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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Elencwajg, G. (1975). Pseudoconvexité locale dans les variétés kahlériennes (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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(Grade légal) présentée

A L'UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES par

Georges ELENCWAJG

PSEUDOCONVEXITE LOCALE

DANS LES VARIETES KAHLERIENNES

PSEUDOCONVEXITE LOCALE

DANS LES VARIETES KAHLERIENNES

3NP

Et l(>

et

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences (grade légal)

Georges ELENCWAJG

1975

Uns application géométrique des suites spectrales.

Georges ELEHCWAJG

O

Soit îi : X ÎR une submersion différentiable de source la variété diffêrentlabTe orientée X.

-1 2

On suppose que les fibres îl(x) sont toutes d1 fféomorphes à 51 . GrS.ce â la suite spectrale de Isray en cohomologie § supports pro- preSs on démcntre que

”(X

) « 0 (n > 0) et on donne une ap»

plicatlon â la Géométrie Analytique.

INTRODUCTION i CHAPITRE 1 ;: Con\/exité holomorphe, fonctions

plurisousharmoniques et pseudo­

convexité 1

CHAPITRE 2 :; Le Problème de Levi 11

CHAPITRE 3 :; Géométrie hermitienne 16 CHAPITRE 4 :; Un résultat de géométrie k5hlé-

rienne locale 25

CHAPITRE 5 : Applications 35

BIBLIOGRAPHIE B.1

^(52 5 i'j

INTRODUCTION

Les variétés de Stein constituent, ayec les variétés connpactes, la classe des variétés pour laquelle on dispose du plus de renseignements en Géométrie Analytique.

Parmi les Théorèmes les plus spectaculaires démontrés à leur propos, citons

THEOREME A (Cartan-Serre) . - Soit F un faisceau analytique co­

hérent sur la variété de Stein X munie du faisceau structural et soit X un point de X . L'image du morphisme naturel F[X,

engendre F comme - module.

X X IX

THEOREME B (Cartan-Serre) . - Soit F un faisceau analytique cohé­

rent sur la variété de Stein X . Alors pour chaque entier i ^ 1 , H^(X, F) = 0 .

THEOREME DE PLONGEMENT DE REMMERT , - Toute variété de Stein connexe se plonge proprement dans un espace numérique

THEOREME DE GRAUERT . - Soit X une variété de Stein et § un fibré vectoriel topologique sur X . Il existe un et un seul fibré vectoriel analytique (à isomorphisme analytique près) dont le fibré vectoriel topologique sous-jacent soit §

THEOREME (Forster-Ramspott) . - Tout sous-ensemble analytique de la variété de Stein X de dimension n est l'ensemble des zéros communs à n fonctions holomorphes globales sur X

On pourrait continuer fort longtemps une telle liste.

Il est bien naturel, au vu de ces beaux résultats, de chercher des conditions pour qu'une variété soit de Stein.

En dimension un, on a une caractérisation purement topologique : une variété complexe connexe non compacte [i.e. une " surface de Riemann ou­

verte ") est de Stein, d'après un Théorème de Behnke-Stein.

En dimension n 2; 2 , bien que les variétés de Stein restent soumises à des restrictions topologiques, la situation n'est plus aussi simple : Calabi et Eckmann sont montré qu'il existe des variétés complexes difféo- morphes à C'^ [n 2 2) sur lesquelles toutes les fonctions holomorphes globales sont constantes.

E.E, LEVI remarqua en 1911 que le bord d'un ouvert de Stein de n'était pas arbitraire mais satisfait à des conditions dites de pseudo­

convexité .

En 1942, K. OKA montra que ces conditions suffisaient pour que l'ou­

vert soit de Stein, dans le cas n = 2

Depuis, de nombreux géomètres ont cherché et donné des conditions pour qu'un ouvert U de la variété analytique X soit de Stein, en partant d'hypothèses locales de pseudoconvexité sur la frontière ôU de U dans X : la donnée d'une telle condition est souvent appelée solution d'un

" problème de Levi " .

Les travaux les plus connus en cette matière sont ceux de BREMEFWANN, NORGUET, GRAUERT, DOQQUIER-GRAUERT, etc ...

Tous ces résultats peuvent être considérés comme des cas particuliers d'une conjecture très générale, dite de Stein (cf.[2.4.5.1]) .

Il existe également des résultats, moins nombreux mais plus surpre­

nant, donnant des solutions de problèmes de Levi dans des variétés com­

pactes (FUJITA, KISELMAN, TAKEUCHI, HIRSCHOWITZ : voir (2.4.6)).

Le présent travail est consacré à résoudre des problèmes de Levi grâce à des méthodes kShlériennes, Notons que c'est à A, TAKEUCHI que revient le mérite d'avoir vu le parti qu'on pouvait tirer de la géométrie kahlérien- ne pour résoudre des problèmes de convexité holomorphe.

Les Chapitres 1 et 2 servent d'introduction et de motivation ; y sont rappelés des Théorèmes et notions utilisés ultérieurement.

Il n'y a là rien d'original, à part quelques misérables détails.

Le Chapitre 3 rappelle des notions de géométrie hermitienne ; on y démontre deux Lemmes d'approximation dans des variétés hermitiennes

([3.7.1) et (3.7.2)), utilisés par la suite.

Le Chapitre 4 constitue le coeur de ce travail : on y démontre que si D est un ouvert relativement compact et localement de Stein de la variété kahlérienne X et si f désigne la fonction (- log(distance à ôD)) définie sur D , alors

1°/ Le " défaut de plurisousharmonicité " de f est borné au voi­

sinage de ôD .

2°/ Si le fibré tangent à X est de courbure positive, f est trictement plurisousharmonique au voisinage de ôD ,

Pour un énoncé précis, voir (4.2)

Le Chapitre 5 donne les applications suivantes de ce résultat.

Soit D c c X un ouvert localement de Stein (ôD ^ 0) de la va­

riété X

1/ Si X est kahlérienne (compacte ou non) et si son fibré tangent est de courbure positive, D est 0-convexe (Théorème (5.1))

2/ Si X admet une fonction strictement plurisousharmonique, D est de Stein (Théorème (5.2))

Le 2/ généralise un Théorème de Docquier-Grauert, qui donne la même conclusion sous l'hypothèse que X est de Stein.

Comme Corollaire de 2/ on obtient en particulier 3/

3/ Si X est l'espace total d'une submersion holomorphe de Stein à base de Stein, D est de Stein (cf (5.3) et (5.4))

Enfin, on cite en (5.7) et (5.8) deux résultats récents dûs res­

pectivement à J. BRUN et R. GREENE-H.H. WU qui utilisent notre Théorème (4.2) .

Voici venu le moment le plus agréable de la rédaction de cette Thèse celui des remerciements.

C'est A. HIRSCHOWITZ qui m'a appris pratiquement tout ce que je sais en Géométrie Analytique ; c'est lui aussi qui m'a appris à faire de la recherche en Mathématiques. Il m'a généreusement offert un nombre incal­

culable d'heures de son précieux temps. Qu'il reçoive ici l'expression de ma plus profonde gratitude.

Je voudrais remercier tous les membres du Département de Mathématiques de NICE qui ont si chaudement accueilli un mathématicien qui venait du froid et m'ont immédiatement et gentiment intégré dans leur sympathique communauté.

En particulier, ce travail a beaucoup bénéficié des conversations que j'ai eues avec mon collègue (et néanmoins ami) P. LE BARZ.

Je remercie vivement MM. M. COHEN, I. CNOP et L, WAELBROECK qui ont accepté, entre autres, de faire partie du Jury et qui m'ont permis de garder le contact avec la communauté mathématique bruxelloise.

Mme A. BOREL a su garder le sourire tout au long de la frappe du manus­

crit, y compris devant les provocations manifestes de formules comme cel­

les de la page 31 ; mille mercis pour son excellent travail.

