

f(x)dx= lim

M→+∞

Z _M

0

f(x)dx On ose alors, lorsque la limite existe et est nie, écrire Z +∞

0

f(x)dx. C'est une intégrale dite généralisée (notion abordée dans le supérieur).

Exercice 1

1. Soit f la fonction dénie sur h 0 ; π

2

iparf(x) = cosx. Démontrer que f est une densité de probabilité sur h

0 ; π 2

i. 2. Soit gla fonction dénie sur

1 ; +∞

parg(x) = 1 x². Démontrer que g est une densité de probabilité sur

1 ; +∞

. Exercice 2

Soit f la fonction dénie sur 0 ; 1

parf(x) =ax(1−x)².

Déterminer apour que la fonction f est une densité de probabilité sur 0 ; 1

.

Soit f une densité de probabilité surI. Dire qu'une variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I signie qu'à tout inter- valleJ inclus dansI, on associe la probabi- lité :

P(X∈J) = Z

J

f(x)dx

1 u.a.

x y

J

Cf P(X∈J) =

Z

J

f(x)dx

Dénition 2.

L'événementX∈Jsignie queXprend toutes les valeurs de l'intervalleJ. Cette notation est abusive mais elle prolonge la notation X=adéjà utilisé précédemment.

On utilisera également les notations a 6 X 6 b, X > a, X 6 b, etc. où a et b appar- tiennent àI.

La fonction densitéf est positive surI donc pour toutJ ⊂I, on aP(X∈J)>0d'après la positivité de l'intégrale. Comme

Z

I

f(x)dx= 1, alors P(X∈J)61. Les probabilités seront donc toujours des valeurs comprises entre 0 et 1.

pour tout a∈I, on aP(X=a) = 0 car Z _a

a

f(x)dx= 0.

Exercice 3

1. SoitX la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densitéf dénie à l'exercice 1.

CalculerPπ

6 6X6 π 4

.

2. Soit Y la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité g dénie à l'exercice1.

CalculerP(Y <4)etP(Y >10).

Soit X un variable aléatoire qui suit une loi de probabilité de densitéf sur I. L'espérance mathématique de X, notée E(X), est dénie par :

E(x) = Z

I

xf(x)dx

Exercice 4

1. Soit F la fonction dénie sur R⁺ parF(x) = 1−(1 +x)e^−x. Calculer la dérivée f de F.

2. a. Démontrer que f est une densité de probabilité.

b. Soit X une variable aléatoire à valeurs dansR⁺, de densitéf. CalculerP(1≤X <2).

3. a. Déterminer les réels,α,βetγtels que la fonctionGdénie parG(x) = αx²+βx+γ e^−x soit une primitive de la fonction x7→xf(x).

b. En déduire¹ l'espérance de X.

2 P

:

Soient aetbdeux réels tels que a < b. On dit que la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle

a;b si elle admet pour densité de probabilité la fonc- tion f dénie par :

f(x) = 1 b−a

x y

a b

1 b−a

X∼U a;b Notation Dénition 4.

Exercice 5

Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité.

Exemple 1

Le temps d'attente à une station de métro suit une loi uniforme sur 0 ; 3

si un métro passe toutes les trois minutes.

1. On aura besoin d'utiliser le résultat suivant, que l'on admet : lim

M→+∞

M² e^M = 0.

Il existe une innité de lois uniformes, la seule connaissance de l'intervalle permet de dé- terminer la densité associée à la loi uniforme.

Exercice 6

1. Déterminer les fonctions densités associées aux lois uniformes suivantes :

a. X ∼U 1 ; 3 b. X ∼U

−2 ; 5

c. X ∼U 0 ; 2 d. X ∼U

−2 ; 2

2. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.

Justier.

Questions Réponses

1. Deux lois uniformes peuvent avoir des densités qui ont les mêmes

expressions. V

F 2. On peut dénir une loi uniforme sur l'intervalle

0 ; +∞

. V

F

Soient α etβ deux réels de a;b

avec α < β.

AlorsP(α 6X6β) = β−α

b−a = longueur de α;β longueur de

a;b. Proposition 5.

À faire.

Preuve

Exercice 7

SoitX une variable aléatoire de densitéf, suivant la loi uniforme sur 2 ; 22

. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.

Justier.

