Nom :
Prénom : DS n°1
le 27/09/2018 Classe :
T S …
Avis du professeur
Compétences évaluées Acquis En cours
d'acquisition Non Acquis Exercices contrôlés (EC) 1 à 3 : … / 10
• Calculer les premiers termes d'une suite.
• Représenter graphiquement les premiers termes d'une suite.
• Conjecturer le sens de variation d'une suite et sa limite.
• Montrer qu'une suite est géométrique.
• Exprimer le terme général d'une suite en fonction de .
• Déterminer le sens de variations d'une suite.
• Déterminer des limites / Lever des formes indéterminées.
Exercices 4 et 5 : … / 10
• Justifier des inégalités.
• Déterminer des limites par comparaison.
• Calculer / Justifier une formule de récurrence dans un contexte donné.
• Utiliser un tableur.
• Démontrer par récurrence.
• Déterminer une limite à partir d'une formule explicite.
• Compléter un algorithme.
• Déduire / Interpréter des résultats dans un contexte donné.
Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.
Exercice 1 : (EC) … / 4
On considère la suite ( ) définie sur N par :
= et = 1. Calculer , et .
2. a) Construire, sur le graphique ci-dessous, les 4 premiers termes de la suite ( ).
b) Conjecturer le sens de variations de ( ) ainsi que sa limite . 3. Soit la suite ( ) définie sur N par : = .
a) Montrer que la suite ( ) est géométrique de raison . b) En déduire l'expression de puis de en fonction de .
Exercice 2 : (EC) … / 2
Etudier le sens de variation de la suite ( ) définie sur N par = . un
u0 8 un+1 2
5un+ 3 u1 u2 u3
un
un
vn vn un¡5
vn 2
5
vn un n
un un 5n+23n L
n
Exercice 3 : (EC) … / 4 Déterminer les limites des suites définies par :
a) = b) = + – + ) c) = – ) d) =
Exercice 4 : … / 2
( ) et ( ) sont les suites définies sur N par :
= et : =
Justifier les inégalités suivantes puis déterminer la convergence des suites ( ) et ( ).
a) ≤ ≤ b) ≤
Exercice 5 : … / 8
Le directeur d'une réserve marine a recensé cétacés dans cette réserve au 1er juin .
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à .
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• entre le er juin et le octobre, cétacés arrivent dans la réserve marine ;
• entre le er novembre et le mai, la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au er juin de l'année . On a donc = .
1. Justifier que = .
2. Justifier que pour tout entier naturel on a : = .
3. A l'aide d'un tableur on a calculé les premiers termes de la suite ( ). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
A B C D E F G H I
Quelle formule a-t-il saisi dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes de ( ) ? 4. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≥ ≥
b) Que peut-on en déduire pour la suite ( ) ?
5. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = . b) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on déduire de ce résultat ?
6. a) Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à .
N ← U ← Tant que … N ← … U ← … Fin Tant que Afficher …
b) Interpréter le résultat affiché dans le contexte de l'exercice.
u0 3000 2017 +n
un
un n
3000 2017
2000
80
5 31
31 31 1
1
1 u1 2926
n un+1 0,95un+ 76 un
8
un 1 n
2
1
0 2 3 4 5 6 7
3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608
un
n un 1480£0,95n+ 1520 un
2000 0
3000
n un un+1 1500 un
an n2+ 3n¡1 bn n3(-2 n1 n102 n33 cn (p
n¡2)(10 n1 dn 4nn32+3n
¡n+7
un vn
un cosnp
n vn -n+ 1 + (-1)n
un vn
un
p-1 n
p1
n vn -n+ 2
2554
Correction du DS n°1 Exercice 1 : Voir la correction de l'exercice n° 50 p 20.
Exercice 2 : Exercice de révision du programme de 1ère S traité dans la partie cours.
Exercice 3 : Voir la correction de l'exercice n°28 p 46 et de l'exercice 5 du cours.
Exercice 4 : ( ) et ( ) sont les suites définies sur N par : = et : =
Justifier les inégalités suivantes puis déterminer la convergence des suites ( ) et ( ).
a) ≤ ≤ b) ≤
a) ∀ ∈ N on a : ≤ ≤
En multipliant chaque membre par > 0 on a : ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Or : = =
Donc, d'après le théorème des gendarmes : =
b) ∀ ∈ N on a : ≤
En additionnant sur chaque membre on a :
≤ ⇔ ≤
Or : = -∞
Donc, d'après le théorème de comparaison : = -∞
Exercice 5 :
Le directeur d'une réserve marine a recensé cétacés dans cette réserve au 1er juin .
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à .
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• entre le er juin et le octobre, cétacés arrivent dans la réserve marine ;
• entre le er novembre et le mai, la réserve subit une baisse de % de son effectif par rapport à celui du octobre qui précède.
On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite ( ). Selon ce modèle, pour tout entier naturel , désigne le nombre de cétacés au er juin de l'année . On a donc = .
1. Justifier que = .
Au 1er juin on comptait = cétacés dans la réserve.