Enfin, merci à J.F. PORTHE d'avoir bien voulu se charger du travail d'Offset dans des délais aussi courts.

(1.1) Prolongement de ..fonctions holomorphes

Un des phénomènes les plus frappants dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est l'existence de variétés connexes X con- tenaTît un ouvert U , non vide et distinct de X , telles que l'applica­

tion de restriction r^^ ; 0-(x] --->

0[u)

[1.1.1] Exemple

L'exemple le plus simple est celui où la variété X est la boule

iNir

: I

1

1 ^

vée de l'origine 0 Ç .La démonstration que r. est surjective est uA

tout à fait élémentaire et n'utilise que l'intégrale de Cauchy. On a plus généralement [HORMANDER [17 ]) .

[1.1.2) THEOREME [Hartogs) . - Soit X un ouvert de et K c c; X un compact tel que l'ouvert U = X - K soit connexe. Alors l'application de restriction est bijective.

[1.1.3) REMARQUE . - L'analogue réel de [I.I.I) est faux comme le montre la fonction qui tend vers l'infini en zéro.

[1 .1 .4) REMARQUE . - Les phénomènes de prolongement de fonctions holomor- phes n'existent jamais en dimension 1

En effet, soit X une surface de Riemann [= variété complexe connexe de di­

mension 1 ) et U un ouvert de X [0 ^ U p X) . Alors on sait [Théorème de Behnke, Stein, cf. NARASIMHAN [ 21] ) que U est de Stein [puisqu'il ne saurait avoir de composante compacte grâce à la cûnnexité de X ). On en dé­

duit que r^^ : 0[x) —> 0[U) n'est pas surjective [cf. HORMANDER [17 ] P. 127).

Faisons maintenant deux observations élémentaires mais cruciales sur l'exem­

ple [1 .1.1) .

[1.1.5) OBSERVATION . - Soit [x^) une suite de points de U conver­

geant vers 0 . Si f € 0-[u) et si F = ^^^[f) alors la suite [|f[x^)|) converge vers F[0) et est bornée.

[1.1.s) OBSERVATION . - Soit S la sphère |[z|| = e [0<e<l) et posons S^={z€B ]0< |lz|l < e } • Alors on a, pour f 6 0’[u) et

^ 1^1 = = auP 1^1 = sup |f1

s, 8^ BTÔ777

[où B[0; e) = [ z €

1 11-11

MANDER [17]) .

D'autre part, si z € U - S i il existe g 6 <3-[U) telle que e

|f[z) I > sup |f| [il suffit pour le voir de composer un automorphisme Se

unitaire de amenant z sur un axe de coordonnées avec la projection

sur cet axe : on prend pour g la restriction de cette composée à U ).

On a donc S = { z € U |Vf 6 0’[U) ]f (z) | ^ sup ]f | } et S n'est pas

e g e

un compact de U . ®

On va voir que les observations (1,1.5} et (1,1,6) ne sont nul­

lement fortuites mais liées étroitement au prolongement des fonctions ho- lomorphes,

(1,2) CONVEXITE HQLOMQRPHE . - Soit X une variété complexe (dénom­

brable à l'infini) et K une partie de X , On note

K = { X ex 1 Vf eO(x) lf(x)l ^ sup jfj } , K

(1.2.1) DEFINITION „ - La variété X est dite holomorphiquement convexe si pour tout compact K c c X l'ensemble K est encore compact, (1.2.2) PROPOSITION , - Une variété complexe dénombrable à l'infini est holomorphiquement convexe si et seulement si pour toute suite (^f^) de points de X sans valeur d'adhérence, il existe une fonction holo- morphe globale f £ 0(X) vérifiant sup |f(x )| = <■ (la preuve se

n trouve dans NARASIMHAN [ 22 ] ) ,

(1.2.3) RAPPEL DE TOPOLOGIE , - Une application f : X —> Y entre espaces topologiques est appelée homéomorphisme local ou étalement si Vx Ç X , il existe un ouvert U 3 x de X et.un ouvert V de Y tels que f(u) = V et que f: U —> V soit un homéomorphisme,

(1.2.4) DEFINITIONS , - Un domaine D d'une variété complexe X est dit d'holomorphie (dans X ) si pour tout couple d'applications holomorphes D —D X tel que j soit un plongement ouvert, TT un étalement, D connexe, tt o J = inclusion D r- ^ X et tel que la restriction j ; 0(6*) --- > 0(D) soit surjective, on ait

m = BT ,

Si de plus une fonction f € 0-[D) est telle que pour tout choix de j, D et TT avec j[D) ^ D connexe, on ait 'P 4 j due D est le domaine d'existence de f dans X ,

Evidemment, si D est le domaine d'existence dans X d'une fonction holomorphe, alors D est un domaine d'holomorphie dans X , Dans , la réciproque est vraie.

[1.2.5] THEOREME [Cartan-Thullen] . - Pour un domaine D c les con­

ditions suivantes sont équivalentes

[i] D est holomorphiquement convexe [ii] D est d'holomorphie dans c'^

[iii] D est domaine d'existence dans d'une fonction holomorphe DEMONSTRATION . - voir NORMANDES [17]

[1.2.6] REMARQUE , - Les définitions de [1.2.4] sont en général données sous une forme plus explicite et moins géométrique [cf, HORMAN- DER [17] P,36 et p. 39]

[1.2.7] REMARQUE , - Appelons extension holomorphe de la variété ho­

lomorphe D un plongement ouvert j : D --- > V dans une variété complexe connexe tel que l'application de restriction j : 0[V] -* <3[D]

soit surjective. Il est clair que si le domaine D c X est d'holomorphie dans X il n'existe pas de domaine V de X vérifiant D c V c X qui

i

soit une extension holomorphe de D .La réciproque est cependant faus—

se ; il existe un domaine D c C n'admettant aucune extension holomor- 2 phe D c V c C et ce domaine D n'est néanmoins pas d'holomorphie 2 dans C2 [cf. GUNNING-ROSSI

[13]

On peut maintenant introduire l'importante notion de

(1,3} VARIETES DE STEIN

(1,3.1} DEFINITION , - Une variété (resp, espace} analytique X est dite de Stein si les deux conditions suivantes sont vérifiées

(i} X est holoraerphiquement convexe

(ii} ^^(x} sépare les points de X (i.e. Vx, y E X (x + y}

3f € 0(X} f(x} t f(y} }

(1,3.2} REMARQUE , - H, GRAUERT [29 ] a démontré que si X est une variété de Stein de dimension n alors

(i} X est paracompacte

(ii} Vx E X 3 E

<3-(x}

Autrement dit, en chaque point de X on a des coordonnées locales four­

nies par des fonctions globales,

(1,3,3} REMARQUE , - On voit facilement qu'un produit fini de varié­

tés de Stein est de Stein et qu'une sous-variété fermée d'une variété de Stein est de Stein.

