G139 Les bons choix de Diophante
1. Diophante a l'assurance de recevoir le gros lot s'il gagne aux échecs deux parties d'affilée sur les trois parties qu'il doit jouer contre Hippolyte (H) et Théophile (T) selon l'une des deux séquences H-T-H ou T-H-T. Hippolyte est de loin le plus fort des trois joueurs. Que Diophante joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie contre un joueur donné est toujours la même. Diophante a le choix de la séquence. Quel est son bon choix ?
2. Diophante a l'assurance de recevoir un deuxième gros lot s'il gagne au moins n+1 parties sur les 2n parties qu'il doit jouer contre Hippolyte. Qu'il joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie est égale à 0,45. Diophante a le choix du nombre de parties. Quel est son bon choix ?
Solution de Patrick Gordon Question 1
Notons p la probabilité qu'a Diophante de battre Hippolyte et p' celle qu'il a de battre Théophile. Par hypothèse, p < p'.
Dans la séquence H-T-H, la probabilité de gain de Diophante est, pour respectivement GGG, GGP, PGG (G voulant dire gain et P perte) :
p1 = pp'p + pp'(1-p) + (1-p)p'p = 2pp' – p²p'
Dans la séquence T-H-T, la probabilité de gain de Diophante est (pour les mêmes éventualités) :
p2 = p'pp' + p'p (1-p') + (1-p')pp' = 2pp' – p'²p (résultat prévisible, par symétrie).
D'où p1 – p2 = p'²p – p²p' = pp' (p' – p) > 0 puisque par hypothèse, p < p.
Diophante choisira donc la première séquence, soit H-T-H. Ce résultat est contraire à l'intuition, qui suggère qu'il vaut mieux pour Diophante rencontrer deux fois le plus faible des deux (Théophile).
Question 2
Cette question est une application simple de la loi binomiale. La probabilité de gain est la valeur cumulée de B(2n,p) au-delà de n.
La fonction LOI.BINOMIALE de EXCEL donne cette valeur cumulée jusqu'à une certaine valeur. Il suffit donc de faire 1 – LOI.BINOMIALE(…).
Le résultat est le suivant : 2n Pr de gain
2 0,2025 4 0,24148125 6 0,255263906 8 0,260380717 10 0,261562701 12 0,260685078 14 0,258637083 16 0,255891489 18 0,252720329 20 0,24928936 22 0,245703997
La probabilité de gain est maximale pour 2n = 10, soit n = 5.
