(1)MPSI B Année 2016-2017

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MPSI B Année 2016-2017. Corrigé DM 16 le 9/06/17 29 juin 2019

Partie 1 : Opérateurs de Volterra

1. Soitf ∈E. La continuité de V(f)et deV^∗ def vient du théorème fondamental du calcul intégral. La linéarité de l'intégrale assure la linéarité deV etV^∗.

2. Soient f, g∈E. Pour toutx∈[0, π/2]:V(f)⁰(x) =f(x)et (V^∗)⁰(x) =−f(x). Ainsi en intégrant par parties :

hV(f), gi= Z π/2

0

V(f)(t)g(t)dt= [V(f)V^∗(g)]^π/2₀ − Z π/2

0

f(t)(−V^∗(g)(t)dt.

CommeV(f)(0) = 0 etV^∗(g)(π/2) = 0, on en déduit que : hV(f), gi=

Z π/2

0

f(t)V^∗(g)(t)dt=hf, V^∗(g)i>0.

3. Soientf, g∈E. D'après la question précédente,

h(V^∗◦V)(f), gi=hV(f), V(g)i=hf,(V ◦V^∗)(g)i. De plus, sif 6= 0, alors :

h(V^∗◦V)(f), fi=hV(f), V(f)i=kV(f)k²>0.

Commef 6= 0, une primitive def est non nulle doncV(f)6= 0, donckV(f)k>0. Soitλune valeur propre deV^∗◦V et f un vecteur propre associé. Alors

(V^∗◦V)(f) =λf ⇒0<h(V^∗◦V)(f), fi=λhf, fi=λkfk²

⇒λ= hV^∗◦V(f), fi kfk² >0.

4. Par dénition d'un vecteur propre :(V^∗◦V)(fλ) =fλ. La fonctionV(fλ)est de classe C¹, doncV^∗(f_λ)est de classeC². De plus,V^∗(V(f_λ))⁰ =−V(f_λ)et V(f_λ)⁰=f, donc (V^∗◦V(f_λ))⁰⁰=−fλ. Comme(V^∗◦V)(f_λ) =λf_λ, en dérivant on obtient :

f_λ⁰⁰=−1 λfλ.

Les conditionsf_λ(π/2) =f_λ⁰(0) = 0viennent du fait que, par la dénition des opéra- teurs avec des intégrales

∀f ∈E, V(f)(0) = 0etV^∗(f)(π/2) = 0.

5. Soit λ une valeur propre de V^∗◦V et fλ une valeur propre associée. En résolvant l'équation diérentielle dont elle est solution :

∃(a, b)∈R² tels que∀x∈[0, π/2], fλ(x) =acos x

√ λ

+bsin

x

√ λ

.

La conditionf_λ⁰(0) = 0 donneb= 0. La conditionfλ(π/2) = 0donne :

∃n∈N, π 2√

λ =nπ+π

2 ⇒λ= 1

(2n+ 1)². Toute valeur propre est donc de la forme indiquée par l'énoncé.

Réciproquement, on vérie par le calcul que la fonction dénie dans[0,^π₂]par

x7→sin((2n+ 1)x) est un vecteur propre de valeur propre _(2n+1)¹ 2.

Partie 2 : Equations diérentielles de type Sturm-Liouville

1. Soitn∈N. On a pour toutx∈[0, π/2]:

V(ϕ_n)(x) = Z x

0

cos((2n+ 1)t)dt= 1

2n+ 1sin((2n+ 1)x).

2. Pour tout n ∈ N^∗, d'après la question I.5., ϕn est un vecteur propre de V^∗◦V de valeur propre _(2n+1)¹ 2. On peut donc prendre le produit scalaire contre une fonction quelconque deE

(V^∗◦V)(ϕ_n) = 1 (2n+ 1)²ϕ_n

⇒ ∀f ∈E, h(V^∗◦V)(f), ϕni=hf,(V^∗◦V)(ϕn)i= 1

(2n+ 1)²hf, ϕni 3. Supposons queg=λV^∗◦V(g) +V^∗◦V(h). Alorsg est de classe C²car (V^∗◦V)(g)

et (V^∗◦V)(h) le sont aussi. En dérivant deux fois, on trouve g⁰⁰ = −λg−h d'où g⁰⁰+λg+h= 0.