Nous avons besoin du résultat suivant ;

(1.3,4} THEOREME (Sehnke-Stein} , - Une variété complexe de dimension pure un est de Stein si (et seulement si} elle ne contient aucune compo­

sante connexe compacte,

DEMONSTRATION . - cf. NARASIMHAN [ 21 ] (1.4} FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES

(1.4,1} DEFINITION . - Une fonction f définie sur un ouvert Q c C et à valeurs dans FU { ~ “ } (muni de sa topologie naturelle} est dite sous-harmonique si

[i) f est semi—continue supérieurement

(ii) pour chaque compact K c c fi et chaque fonction u 6 C3'(K) har-

o

monique dans K on a l’implication

REMARQUE . - On a la définition équivalente [NARASIMHAN [ 22 ] } : Une fonction f définie sur un ouvert n c C et à valeurs dans RU { - “ } [muni de sa topologie naturelle) est sous-harmonique si :

(i) f est semi-continue supérieurement

(ii') pour tout z E n il existe r > 0 vérifiant B[z; r) c Q tel que pour chaque r' vérifiant 0 < r' < r on ait

-, ,2tt ..

f[z) < ^

j

(1,4,2) DEFINITION , - Une fonction f définie sur un ouvert

n c et à valeurs dans RU { - “ } (muni de sa topologie naturelle) est dite plurisousharmonique (psh) si

(i) f est semi-continue supérieurement

(ii) pour tout z E n et pour toute application affine a : C -* : t -* Z + tw , l'application

f O a : a (n) —> R U { - ® } : t —> f(z + tw) est sous—harmonique,

^lôK K ^< U (d'où la terminologie)

(1,4.3) CRITERE DE PLURISOUSHARMONICITE . - Une fonction de classe 2

C- sur l'ouvert fi c: C est psh si et uniquement si la forme hermi­

tienne ) ' dz. ® dz . est positive pour tout z E fi • i7>i ^^i ^ J

(voir PFLUG [ 23 ] ) .

□n a les résultats classiques suivants (cf, PFLUG [23 ] et HQRMANDER [17 ]) où on désigne par P(fi) l'ensemble des fonctions psh sur l'ou-

vert n c: ,

(1.4.4) P(n) est un cône convexe

(1.4.5) La limite décroissante d'une suite de fonctions psh est psh ,

(1.4.6) P : fj --- > P(n) est un faisceau sur c'^ (la plurisous- harmonicité est une propriété locale)

(1.4.7) Une limite uniforme sur les compacts de fonctions psh sur n est psh,

(1.4.8) Si n' est un ouvert de ' u ; n' -* n une application holomorphe et f Ç P(n) , alors u (f) = f ^ u € P(n')

(1.4.9) Si f Ç P(q) admet un maximum loca^ en x Ç n alors f est constante sur la composante connexe de n contenant x (principe du maximum pour les fonctions psh ) ,

(1.4.10) Soit (f ) une famille de fonctions psh sur n , On Qf Qf c 1

a l'équivalence pour la fonction f = sup f ; f est à valeurs a 6 I “

<00 et semi-continue supérieurement <;==> f 6 P(n) ,

Voici d'autres propositions, donnant des exemples de fonctions psh .

(1.4.11) f€0(n) et a ^ 0 > lfl“€P(o) (1.4.12) f 6 0(n) --- - log Ifj € P(n)

(1.4.13) Si ; R -* R est convexe croissante et si f € P(o) alors çp O ^ € f*(û) (on pose <p( - œ) = lim çp(x) ) ,

X - 00

(1,5) FONCTIONS STRICTEMENT PLURISOUSHARMONIEIUES , - On a souvent be­

soin de la notion plus forte suivante

(1,5,1) DEFINITION . - Une fonction f : n- RU{-“}

(0 c , ouvert) est dite strictement plurisousharmonique (spah) si pour toute cp € .^(o) = c“(n) , il existe e > 0 tel que

c

(Ve' ^ e) ^ e

f + e Cf € P(n)

(1.5.2) CRITERE . - Une fonction f Ç C (n) est spsh si et seule­

ment si, pour chaque z Ç C 1 la forme hermitienne

5 ’ —T»—^ dz. ® dz. est définie positive (cela résulte facilement

ihii ---

du critère (l,4,3) , Par exemple les fonctions z sur c'^

|z|| et 2 2 Z -* log(l + ||z|| ) sont spsh

(1.5.3) UN THEOREME D'APPROXIMATION . - Soit C c c'^ un ouvert conte­

nant l'ouvert n' c c n . Alors V f E P(n) il existe une suite décrois­

sante U £ SP(n') avec u -* u uniformément sur n' et u €C^*”(n') . (1 .6) APPRECIATION QUALITATIVE DE LA PLURI5C3U5HARMQNICITE . - On aura besoin, pour pouvoir utiliser des estimations précises, de la grandeur suivante, introduite par K. OKA.

(1 .6.1) DEFINITION . - Soit U c un ouvert, z£U et f:U-*R une fonction continue . On considère dans la norme hermitienne usuel­

le ||.ll . On pose pour X € avec llxll = 1 , 2tt

(1 .6.1.1) Wf(z; X) = lim inf ~^~2

C 1

r -* o 2-nr *^n ^

et

(1

.

.

)

(1.6.2) PROPOSITION .-

Wf(z) = inf

x)

Si f € C-

(u)

et par suite

Wf u. X) . n

»f(2) - .inf

.1 ÏU 1 J

C'est une conséquence immédiate du développement de Taylor à l'ordre 2 de f

[1 .6.3) PROPOSITION • " Soit f.q : U -* R des fonctions continues sur l'ouvert U de et soit k un réel s 0 . Alors

W[kf) = kW[f) et W[f+g) a W[f) + W[g) ,, La preuve résulte immédia- tement de ce que, pour deux parties non vides A, B cz R on a

inf[A+B) = inf A + inf B et inf[kA) = k inf A

[1 .6.4) PROPOSITION . - Soit f : U -• R une fonction définie sur un ouvert de c" .

(i) ^ Wf est a 0 sur U , f est psh

(ii) S'il existe une constante m > D avec Wf s m sur U , alors f est spsh

A défaut de connaître une référence, nous allons démontrer ce résultat élémentaire.

PREUVE . - Considérons la suite ff 1 de fonctions continues sur U --- ^ n

définies par ||z|p [z Ç U) . On a

W = W f[z} + -^ s ^ >0 . Par suite pour X fixé (||x|| = Oi

r ^ ^

on a Wf[z; 'kj > ^ et, pour r > 0 assez petit, on voit que

f(z + re x)d6 > f[z) ce qui, grâce à la définition i 0 , O

montre que t h* f[z + tx] est sous-harmonique en 0 Ç C . Comme X est quelconque et que f^ est continue, f^ • est psh . La suite (f^) converge en décroissant vers f , qui est donc psh d'après [1,4.5 ) ce qui démontre [i) .

Supposons maintenant que Wf s m > 0 sur U .

Soit cp € c”[U) . il est clair d'apres [1.6.2) que

Kl

lw[ecp)l ^ m sur U , ün a W[f+eqj) s W[f) + W[ecp) ^ □ [cf.

[1.6.3)) . Donc f + ecp est psh pour |e| ^ i ce qui prouve [ii) d'après la Définition [l.5,l)

[1.6.5] REMARQUE . - La partie [i] de [1.6.4] admet une récipro­

que : si f est psh alors Wf est s 0 sur U . Cela résulte de la Définition de Wf et de la Remarque [l,4,1']«

[1.6.6] PROPOSITION . - _Si f et g sont continues sur U et vé­

rifient, en un point £ U , et que par ailleurs f s g alors Wf[z^] a Wg[z^] . C'est clair sur les définitions

[1.6.1.1] et [1.6.1 .2] . On a enfin

[1.6.7] PROPOSITION . - Soit U un ouvert de , [f.] une suite J

de fonctions convergeant uniformément sur les compacts de U vers f . Si pour une constante k Ç R on a Wf. a k , alors Wf ^ k .

i3

PREU\/E . - Soit P : Ü -* R la fonction z -♦ k ||z|l . On a W[f. - p] = Wf. - k a 0 .

Les fonctions f. - p sont donc psh [1.6.4] et il en est de même de

<3

f - p d'après [1.4.7]

Donc 0 ^ W[f - p] = W[f] - k d'après [l.6.5] , ce qui démontre la Proposition.

[1.7] HOLOMORPHE CONVEXITE.PLURISOUSHARMONICITE ET VARIETES DE STEIN Citons d'abord le résultat fondamental suivant

[1.7.1] THEOREME [Grauert] . - Soit X une variété holomorphe. Elle est de Stein si et seulement si il existe f £ SP[X] fl <3°°[X] telle que les X^ = { X € X I f[x] < c } soient relativement compacts dans X .

