G139. Les bons choix de Diophante
1 Diophante a l'assurance de recevoir le gros lot s'il gagne aux échecs deux parties d'affilée sur les
trois parties qu'il doit jouer contre Hippolyte (H) et Théophile (T) selon l'une des deux séquences H- T-H ou T-H-T. Hippolyte est de loin le plus fort des trois joueurs. Que Diophante joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie contre un joueur donné est toujours la même. Diophante a le choix de la séquence. Quel est son bon choix ?
2 Diophante a l'assurance de recevoir un deuxième gros lot s'il gagne au moins n+1 parties sur les 2n
parties qu'il doit jouer contre Hippolyte. Qu'il joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie est égale à 0,45. Diophante a le choix du nombre de parties. Quel est son bon choix ?
1)
Pour gagner deux parties d’affilée sur les trois qu’il doit jouer, Diophante doit impérativement gagner la deuxième partie. Il choisira pour cette partie le joueur le plus faible, donc Théophile, et la séquence H-T-H.
2)
On suppose que les 2݊ parties seront jouées.
Le nombre de possibilités que Diophante gagne exactement ݊ + 1 parties est ܥଶାଵ. Hippolyte gagne alors ݊ − 1 parties. La probabilité de cet évènement est
ାଵ= .45ାଵ∗ . 55ିଵ∗ ܥଶାଵ
De même, la probabilité que Diophante gagne exactement ݊ + 2 parties est
ାଶ= .45ାଶ∗. 55ିଶ∗ ܥଶାଶ
Jusqu’à ce que Diophante gagne toutes les 2݊ parties :
ଶ= .45ଶ∗. 55∗ ܥଶଶ
La probabilité que Diophante gagne au moins ݊ + 1 parties est alors :
ܲାଵ= ଶ
ାଵ
= . 45∗ . 55ଶି∗ ܥଶ ଶ
ାଵ
Et que le jeu s’arrête après que Diophante a gagné sa (݊ + 1)ième partie, ne change rien.
Ne sachant sommer cette expression, je demande à la calculatrice : 2݊ ܲାଵ
2 0.202500 4 0.241481 6 0.255264 8 0.260381 10 0.261563 12 0.260685 14 0.258637 16 0.255891 18 0.252720 20 0.249289
Pour maximiser ses chances, Diophante demandera à jouer 10 parties