De plus, commeV^∗(f)(π/2) =V(f)⁰(0) = 0 pour toute fonctionf ∈E, les conditions g(π/2) =g⁰(0) = 0sont bien vériées.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1616C

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Réciproquement, supposonsg solution deS. En intégrantg⁰⁰+λg+h= 0entre0et x∈[0, π/2], on obtient (avecg(0) = 0)

g⁰(x)−g⁰(0) +λV(g)(x) +V(h)(x) = 0⇒g⁰(x) +λV(g)(x) +V(h)(x) = 0 En intégrant une nouvelle fois entrexetπ/2, on obtient (avecg(^π₂ = 0) :

g(π

2)−g(x) +λ(V^∗◦V)(g) + (V^∗◦V)(h)(x) = 0⇒g=λ(V^∗◦V)(g) + (V^∗◦V)(h) 4. Soitgune solution de l'équation diérentielle, formons le produit scalaire de la relation

précédente contreϕ_n, puis utilisons la question 2. avec ϕ_n ethà la place def :

hg, ϕni=λh(V^∗◦V)(g), ϕni+h(V^∗◦V)(h), ϕni

⇒ hg, ϕni= λ

(2n+ 1)²hg, ϕni+ 1

(2n+ 1)²hh, ϕni. Le résultat s'en déduit. Il est valable pour tous lesn∈N.

5. Supposons queλsoit de la forme(2p+1)²et queSpossède une solutiong. En utilisant la relation précédente pourn=p, il vient

1−

2p+ 1 2p+ 1

2!

hg, ϕni= 1

(2n+ 1)²hh, ϕni Une condion nécessaire est donc l'orthogonalitéhh, ϕpi= 0.

Partie 3 : Solutions approchées de S

1. Montrons que pour tout n∈N, la fonction t 7→cosⁿ(t) appartient àF_n. Il s'agit de linéarisercosⁿ(t). D'une part :

(2 cos(t))ⁿ= e^it+e^−itⁿ

=

n

X

k=0

n k

e^ikte^−i(n−k)t=

n

X

k=0

n k

e^i(2k−n)t

D'autre part :

(2 cos(t))ⁿ= e^it+e^−itⁿ

=

n

X

k=0

n k

e^−ikte^i(n−k)t=

n

X

k=0

n k

e^i(n−2k)t

Ainsi :

2ⁿ⁺¹cosⁿ(t) =

n

X

k=0

n k

e^i(n−2k)t+e^{−i(n−2k)t}

= 2

n

X

k=0

n k

cos((n−2k)t).

Par parité ducos, pour tout k∈ J0, nK, cos((n−2k)t) = cos(|n−2k|t) =c_|n−2k|(t) avec|n−2k| ≤n. Ainsi, la fonctiont7→cosⁿ(t)appartient àFn.

Comme F_n est un sous-espace vectoriel de G, pour toute fonction polynomiale p, la fonctiont7→p(cos(t))appartient àF_n.

2. Soientn, m∈N:

• Supposonsn6=m. Alorsn+m, n−m6= 0donc :

hc_n, c_mi_G= Z π

0

cos(nt) cos(mt)dt= 1 2

Z π

0

cos((n+m)t) + cos((n−m)t)dt

= 1

(2n+m)[sin((n+m)t]^π₀ + 1

2(n−m)[sin((n−m)t)]^π₀ = 0.

• Sin=m= 0 : kc0k²_G =Rπ

0 1dt=π.

• Sin=m >0 :

kcnk²_G= Z π

0

cos(nt) cos(mt)dt= 1 2

Z π

0

cos((n+m)t) + cos((n−m)t)dt

= 1

2(n+m)[sin((n+m)t]^π₀+1 2

Z pi

0

1dt= π 2. Ainsi, pour tousn, m∈N:

hαncn, αmcmi_G=αnαmhcn, cmi_G =δn,m. La famille(αncn)est orthonormale.

3. Soitg∈Get posonsf =g◦arccos. Alorsf est continue dans[−1,1]et

∀t∈[0, π], g(t) =f(cos(t))

D'après le théorème admis de Weirstrass, pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomialeptelle que

∀u∈[−1,1], |f(u)−p(u)| ≤ ε

√π

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Ainsi, pour toutt∈[0, π], commecos(t)∈[−1,1],

|f(cos(t))−p(cos(t))| ≤ ε

√π ⇒ |g(t)−p(cos(t))| ≤ ε

√π.

Notonshla restriction à[0, π]dep◦cos. On a :

kf −hk²_G= Z π

0

|f(t)−h(t)|² dt≤πε²

π ⇒ kf−hk_G≤ε.

SoitN le degré de la fonction polynomialep. Commeh∈FN, on peut écrire : kf−PF_N(f)k_G≤ kf−hk_G ≤ε

car la projection sur un sous espace minimise la distance à ce sous-espace. Pour conclure, remarquons que (kf−P_F_n(f)k_G)_n∈

N est décroissante car F_n ⊂ F_n+1 pour toutn∈N. D'où :

f−P_F_n+1(f)

_G= inf

y∈F_n+1kf−yk_G≤ inf

y∈F_nkf−yk_G=kf−P_F_n(f)k_G. Ainsi, pour toutn≥N,kf−PF_n(f)k_G≤ε. La suite tend bien vers0.

4. Pour toutn∈N,PF_n(f)∈Fn donc il existe des réelsa0, ..., an tels que PF_n(f) =a0c0+...+ancn

La question précédente permet de conclure.