On dit que f est d'exhaustion dans X pour exprimer qu'on a X^ c c X [c € R] .La démonstration de [l.7.l] est par exemple dans

hÔRMANDER c 17 3 .

Introduisons une notion plus faible que celle de variété de Stein grâce au résultat suivant :

[1.7.2) THEOREME (Andreotti - Grauert - Narasimhan) . - Pour une va­

riété holomorphe X , les propriétés suivantes sont équivalentes [i) X est holomorphiquement convexe et il existe K c c X tel que

0[x) sépare les points de X - K

[ii) Il existe f 6 C°°[x) , propre et à valeurs 2 □ , spsh hors d'un compact K c c X

[iii) Pour tout faisceau cohérent sur X et tout q 6 N dirrij, h'^[X, ?) < + œ .

[iv) Il existe un espace de Stein Y , un morphisme propre f : X -* Y et un ensemble fini F c Y tel que f| ^ :X-*f —1[f)-*Y-F

• 'x - f"^[F)

soit un isomorphisme analytique.

[Voir la preuve dans DOUADY [ 5 ] ) .

[1.7.3) DEFINITION . - Une variété X vérifiant une des conditions [i) à [iv) ci-dessus est dite 0-convexe [Douady l'appelle Quasi-Stein).

Rappelons enfin la

[1.7.4) REDUCTION DE REMMERT . - Soit X un espace analytique holo­

morphiquement convexe. Il existe un morphisme propre tt S X -* Y sur un espace de Stein tel que les fibres de tt soient connexes et que

*^X ~ ^Y

[cf. DOUADY [ 5 ])

CHAPITRE 2 - LE PROBLEME DE LEVI

[2.1) OUVERTS A BORD D'UNE VARIETE HOLOMORPHE

[2.1.1) DEFINITION . - Soit U un tuvert de la variété holomorphe X . On dira que U est à bord (3°° en un point x de son bord SU s'il existe un ouvert connexe V 3 x de X et une fonction réelle

cp 6 C°°(V) tels que

(i) (Vy 6 ÔU n V] dcp(y) ^ 0 (il) U n V = [ Z 6 Vlcp(z) < □}

U sera dit à bord (3-°° s'il est à bord (3°° en chaque point de ôU . On dit que cp définit U au voisinage de x

[2.1,2} REMARQUE . - Si \jt est une autre fonction de C°°[v'j véri­

fiant [i} et [ii) , il existe une unicque fonction h Ç C°°[v) véri­

fiant cp = h t|r .De plus h est > 0 sur V

C'est une application facile et classique de la formule de Taylor avec reste intégral [cf. L, SCHWARTZ [24]}

[2.1.3} DEFINITION . - Dans les notations de [2.1.1} on définit l'es­

pace tangent complexe à ôU en x comme l'unique hyperplan complexe pT [ôU} contenu dans 1'hyperplan réel T [ôU} de l'espace vectoriel corn-

Vf X X

Plexe (,T^[X} = T^[x} [ ici T^[ôU} désigne l'espace tangent réel en x à 1'hypersurface réelle âU de X } .

On a donc ^ ^ •

Dans les coordonnées locales [z.,..., z } on a :

1 n

C^x (auî - {n aj ^ I n ^

«3 J

[2.2} FORME DE LEVI D'UNE FONCTION SUR UNE VARIETE . Soit X une variété holomorphe et f € C°°[X}

[2.2.1} DEFINITION . - La forme de Levi de f en x Ç X est la forme sesquilinéaire sur T^[X} définie dans des coordonnées locales

[z^...

X'

L(f ; x) : T^(X) X T^(X) —> C : (s s. E

^ ôz. ôz 1 J

En d'autres termes, L(f; x) = C

^ 3

est bien définie, indépendamment des coordonnées choisies, comme le mon­

tre un calcul dans GUNNING-ROSSI [13 ] )

[2.2.2] REMARQUE . - Une fonction C°° réelle f sur X est spsh . si et seulement si sa forme de Levi L(f; x) est definie positive en chaque x 6 X ,

[2.3] OUVERTS STRICTEMENT PSEUDOCONVEXES

[2.3.1} DEFINITION . - L'ouvert U relativement compact à bord C°°

de la variété holomorphe X est dit strictement pseudoconvexe s'il vé­

rifie la propriété suivante : étant donné x Ç U et cp définissant U au voisinage de x [cf.(2.1.1)) , la forme de Levi L[cp; x) restreinte à „T (ôU) X T (ôU) est définie positive.

l./ X V/ X

Cette définition ne dépend pas du choix de cp [cf. [2.1.2) et GUN­

NING-ROSSI [13] ) . [2.3.2) PROPOSITION . -

a) Soit U c c X un ouvert à bord C°° de la variété holomorphe X Si U est strictement pseudoconvexe, on peut trouver un ouvert V 3 ôU et une fonction p 6 C°°[V) (T SP[V) tels que

[i) [Vy G ôU) dp [y) ^ 0

[ii) U n V = { y € V 1 p[y) < 0 }

b) Si X est de Stein, on peut choisir V 3 U PREUVE . - a) est classique, cf. PFLUG [23]

b) est plus récent et est dû à MORROW-ROSSI-FORNASS [20]

strictement pseudoconvexes vérifiant X^ c c [i GIN}

PREUVE . - C'est une conséquence immédiate de (l.7.l'j et du Théorème de Sard. On considère cp € C°°(X} fl Sf*(x} d'exhaustion et on pose

X^ = { X 6 X I çp(x) < } où c^ < c^ < ... est une suite de valeurs régulières de cp vérifiant lim c. = œ

X 00

(2.3.4} PROPOSITION (Oka} . - Soit U un ouvert strictement pseudo­

convexe de et X 6 ôU .11 existe uhe hypersurface lisse localement fermée H c telle que H fl U = [ x } (voir la preuve dans H. GRAUERT [ 9] ] .

(2.4} LE PROBLEME DE LEVI .

(2.4.1} DEFINITION . - Un ouvert U d'une variété holomorphe X est dit localement de Stein si pour tout x F ôU il existe un ouvert V c X tel que V fl U soit de Stein.

(2.4.2} EXEMPLES . -

(2.4,2.1} Tout ouvert de Stein d'une variété holomorphe est localement de Stein ; cela résulte de ce que l'intersection de deux ouverts de Stein d'une variété holomorphe est de Stein.

(2.4,2,2} Tout ouvert strictement pseudoconvexe d'une variété holomorphe est localement de Stein (cf. HORMANDER [17] } .

(2.4.3} LE PROBLEME . - Il s'agit de donner des conditions suffisantes pour qu'un ouvert localement de Stein d'une variété holomorphe soit de Stein.

La solution du problème de Levi originel est donnée par le Théorème sui­

vant

[2.4.3.1) THEOREME [Oka - Bremermann - Norguet) . - Tout ouvert loca­

lement de Stein de c'^ est de Stein. [cf. HORMANDER [17 ]) . On a plus généralement

[2.4.3.2} THEOREME (DOOQUIER - GRAUERT [ 4 ] ) . - Tout ouvert locale­

ment de Stein d'une variété de Stein est de Stein

[2.4.4) REMARQUE . - H. Grauert a prouvé que pour chaque entier n 2; 2 il existe un tore T et un ouvert U ç; T localement de Stein

n T n

tel que 0[U) = C

Par conséquent U n'est même pas holomorphiquement convexe. On a cepen­

dant le profond résultat suivant :

[2.4.4.1) THEOREME (GRAUERT, cf. [ 13 ]). - Soit D un ouvert stricte­

ment pseudoconvexe relativement compact de la variété holomorphe X Alors D est 0 - convexe.