Au octobre, cétacés supplémentaires sont arrivés puis le mai suivant, en , la réserve a subit une baisse de % de son effectif total. Cela signifie qu'elle a conservé % de son effectif.
Ainsi : = ( ) = =
2. Justifier que pour tout entier naturel on a : = . Soit le nombre de cétacés au er juin de l'année .
D'ici le er juin de l'année suivante, l'effectif aura augmenté de puis l'effectif total aura diminué de %.
Ainsi, il restera % des cétacés. Donc : = ( ) =
3. A l'aide d'un tableur on a calculé les premiers termes de la suite ( ). Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
A B C D E F G H I
Quelle formule a-t-il saisi dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes de ( ) ? En C , on tape :
= *B +
un vn
un cosnp
n vn -n+ 1 + (-1)n
un vn
p-1
n un p1
n vn -n+ 2
3000 2017
2000
1 31 80
1 31 5
31
un n
un 1 2017 +n u0 3000
u1 2926
n un+1 0,95un+ 76
8 un
1 n 0 1 2 3 4 5 6 7
2 un 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608
un
n -1 cos n 1
p1 n p-1
n
p1 n cosnp
n
p-1 n
p1 un n
n!lim+1
p-1
n lim
n!+1
p1 n
n!lim+1un
0 0
n 1
n!lim+1 n!lim+1
(-1)n -n+ 1
-n+ 1 + (-1)n -n+ 1 + 1 vn -n+ 2 -n+ 2
vn
2017 u0 3000
31 80 31
5
2018 u1 95
100 3000 + 80 0,95£3080 2926
un 1 2017 +n
un+1 95
100 un+ 80 0,95un+ 76
1 80
95
5 95
2554
0,95 2 2
76
4. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : ≥ ≥
∀ ∈ N, on pose p( ) : ≥ ≥
Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel .
• Initialisation :
On a : = et =
Donc : ≥ ≥ Ainsi, p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. ≥ .
Supposons que p( ) soit vraie. Alors : ≥ ≥
En multipliant chaque membre des inégalités par > on a :
≥ ≥
≥ ≥
En ajoutant membre à membre, on en déduit :
≥ ≥
Or : ∀ ∈ N, = . Donc :
≥ ≥ ≥
Ainsi p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥ ≥ b) Que peut-on en déduire pour la suite ( ) ?
∀ ∈ N, ≥ ≥
Cela signifie que la suite ( ) est décroissante et minorée par 1500.
On peut en déduire que ( ) converge vers un réel L ≥ .
5. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : = .
∀ ∈ N, on pose p( ) : = .
Démontrons par récurrence que p( ) est vraie pour tout entier naturel .
• Initialisation : On a : =
Et : = = =
Donc p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. ≥ .
Supposons que p( ) soit vraie. Alors : = . Or : =
Donc : = = =
Ainsi p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, =
n un un+1 1500
un
n un 1480£0,95n+ 1520
0 n n
n n
n n
u0
0
k k 0
k
0
k+ 1
un un+1 1500
3000 u1 2926 1500
u0 u1
uk uk+1 1500 0,95
0,95uk 0,95uk+1 0,95£1500 0,95uk 0,95uk+1 1425 76
0,95uk+ 76 0,95uk+1+ 76 1425 + 76 n un+1 0,95un+ 76
uk+1 uk+2 1501 1500
un un+1 1500
n un un+1 1500 un
un 1500
n n un
n n
u0 3000 0
k k 0
k uk
k+ 1
0 n n un
1480£0,95n+ 1520
1480£0,950+ 1520 1480 + 1520 3000 u0
1480£0,95k+ 1520 uk+1 0,95uk+ 76
uk+1 0,95(1480£0,95k+ 1520) + 76 uk+1 1480£0,95k+1+ 0,95£1520 + 76 uk+1 1480£0,95k+1+ 1520
1480£0,95n+ 1520
b) Déterminer la limite de la suite ( ). Que peut-on déduire de ce résultat ?
∀ ∈ N, on a : = .
< < donc : =
On en déduit, par produit : = Puis, par somme : =
Ainsi : =
On peut déduire de ce résultat que dans un très grand nombre d'années, le nombre de cétacés dans la réserve tendra à se rapprocher de . Ce nombre étant inférieur à , le classement de la zone en réserve marine ne sera pas reconduit.
6. a) Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à .
N ← U ←
Tant que U ≥ N ← N+
U ← U+ ou : U ← Fin Tant que
Afficher +N
b) Interpréter le résultat affiché dans le contexte de l'exercice.
En appliquant cet algorithme à la calculatrice ou en utilisant le menu TABLE on obtient que les termes de la suite ( ) deviennent inférieur à à partir du rang N =
=
Ainsi, le nombre de cétacés dans la réserve marine deviendra inférieur à à partir de . un
2000 0
3000
n un 1480£0,95n+ 1520
-1 0,95 1 lim
n!+10,95n 0
n!lim+11480£0,95n 0 lim
n!+11480£0,95n+ 1520 1520
n!lim+1un 1520
1520 2000
2000
1480£0,95N+ 1520 1
0,95 76
un 2000
2017
2017 + 22 2039
22
2000 2039
