MPSI B Année 2015-2016. DS 4 le 11/12/15 19 décembre 2019

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Problème 1.

Dans tout le problème, f désigne une fonction dénie dans un segment [a, b] avec a < b . On dénit une partie de R notée V _f ([a, b]) par : un réel v appartient à V _f ([a, b]) si et seulement si il existe un entier n ≥ 1 et une famille de réels (c ₀ , c ₁ , · · · , c _n ) telle que

a = c ₀ < c ₁ < · · · < c _n = b et v =

n−1

X

k=0

|f (c _k+1 ) − f (c _k )| .

On dit que v est la variation de f entre a et b attachée à (c ₀ , c ₁ , · · · , c _n ) . On dit que f est à variations bornées sur [a, b] si et seulement si V f ([a, b]) est majoré. On note alors

V _f ([a, b]) = sup(V _f ([a, b])) ( appelée variation totale de f sur [a, b] . )

I. Exemples et propriétés.

1. Montrer que |f (b) − f (a)| ∈ V f ([a, b]) . Justier la dénition de V f ([a, b]) pour f à variations bornées.

2. a. Si f est constante, est-elle à variations bornées sur [a, b] ? Que vaut V _f ([a, b]) ? b. Soit k > 0 . On suppose que f est k -lipschitzienne. Montrer qu'elle est à variations

bornées sur [a, b] avec V f ([a, b]) ≤ k(b−a) . Que peut-on conclure si f ∈ C ¹ ([a, b]) ? c. Soit Ω une partie de [a, b] et f dénie par

f (x) =

( 1 si x ∈ Ω 0 si x / ∈ Ω

Donner des propriétés de Ω assurant que f est ou n'est pas à variations bornées.

3. Dans cette question seulement, a = −1 , b = 0 et f est dénie par f (x) =







p |x| cos π

x si x ∈ [−1, 0[

0 si x = 0 a. Montrer que f est continue dans [−1, 0] .

b. Montrer que √

k + 1 − √ k ≤ ¹

2

k pour tout naturel non nul k . En déduire que

1 +

¹

2 + · · · +

¹ _n

n∈N

diverge vers +∞ .

c. Montrer que f n'est pas à variations bornées dans [−1, 0] .

4. Soit f et g à variations bornées dans [a, b] et λ ∈ R.

a. Montrer que f est bornée.

b. Montrer que λf , f + g , f g , |f| , sup(f, g) , inf(f, g) sont à variations bornées, indiquer un majorant de la variation totale dans chaque cas.

II. Monotonie et variations.

1. On suppose f monotone sur [a, b] .

a. Que peut-on dire de l'ensemble V f ([a, b]) ? En déduire que f est à variations bornées et préciser sa variation totale.

b. Montrer qu'une fonction somme d'une fonction croissante et d'une fonction dé- croissante est à variations bornées.

2. On suppose que V f ([a, b]) contient un seul élément. Montrer que f est monotone.

3. On suppose que f est à variations bornées sur [a, b] .

a. Soit u et v tels que [u, v] ⊂ [a, b] . Montrer que f est à variations bornées sur [u, v]

et que 0 ≤ V _f ([u, v]) ≤ V _f ([a, b]) .

b. Soit u , v , w tels que a ≤ u < v < w ≤ b . Montrer que V f ([u, v]) + V f ([v, w]) = V f ([u, w])

4. Soit f à variations bornées sur [a, b] . Montrer que les fonctions dénies dans [a, b]

W 1 : x 7→ V f ([a, x]), W 2 : x 7→ V f ([a, x]) − f (x) sont croissantes. Que peut-on en conclure ?

5. Soit f à variations bornées sur [a, b] .

a. Montrer que f continue sur [a, b] entraîne W 1 continue sur [a, b] . b. Montrer que W 1 continue sur [a, b] entraîne f continue sur [a, b] .

Problème 2.

Soit K > 0 et E(K) l'ensemble des suites (M k ) _k∈N vériant

∀k ∈ N , M k > 0 et M _k ² M _k−1 M k+1

≤ K

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Partie I ¹

Dans cette partie K = 1 . Plus précisément, E est l'ensemble de toutes les suites de E(1) dont les deux premiers termes sont égaux à 1 .

(A n ) n∈

∈ E ⇔ A 0 = A 1 = 1, ∀n ∈ N

: A n > 0 et A ² _n ≤ A n−1 A n+1

1. Vérier que la suite de terme général n! est élément de E . On convient que 0! = 1 . 2. Soit (A n ) _n∈

∈ E . Montrer que

∀n ≥ 3, A _n ≥ A

n−1 n−2

n−1

En déduire que A n ≥ 1 pour tous les entiers n .

3. Soit (A n ) _n∈N ∈ E . On dénit les suites (λ n ) _n∈N et (µ n ) _n∈N par λ 0 = µ 0 = 1, ∀n ≥ 1 : λ n = A _n−1

A _n , µ n = A

1

n

a. Montrer que (λ n ) n∈

est décroissante, en déduire λ ⁿ _n ≤ λ 1 λ 2 · · · λ n . b. Montrer que (µ n ) _n∈N est décroissante.

c. Montrer que :

∀n ∈ N , ∀j ∈ J 0, n K , A n+1

A _n+1−j ≥ A n

A _n−j En déduire A j A _n−j ≤ A n .

d. Établir λ n ≤ µ n pour tout entier n .

Partie II ²

Dans cette partie K = 2 et (M _n ) _n∈

N

∈ E (2) .

1. Soit (u k ) k∈

est une suite croissante de réels positifs. Montrer que

∀n ≥ 2, ∀k ∈ J 2, n − 1 K , (u 1 u 2 · · · u k ) ⁿ ≤ (u 1 u 2 · · · u n ) ^k 2. Montrer que la suite (u k ) _k∈

est croissante avec :

∀k ≥ 1, u k = 2 ^k−1 M k

M _k−1 3. Montrer que

∀n ∈ N

, ∀k ∈ J 1, n K , M k ≤ 2

M ¹⁻

k n

0 M

k

n

1

D'après Agrégation interne 2000 épreuve 2

2

D'après CCC 2000 PC épreuve 2

Partie III

1. a. Déterminer en fonction de λ ₀ , les suites (λ _n ) _n∈

de nombres réels strictement positifs vériant

∀n ∈ N

, λ ² _n λ _n−1 λ n+1

= 1

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite (M n ) _n∈N de E (K) pour obtenir une suite de E (K) dont les deux premiers termes sont égaux à 1 ?

2. a. Déterminer en fonction de λ 0 et λ 1 , les suites (λ n ) _n∈N de nombres réels strictement positifs vériant

λ ² _n λ n−1 λ n+1

= K

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite (M _n ) _n∈

∈ E(K) pour obtenir une suite de E ?

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