[2.4.5) UNE CONJECTURE DE STEIN . - On a la conjecture très générale suivante

[2.4.5.1) CONJECTURE [Stein) . - Soit tt : X -♦ Y un morphisme de variétés holomorphes. Supposons qu'il existe un recouvrement de Y par

-1

une famille d'ouverts [Y ) telle que les tt [Y ) soient de Stein [on

a a ^

dit alors que le morphisme rr est de Steiri) . Alors si Y est de Stein, X est aussi de Stein.

[2.4.5.2) CAS PARTICULIERS .

a) Si tt est l'injection canonique d'un ouvert Y de X , l'hypothèse devient que Y est un ouvert localement de Stein d'une variété de Stein : la conjecture est vraie dans ce cas d'après Docquier-Grauert

[cf. [2.4.3.2)) .

b) Si Y est une fibration localement triviale, on obtient la fameuse conjecture de Serre : un fibre à base et fibre de Stein est de Stein.

Il existe une abondante littérature sur cette conjecture, résolue dans de nombreux cas particuliers [cf. Y.T. SIU [32 ] et la bibliographie afférente) .

(2.4.6) QUELQUES AUTRES RESULTATS CONNUS

(2.4.6.1) TI-EDREME (FUJITA [ 8 ] ; voir aussi TAKEUCHI [26 ] st KISELMAN [ 31 ]) . - Tout ouvert localement de Stein (à frontière non vide) d'un projectif est de Stein.

Ce résultat a été généralisé récemment aux grassmanniennes par A. HIRSCHO- WITZ [ 1S] qui démontre plus généralement

(2.4.6.2) THEOREME (A. HIRSCHOWITZ [16]) . - Un ouvert localement de Stein non compact d'une variété homogène compacte irréductible ration­

nelle est de Stein.

(Les grassmanniennes et les hyperquadriques sont des variétés du type mentionné dans l'énoncé).

CHAPITRE 3 - GEOMETRIE HERMITIENNE

On aura besoin de façon essentielle dans la suite de la notion de variété kahlérienne, que nous introduisons maintenant. Soit X une va­

riété analytique complexe de dimension n et T = T son fibré tangent

A

complexe.

(3.1) L'ALGEBRE EXTERIEURE AT . - Rappelons que si E est un es­

pace vectoriel complexe (de dimension n ) et E_ l'espace réel sous- r\

jacent, on a une décomposition canonique de l'algèbre extérieure complexe (a Ej^) ® C sous la forme AEp®pC = 0 A^’*^E désigne le

p»q

C - espace vectoriel des p+q - formes R-multilinéaires alternées f à valeurs complexes vérifiant V a € C W v^, ..., € E

f(av, ,...,av 1 p+q ) = a^ f(v... .. V. » I p^.q ^ V. ) [cf. GRAUERT-FRITSCHE [7 11L J J Soit e^,...,e^ une C-base de E et e,j, la C-base duale de

* , - -

E . Désignons par e,j, les fonctions complexes conjuguées de . Alors la famille

fs* A Ac- A6. a As* J

^1 ^p -^1 -^q

l^i. <...<i ^n

1 P

1 ^ j^ < ... < j^ ^ n forme une C-base de A^’*^ E

- ■K’-

On a bien entendu [A E^j) ® r> C =

h\ H A^’'^ E* ,

p+q=k

[a"* Ep) ® C = Homj^[Ej^, Cj^) et a"' E = E [dual complexe de E ) Ces notions ponctuelles se globalisent sur la variété X et l'algèbre extérieure du fibre tangent T se décompose sous la forme

[a Tpi = © A^’*^T .Si UcX est l'ouvert de définition de PiP

la carte locale (z... z 1 , la famille [dz. A ... A dz. A dz . A ... A dz . 1

^p -^1 Jq

1^i<.,.<i ^n

1 P

1 ^ j. < ... < j ^ n

* H

des sections de ^ jy définit une trivialisation de ce fibré.

(3.21 STRUCTURES HERMITIENNES ET KAHLERIENNES

(3.2,11 DEFINITION . - Soit E un fibré holomorphe de rang r sur la variété analytique X de dimension n . Une structure hermitienne sur E est la donnée d'une structure hermitienne h^ sur chaque fibre E^ de E telle que pour tout ouvert U de X et toutes sections in­

définiment différentiables u,v € r[U, El la fonction

h[u, vl , U -♦ C : X -* h [u[xl, v[xH soit indéfiniment différen­

tiable. Si, de plus, chaque fois que u et v sont analytiques-réelles, il en est de même de h(u, vj on dira que la structure hermitienne est analytique-réelle.

Une structure hermitienne sur X sera, par définition, une structure hermitienne sur le fibre tangent T à X .

A

[3.2.2) ECRITURE LOCALE . - Si U cX est l'ouvert de définition de la carte [z. , ..,, Z ) , on a h I,, = E g. . dz. ® dz . .La matrice

1 n |U XJ 1 J

[g. .[x)) est hermitienne définie positive pour chaque x £ U

[3.2.3) REMARQUE ET DEFINITION . — Soit E un espace vectoriel com­

plexe muni d'une structure hermitienne h . Cn lui associe de façon cano- nique la forme alternée réelle [- Im h) E A ’ E

En globalisant cette notion ponctuelle mais naturelle, on voit qu'à chaque structure hermitienne h sur la variété holomorphe X on peut associer

11^

une forme différentielle globale lu = - Im h £ F[X, A ’ T )

La forme uj est c” [et analytique réelle si h est analytique-réelle).

Localement, si hi,, s'écrit E g. . dz. ® dz . alors

|U ""iJ 1 J

u)||. = E^ g. . dz. A dz . . Une structure hermitienne h sur X est dite kàhlérienne si la forme différentielle œ qui lui est associée est fermée, i.e. si du) = 0

Qn appelle, par abus de langage, variété kàhlérienne une variété holomor­

phe qu'on peut munir d'une structure kàhlérienne.

[3.3) QUELQUES EXEMPLES.

[3.3.1) L'espace numérique muni de sa métrique usuelle h = H dz. 0 dz. de forme associée

X X

(U = I C - CZ '«XjA dy. Uj-x. + iy.)

est une variété kàhlérienne.

[3.3.2) Soit i : Y --- > X une sous—variété fermée de la variété hermitienne [X, h) . En restreignant h à , on obtient une struc­

ture hermitienne hsur Y . Si h est kahlérienne, h |y l'est aussi puisque la restriction à une sous-variété d'une forme fermée est fermée.

[3.3.3) De [3.3.1) , [3.3.2) et du Théorème de plongement d'une va­

riété de Stein dans un espace numérique [REMMERT, cf, [ 17]) il résul­

te que toute variété de Stein est kahlérienne.

[3.3.4) Tout tore complexe est une variété kahlérienne : soit 2n

[u);|,... jüu^i^) une R-base de C et F = ) \ le réseau qu'elle engendre. Soit T = le tore déterminé par F et n : -* T la projection naturelle. L'invariance de la métrique usuelle

h = E dz^ ® dz^ de c'^ sous l'action du groupe des translations de c'^ implique l'existence d'une unique structure hermitienne h sur

*

T pour laquelle tt h^ = h . Comme tt est étale, h^ est kahlérienne parce que h l'est.

[3.3.5) L'espace projectif lPj^[C) est muni d'une structure kShlérienne importante [Fubini-Study) que nous allons rappeler.

Soit CIqI •••! Çf-|] Ibs coordonnées homogènes de |P|^[C)

Soit “i - [[^...g « 1 7^ 0 ] .

Gn a les cartes [z^... z\ .... z^) : U.

... ^(JH _V ^h ^... ç. ^{SU )}J

.

