Enonc´e G139 – Les bons choix de Diophante Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Diophante a l’assurance de recevoir le gros lot s’il gagne aux ´echecs deux parties d’affil´ee sur les trois parties qu’il doit jouer contre Hippolyte (H) et Th´eophile (T) selon l’une des deux s´equences H-T-H ou T-H-T. Hippolyte est de loin le plus fort des trois joueurs. Que Diophante joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilit´e de gain d’une partie contre un joueur donn´e est toujours la mˆeme. Diophante a le choix de la s´equence. Quel est son bon choix ?
La partie `a ne pas perdre est la seconde, aussi Diophante doit-il pr´ef´erer la s´equence HTH.
Plus pr´ecis´ement, sihettsont les probabilit´es de gain d’une partie contre Hippolyte et Th´eophile respectivement, la probabilit´e d’avoir le gros lot est
ht+ (1−h)th=ht(2−h) pour la s´equence HTH, th+ (1−t)ht=ht(2−t) pour la s´equence THT.
Commeh < t,ht(2−h)> ht(2−t).
Question 2
Diophante a l’assurance de recevoir un deuxi`eme gros lot s’il gagne au moins n+1 parties sur les 2n parties qu’il doit jouer contre Hippolyte.
Qu’il joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilit´e de gain d’une partie est ´egale `a 0,45. Diophante a le choix du nombre de parties. Quel est son bon choix ?
La loi de probabilit´e du nombre de parties gagn´ees par Diophante est la loi binˆomiale (2n, 0,45) donnant une esp´erance 0,9net une variance 0,495n.
L’approximation par la loi normale conduit `a estimer la probabilit´e de gagner au moinsn+ 1 parties par la probabilit´e que (u´etant une variable normale r´eduite)
0,9n+u√
0,495n > n+ 0,5, soitu >pn/49,5 + 1/√ 1,98n.
On maximise la probabilit´e en minimisant le second membre de cette derni`ere in´egalit´e, somme de deux termes de produit 1/9,9. Cela se produit quand les deux termes sont ´egaux, et alors n= 5.
Pour v´erifier la pertinence de cette conclusion, on peut calculer les chances de succ`es de Diophante pourn= 1 `a 8 avec la loi binˆomiale,
P(n) =
2n
X
k=n+1
C2nk (0,45)k(0,55)2n−k
ce qui donne
n P(n)
1 0,20250000 2 0,24148125 3 0,25526391 4 0,26038072 5 0,26156270 6 0,26068508 7 0,25863708 8 0,25589149
Le bon choix est bien n= 5, en vue de gagner au moins 6 parties sur 10, avec la probabilit´e
1339201027863/5120000000000.
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