Questions Réponses

1. Pour tout intervalle α;β

inclus dans 2 ; 22

, on a P(α6X 6β) = α−β

20 .

V F

2.P(X>12) =P(X <12) V

F 3. La probabilité que l'événement 106X612 se réalise

sachant que l'événement 106X618 est réalisé est égale à 0,25. V F

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a;b

avec a < b.

Alors l'espérance mathématique deX estE(X) = a+b 2 .

À faire.

Preuve

Exercice 8

La durée de communication téléphonique entre Ophélie et Julien ne dépasse jamais 2 heures et on suppose que sa durée exacte, en heures, est une variable aléatoire de densité f qui suit une loi uniforme sur

0 ; 2 .

1. Ophélie appelle Julien au téléphone.

Déterminer la probabilité que la durée de communication soit : a. au plus égale à 1 h 15 min.

b. au moins égale à 20 min.

c. comprise entre 45 min et 1 h 20 min.

2. Déterminer la durée moyenne d'une communication téléphonique entre Ophélie et Julien.

Exercice 9

Le temps d'attente à un guichet de gare, exprimé en minutes, est une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur un intervalle

a;b . Déterminer aetbsachant que :

Le temps moyen d'attente est de 6 minutes.

60% des voyageurs ont un temps d'attente supérieur à 5 minutes.

3 D

:

On dit qu'une variable aléatoireXsuit la loi exponentielle de paramètreλ >0si elle ad- met pour densité la fonction f dénie par :

f(x) =λe^−λx x

y λ

X∼E (λ) Notation Dénition 7.

Exercice 10

Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité.

Exemple 2

La durée de vie d'un composant électronique est modélisée par une loi exponentielle.

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ >0. Alors, pour tous teth positif, on a :

P_X>t(X>t+h) =P(X >h)

On dit alors qu'une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.

Proposition 8.

À faire.

Preuve

Exercice 11

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. La duréeX (en heures) d'un match de tennis suit la loi exponentielle de paramètre 0,34.

Quelle est la probabilité que le match dure plus de 5 heures ?

2. Déterminer la valeur du paramètre λ de la densité f : t 7→ λe^−λt sachant que la loi de probabilité dénie par f vérie P

0 ; 4

= e²−1 e² . Exercice 12

Soit X une variable aléatoire de densité f, suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.

Justier.

Questions Réponses

1. Il existe un unique réel atel queP(X > a) =P(X 6a)et ce réel est égal à ln 2

lnλ.

V F 2. SiX vérie P(X >5) = 1

4 alorsP_X>2(X>7) = 1

4. V

F

X ∼E (λ) oùλest un réel strictement positif.

Soient α etβ deux réels positifs tels queα6β.

P(X 6α) = 1−e^−λα

P(X >α) =e^−λα P(α6X 6β) =e^−λα−e^−λβ Proposition 9.

À faire Preuve

D'après une étude statistique sur la durée d'attente, en minute, aux vingt caisses d'un hyper- marché :

six caisses ont une durée d'attente qui suit une loi exponentielle de paramètreλ= 0,05; les autres caisses ont une durée d'attente qui suit la loi exponentielle de paramètreµ= 0,1.

Un client choisit une caisse au hasard. On note T sa durée d'attente exprimée en minute.

1. On désigne part un nombre positif. On se propose de déterminerP(T 6t). a. Représenter la situation par un arbre pondéré.

b. En déduire P(T 6t).

2. Calculer à 10⁻³ près la probabilité que le client attende : a. moins d'un quart d'heure ;

b. plus de 10 minutes ; c. entre 5 et 20 minutes.

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ >0. Alors l'espérance mathématique deX estE(X) = 1

λ. Proposition 10.

Indication : 1. SoitM ∈h

0 ; +∞h .

Calculer, en fonction deM, l'intégraleZ M 0

λxe^−λxdxen cherchant une primitive deg:x7→λxe^−λx sous la forme d'une fonction polynôme-exponentielle G:x7→(ax+b)e^−λx.

2. En déduireE(X).

Preuve

La variance d'une variable aléatoireX estV(X) =E (X−E(X))² . SiX suit la loi exponentielle de paramètreλ >0 alorsV(X) = 1

λ² (hors-programme).

Exercice 14

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle d'espérance 1000.

Déterminer la densité de probabilité de X puis calculerP(X 65).