Posons

Il existe alors sur IP (C) une forme hermitienne unique h vérifiant (1 + ili2

'lUi

) ] ’ dz^ ® dz^ - ] ' z^ z.^ dz^ 0 dz,^

j r ^^ -i.^ i

et cette forme est kahlérienne. Cela se vérifie par un calcul facile et classique [ 28]

(3.3,6) De (3.3,5) et (3.3.2) il résulte que toute variété algébri­

que projective est kahlérienne. La réciproque est fausse : on sait [28] qu'il existe des tores non algébriques : ce sont des variétés kâhlériennes d'après (3.3.4)

(3.3,7) Toute courbe complexe est kahlérienne. En effet, chacune de ses composantes connexes est de Stein ou algébrique projective (théorè­

mes de BEHNKE-STEIN [21 ] et de RIEMANN [12 ]) et on applique (3.3.3) et (3.3.6) .

Une autre manière de le voir est d'invoquer le Théorème de RADO [14 ] ; la courbe est paracompacte et peut être munie d'une structure hermitienne h . La forme uj associée à h étant de rang maximal (=2) sur la courbe est alors nécessairement fermée et h est donc kahlérienne.

(3.4) OBSTRUCTIONS TOPOLQGIQUES , - Il existe des variétés qu'on ne peut munir d'une structure kahlérienne. Ainsi, soit X une variété ana­

lytique compacte. On peut prouver que si X est kahlérienne, les nombres de Betti b^(x) = dim^ H^(X, C) de X sont pairs pour i impair [28 ] .

Soit alors X une surface de HOPF [ 28 ] 1 3

Comme X est homéomorphe à S x S (le produit des sphères réelles de dimension 1 et 3) , on a b^(x) = 1 (formule de KOnneth) et par

suite X ne saurait admettre de structure kahlérienne.

[3.5) COURBURE ET COORDONNEES GEODESIQUES . - Soit [X, h) une variété holomorphe munie d'une métrique hermitienne. Soit

Z = [z^, ..., z^) : U -* c'^ une carte de X .Le tenseur de cour­

bure de h est donné dans la carte z par ses composantes

[3.5.1) _xjkjÈ

-U»

h. . ôzl

+

où matrice de h dans la carte z et [h'^) la matrice inverse de cette matrice.

[3.5.2) DEFINITIONS . - La métrique hermitienne h est dite avoir une courbure positive si pour tout x Ç X , toute carte z en x et tout couple U = 2 U. , V = S V. r;^ de vecteurs non nuis de

1 oz^ 1 dz^

T [x) on a : x'- ■'

{3.5.2.11 C “i “j “k ^ °

Le fibré tangent à la variété analytique X est dit positif si on peut munir X d'une structure hermitienne de courbure positive.

[3.5.3) REMARQUE . - Il y a plusieurs manières de généraliser la notion de fibré de rang un positif à des fibrés de rang quelconque ; elles ne sont malheureusement pas équivalentes. Notre définition est celle adoptée par GRIFFITHS [ 30 ] .

[3.5.4) PROPOSITION [ETO-KAZAMA-WATANABE [6 ] ) . - La variété holomorphe X admet un fibré tangent positif si et seulement si on peut

*

munir le fibré cotangent T X de X d'une structure hermitienne g telle que l'application T [XJ - 0 „'i

T^[X)

■> C : _V -* g[v, v) soit

strictement pluriSQUsharmonique (on a désigné par 0 la section T [X)

nulle de T (x) )

Lorsqu'une variété holomorphe est munie d'une métrique hermitienne, il peut être avantageux d'utiliser des cartes locales dans lesquelles cette métrique a des composantes particulièrement simples.

[3.5.5) PROPOSITION ET DEFINITION . - Soit X une variété analytique munie d'une structure kahlérienne h et x € X ,11 existe une carte Z = [z^,..., Z ) au voisinage de x telle que la matrice [g..) de g

^ i J

dans cette carte vérifie [3.5.5.1)

[3.5.5.2) et par suite

[3.5.5.3)

g. .[x)

dg^j(x) = 0

R. .. .(x)

3 9.Ax)

Une telle carte est dite géodésique en x

L'existence de cartes géodésiques en chaque point de X est facile et résulte du théorème des fonctions implicites. Voir par exemple GRAUERT- RIEMENSCHNEIDER [ 10 ]

(3.6) UN EXEMPLE . - On va montrer que l'espace projectif PpCc) a un fibré tangent positif. On utilise les notations de (3.3.5) . On peut, par homogénéité de Pp(c) , étudier P^(^) voisinage de

X = [1,0,0, ...,0] et dans la carte z = (z^,...,z^) = (z°,...,z°) de domaine U . Dans cette carte x est le point de coordonnées

O

(0,...,0) . On a alors g. .(z) =

(l + |lzlp)ô. . - z. z . _ " " i.1 1 .1

+ Mff

(3.5.5,1) est vérifiée. D'autre part.

La carte z est géodésique en x

le développement à l'ordre 2 de g. . au voisinage de 0 est 1J

ii2 —

[l - |lz|| )ô. . “ Z. Z. ; cette expression prouve [3.5.5.2) et de plus 113 ^ J

permet de ealculer - ô. j 6^^ + ôj^ 6^. .

Alors ) ’ R. .fO)u. U. V, V, V. = 5 ' ô. . u. u. ô, . v, v, + xjkA'- ^ijkkje i—■""ijxjkjiki, Ljkji

+ n ^ “j \ ^ = ll“lf IMf +

(où [u|v] = s et ||u||^ = [uju] ) .

La structure kâhlérienne de Fubini-Study de a donc bien une cour­

bure positive.

(3.7) RESULTATS D'APPROXIMATION . - On aura besoin dans la suite de passer de structures hermitiennes C- à des structures analytiques-réel- 00

les ((3-“) . On va montrer qu'on peut le faire en préservant des inégali­

tés intéressantes.

(3.7.1) LEMME . - Soit W un voisinage ouvert de 0 et çp Ç C°°(w)

Fixons un entier d . Il existe une suite de fonctions analytiques-réelles (çp^) sur W telles que Va € vérifiant |a| à d on ait :

1“/ La suite (O*^ cp_^) converge uniformément sur les compacts de W vers D cp

2°/ Pour chaque v 6 N on ait cpC^)

DEMONSTRATION . - Il existe, d'après le Théorème de WEIERSTRASS [21 ] , une suite fonctions analytiques-réelles (des polynômes !) telle que pour lai ^ d la suite (0°^ i|t^) converge uniformément sur les com­

pacts de W vers 0°^ cp . Ecrivons alors cp = \|r + Tjj(cp - i|f)(o) où T^(cp - '|t^)(0) est le polynôme obtenu en tronquant à l'ordre d la série

de Taylor en 0 de cp - i|f V

La suite [cp 1 est la suite cherchée. C.Q.F.D.

Considérons encore un ouvert W 3 0 de et munissons—le d'une structure hermitienne h vérifiant h..[0l = ô.. et dh^fol = Q

IJ XJ ij

[i.e. l'identité de W est une carte géodésique en 0 } . Soit les composantes du tenseur de courbure de h et R*[ü) = max 1R. .Posons

C = inf

=1 i,j,k,£ 1 J k 2

où 11.Il désigne la norme hermitienne usuelle de . Remarquons que, par un argument de compacité, C est >0 si la courbure de h est positive.

