DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Sommes de parties
Probl` eme – Sommes de parties d’un groupe additif
Dans tout ce probl`eme, (G,+) est un groupe ab´elien.
Etant donn´´ e deux partiesA etB deG, on d´efinit lasomme deAet deB et on noteA+B l’ensemble :
A+B={a+b, (a, b)∈A×B}.
Soit A une partie de G. On d´efinit par r´ecurrence la notation nA pour tout entier naturel non nul n par 1A=A et, pour toutn∈N∗, (n+ 1)A=A+nA.
I.1Introduire une it´eratrice afin de montrer que la suite r´ecurrente (nA)n∈N∗ est bien d´efinie.
Si b∈B, la notation b+A d´esignera la partie{b}+AdeG.
I.2Soitt∈N∗ etN ∈N.
a Soitnet pdes entiers naturels tels quen>p. Montrer : p
p
+ p+ 1
p
+· · ·+
n
p
= n+ 1
p+ 1
.
b Montrer que l’ensemble dest-uplets (a1, . . . , at) d’entiers naturels tels que a1+· · ·+at =N a pour cardinal N+t−1N
.
I.3 On suppose dans cette question G fini. SoitA et B des parties non vides de G telles que Card(A) + Card(B)>Card(G).
a Montrer queG=A+B.
bDonner un exemple o`u Card(A) + Card(B) = Card(G) maisG6=A+B.
I.4SoitAetB des parties finies et non vides de G. Montrer :
max(Card(A),Card(B))6Card(A+B)6Card(A) Card(B).
I.5 Soit A une partie finie non vide de G. Montrer que la suite (Card(nA)) est croissante, et, pour tout entier natureln>1, que :
Card(nA)6
Card(A) +n−1 n
.
I.6SoitAetB des parties finies et non vides de Z. a Montrer que Card(A+B)>Card(A) + Card(B)−1.
b On suppose que Card(A+B)>Card(A) + Card(B)−1, et que A et B ne sont pas des singletons.
Montrer l’existence d’entiersa, b, dtels que
A={a+kd, k∈[[0,Card(A)−1]]} et B={b+kd, k∈[[0,Card(B)−1]]}.
I.7SoitA,B des parties finies non vides deG.
a SoitH l’ensemble des ´el´ements g deGtels queA=g+A. Montrer que H est un sous-groupe fini de G.
bMontrer que Card(A+B) = Card(A) si et seulement si il existeb∈Gtel queB ⊂b+H.