[3.7.2) LEMME . - lï existe une suite [^h) de structures hermitien­

nes analytiques-réelles sur tout ouvert W ccW , vérifiant 1°/ Pour lû-i ^ 2 h. .[q) = d“ h. ,[0)

' ' V XJ xj'- ''

2°/ C = C ^r"[o) = r"[o)

3°/ Si on désigne par d [resp. ^d) la métrique sur W déduite de la structure riemannienne sous-jacente à h [resp. h) , la suite ^d converge vers d sur les compacts de W x W

DEMONSTRATION . - D'après le Lemme [3.2.1) appliqué d = 2 on peut choisir, pour chaque couple [i,j) vérifiant i ^ j une suite [ h^^) de fonctions analytiques-réelles sur W vérifiant ^°/ et convergeant uniformément sur les compacts de W vers h^j ainsi que leurs dérivées d'ordre ^2 .En posant, pour i>j , h.. = h.. ,on obtient une

V XJ V jx ’

suite de matrices hermitiennes convergeant uniformément sur les

compacts de W vers la matrice ■ Comme définie posi­

tive, il en est de même sur W de pour v assez grand. On peut supposer donc que définit une structure hermitienne sur W [quit­

te à changer l'indexation de la suite). Alors 1°/ est vérifié par cons- truction et 2°/ résulte de 1°/ puisque et R [C) sont donnés par des formules ne faisant intervenir que les dérivées d'ordre ^ 2 en

^ h. ,[0)

G des h. . : à savoir R. ,[0) =--- --- et

V ij V ijkA'-

C = inf

11= ulM ±jkl 1 J k

Le 3°/ résulte encore de la convergence uniforme sur les compacts de ( h. .) vers [h. .) et de la formule

V ij ij

= J { rZ f^ij^Y(t)) Yj[t) dt

â

donnant la longueur pour h de la courbe y : [ a, b ] --- > W c.q.f ,d.

CHAPITRE 4 - UN RESULTAT DE GEOMETRIE KAHLERIENNE LOCALE

[4.1) AVERTISSEMENT . - Dans ce chapitre, on désignera uniformément par M toute constante ne dépendant que de la dimension n de l'espace am­

biant c'^ . La valeur numérique de M peut donc changer d'une ligne à l'autre, mais cela nous a semblé préférable à une longue succession d'in­

dices numériques.

Les [in) égalités ne seront pas précédées du chiffre 4 [4.2) THEOREME . - Soit U la boule ||zl|

un ouvert de Stein tel que 0 Ç 5D . Soit g analytique-réelle sur distance associée

< E de c'^ et D (Z U une structure hermitienne

d et vérifiant g[0) = I

et dg[0] = 0 . Soit V la boule ||z|| ^ et 6 un réel véri­

fiant 0 < ô < ^ . On pose C inf ) R. , [0)x. A. .U, IX.

r’(0) = max lR^..,(0)l .

Supposons qu'on ait aussi sur U , pour 1 ^ i,j,k,Jl ^ n ,

[a]

[b]

(c)

(d)

lOij-ôijl ^ 6

,^9-i i n

^ ô (at donc ,|g=-^l ^ ô )

k k

|r. +---y

9ii

£ 2

^ ô

[composantes de la matrice inverse de (g. .)]

^ J

Alors

1°/ W[- log b) est minorée sur D H V

C

2°/ Si de plus g est de courbure positive, on a W[- log b] s jjp > □ sur D n V dès que ô ^ 6^ où 6^ ne dépend que des dérivées d'ordre 2 des g. . en 0 et de E

^3

DEMONSTRATION . - Pour chaque j E N on définit D. c; c D de sorte

3

que les forment une suite croissante d'ouverts strictement pseudo­

convexes à frontière (3™ vérifiant = D [l'existence de cette j € N

suite a été constatée en [2,3,3}) . Soit n c c V (T D un ouvert.

Alors pour j S; j 3 3 n . Pour de tels j on définit

n -♦ R : z -* d[z, ôD'^) . La suite b"^ converge uniformément

vers b sur Q et d'après [1,6,6} on a

W[- log b) s inf j ^ € n

W[- log b‘^j[2)

[1}

sur n . On va donc s'attacher à minorer W[- log b'^J sur n . Soit donc M € 0 et j S; . Soit Q un des points de ôD'^ tels que d[M, Q] = d[M, ôD'^} et y • [ ] --- > U une géodésiq ue

llY'(t}llg = s où on a posé d[M, Q) = s et

joignant M à Q et vérifiant y[0) = M , ytO = Q et

,|l^ = norme dans

T[u} déduite de g . Comme D'^ est strictement pseudoconvexe à frontière lisse, on a vu en (2,3,4} qu'il existe une hypersurface lisse H ,

localement fermée dans U telle que H fl = [ 0 ] . Soit alors Y : I -* U un prolongement analytique complexe de y à un voisinage convexe I de [0,1] dans C . Pour C € assez petit, on peut définir la courbe complexe , translatée de y ,

: I -* U : Z -* Q + y(z'J . Comme y'(l} est un vecteur transverse à H en Q (puisque y'(l} est transverse à 0'^ en Q et que D'^

et H sont tangents en Q )i il résulte du théorème des fonctions im­

plicites qu'il existe un unique germe d'application holomorphe U) : (C^, 0} ---> (l, 1} tel que r^((ü(C)} 6 H • Soit à[ç) la longueur pour g de la courbe [ 0, 1 } : t -* ^ + y(tu)(£}}

On a a(0} = s et a( C) ^ b'^(M + ^}

On a alors, d'après (1,6,6} ,

W(- log b'^}(M} a W(- log a}(0} (2}

et W(- log A}(0} =

=1 ^ ^^i ^^j ^ ^

(3}

d'après (1,6,2} ,

'l

Or 4(cl » kOlJ (g(t, crr^ dt . |a,(C)l G(C'J

ou on a pose

g(t, C) = E U + Y(tcJu(Cj]} Ÿp(tu}(C))

et G[cl = j [g(t, clt

'5]

;sj

Or log

K

I _ a^f- log |i»inc1 ^ a^(- log Bik)

atj àq atj

_ 1 a efd 1 aG(c1 acfc)

^ G=(c) aCi atj

en effet, comme u) est analytique complexe et non nulle, on a

a^t- i°g lœlKcl _ O

ôC- ôT-

Donc ni V. 1. s - 1 9 gToI

ôC,- "’i ^—‘ g(o) ôÇ.'^ô^.

■'1 "J 2

et d'après (3) , W[- log a(0]] a inf (7)

2

D'autre part g[t, ü] = s et G(0] = s d'après [s) et (s) et de plus

a^ ofo) - _L (' t/ a^ gf*. _ agft, o1 ^agft, o1 ,

et par suite

1 i >

^ 2s^ ^

en se reportant à (7) on obtient

w(- log A)(0) s Y~', (- -1^ ) ’ X.

11^1 2s^ ^ "

2

Il reste à évaluer ^ ^

aq «j

D'après la Définition [s) de g(t, ç] on a X.J

att, 0) ) (8, . O

à9[t, cl ôq

,__ , ôg^(C + Y(tu)(c)]) .

CI ar--- (6;,i + ty'(t»(C))

a,3,k Sq

Y^[tœ(C]) Yp[t(u[CJ}

+ C ' 3^(C + Y(t«(C))) y;(MC)) ^ Yjltœlc)]

(9l

«= n

a g^(Y(t))

B = t ty.(t) y;(t) yj(t)

B - El (6^., t tYi(t) tv:(t) ^

.rtKk BCj ' “V- ’s'-' aq

B = EZ ^ ôq ^ ôq ^ ^

et en dérivant (9) on obtient :

= A + B + C + D

ôq ôCj C'io) .

Il s'agit maintenant d'évaluer ces quatre termes. Exprimons que Y*(O est g-orthogonal au point Q à l'hypersurface H . Comme H est au voisinage de Q , l'image de £ ^ + y[u)(C1) on obtient les conditions

âfM,

En désignant par le vecteur de la base canonique de c'^

et par le produit hermitien déduit de g , ces conditions s'écrivent encore

^ [ y '( i )I y '(OL

et par suite

dœ(0]

(

)

Voyons d'autres inégalités. Par hypothèse (a) on a sur U

kiji ^ ^

□n on a

en déduit, par Cauchy-Schwarz, que pour v = EZ-c.#- ^ 0/

Mlg ^ Milvil et llvll ^ M llviig (14)

Par suite \y'^[t)\ ^ |lY'[t)H ^ M ||Y'(t)|lg = Ms et on a donc d'après (12)

du)(0)

2--- ^ IKII Hy'COIL ^ ^ Ms lle^

s s g 'g 2 ^ s

[15)

donc finalement

dcufo)

âCk

[

)

Par ailleurs y = yIC 5, 1 ] est une géodésique et vérifie donc [cf, par exemple KOBAYASHI-NOMIZU [ 1S ])

. . ôg, .[Y['t))

YV[t) + JZl g^'^[Y[t)) ---^--- Y|(.[t) Y^[t) = 0 et par suite

j, k, £

|YV[t) I £ M ô s^" [17)

d'après les hypothèses (b) et (d) et d'après (is)

2

On a vu en [10) que J = A+B + C + D

ôCi ô-Tj

On a Ib] + |C| + lD| ^ ô(l + .s M 6 ^ + ô(l + —) M Ô s , c 2 M 2 M

+ MÔS — Môs —

s s

Donc

|

|+|

|+1

|

(ô^ ^ ô car ô ^ idn Posons

[I8j

t\i " v;(t) v'[t)

A2(t)

o',3ik,£

5

ôCk ôq ^ ^ ^ ôCj ^

v;(t) Y'(t)

Alors A = A^[t] + A^ft) et en utilisant [c)

|A2(tJl ^ M 6 (1 + 1^) [1 + 1^) SS donc

|A2(t)I ^ M ô [19)

Pour majorer A^[t) on écrit

^

+ n (- R t v'(t) Y'(t) v'(t)

a,&,k,Z ^

^^j “ ^

* aE,l '■ ^ ^ ^{8Cj aq}

Or lYÎ(t) - Y,K''j| ^ sup 1y!;'(Ç)1 ê M ô s d'après (l?’j .

§

On va donc remplacer Y.-l^] par Y^(0 évaluer l'erreur commise, comme plus haut.

Posons [t) = + A^[t) avec

q^jP ,K,;i

* EZ (-v;(i)

O'j P J kj

ttiP.k,^

ot,^,k,Z

ôCj ôq ^ ^p'

et lA^(t)| ^ M 6 s^ R*[0)

(

)

où, rappelons-le, R (O) = max

iij|k,£ ijkjÈ'

gft, 0^

3 Ci 3Tj

Ajj + A^(t) + A^ + B + C + D (21)

jA^(t) +A2+B+C+DI ^ Môs^ R*(0) + M ô + M 6 s^

d'après (20) , (19) et (1B)

Donc |A^(t)+A2 + B + C + Dl ^ Môs^+Môs^ R*(0) (22) Si l'on retourne à (s) , on voit que

X =1 23^ i,j ^ J •^o

i- n\h f N

s inf V- 2 i-—> '"i

=1 2s i,j ^ “o sup (-

11X11=1

2s^ i,j

,1 inf

INH Y b. A

O

25^" i,j

1 inf

lIxlM

"2

C

J

A' dt] - [ sup l2 X.1^)(MÔ + Môs r’'''(0})

^ 11X11=1

donc W[- log a)[D) s inf (- —^ S'X. X.

IIM1=1 2s^ J

IZ X. l^jlMôs R"'[Cjj 1

dt) - ô[M + MER^[0]]

(23) où on a utilisé que s ^ ME puisque s est la distance de deux points de la boule ||z|| < E et que l'on a (M) . Il reste, pour minorer W(- log A)(0) à évaluer A' dt . Pour ce faire, on pose, pour

O

R(0)(a, b, c, d) . ^ =>1 \ y -

On a alors, si on revient à la Définition (20) de A^ : 1

N = R(aKY'C0,Y'(0,Y'(0,x)

-L J J q '

+ I R(0)(Y'(l),Y'(''l,Y'[OA)y + 5 R[0)[y'(O,y'[Oa^ Y'(0)ÿ

+ I R(0)(Y'('l),Y'[''),Y'[lj.Y’[^) IyI^

et donc d'après (23)

W(- log A)(0) s inf { (R (□) (y'(l ) . y'(^ ) , X, X) +

+ /Cfe R(0)(y’(1),y'['1).Y'[O,X) y +

5

- Ô(M + MEr''(0)) } ^24)

0J|4:^

Si on re\/ient à (l), (2) et [3] on voit que W[- log b) sW[- log AJ [O) sur Q , qui est un ouvert relativement compact arbitraire de V H D

Comme 11y'('1J|| ^ ME et |y| ^ ^ , l'inégalité (24j implique déjà que W[- log b) est minorée sur V fl D et on a ainsi démontré l'asser­

tion 1°/ du Théorème (4.2) . Pour démontrer l'assertion 2°/ de ce Théorème, on suppose que la courbure de g est positive. On a alors R(ü)(a, a, b, b) 2: jlaH l|b|l par définition de 2 2 . On en déduit, par Cauchy-Schwarz, que

(R(G)[a, a, b, c))^ ^ R(0)[a, a, b, b).R(0)(a, a, c, c) (25) En utilisant (24) , on a

W(- log a)(0) s inf [ (R(0) (y'('') >Y'('l ) . A.» X]

11X11=1 '•2s^

- Ivl (R(o)(y'('>),y'('i),y'(''),x1

+ 5 R(0)(y'('>),y'('i1.y'(''),y'(O} IyI^ ■} - ô(M + mer''(d))

^ - 6(M + MER (O)) + inf —^

=1 2s

R(0j(Y'(OrY'(^).Y*(-^].Y'[OiR(0j(Y'(^],Y'(''J.X,X) ~ |R(0) (y'(0 .Y'(^ ) .Y'(1 ) . x) 4R(ü)(y'(1),y'(''),Y’(0,Y'(0)

en utilisant, pour la dernière inégalité, la formule du minimum d'une forme quadratique (en la variable jy] ) .

Donc

l»(- log 2 - 6(U + MER*(0)) + inf R(0Ky'(1 ) ,v'(O

en utilisant (25)

Par suite W(- log a)(0) s inf [— s^ C Hy'('• ) if HxlP) - ô(M + MER*(0)) Il M_'| ^

si on utilise R(0)(a, a, b, b) s C^ HalP lli^ip

Cümme Hy'[1)|1 ^ ^ l|Y'('')llg = d'après (MJ

□n a W(- Xog aKOJ 2 ■*■ ^3 ^ R*[0’JJ

(où on a mis des indices aux constantes M , pour plus de clarté J.

Comme cette minoration ne dépend pas de QccVflM ,ona W(- log b) s W[- log A](D) 2 “ ^(^^2 ^3 ^

sur V n ü , Ceci achève de prouver le Théorème [4.2] . C.Q.F.D.

CHAPITRE 5 - APPLICATIONS

Noms allons voir dans ce Chapitre comment on peut déduire plusieurs résultats du Théorème démontré en (4,2)

[5,1) THEOREME , - Soit X une variété analytique complexe munjssa- ble d'une structure kahlérlenne de courbure positive. Soit D c c X un ouvert relativement compact et localement de Stein de X , Alors D est D-convaxe,

DEMONSTRATION , - Soit h la structure kahlerienne dont l'existence est affirmée dans l'énoncé ; soit d. la distance déduite et b,_ la

h , h

fonction distance à la frontière de 0 , à savoir

b|^ ; 0 -♦ F I 2 -*d|_^(z, ôD) . Pour prouver le Théorème, il suffit de prouver que la fonction (- log b^^) est strictement plurisousharmo- nique en dehors d'un compact de 0 ,

Pour CB faire, qn va prouver que chaque point p de ôO possède un voisinage ouvert V tel que (- log b^) soit spsh, sur V fl 0

r J P

(ce qui suffit h prouver le Théorème puisque 0 c c X )

Soit donc p un point de ôD et = (z^, z^'j : W -> C une carte géodésique de X en p (cf. (...)) avec z(pj = Oj

On obtient, comme d'habitude, les constantes

El ^iik/°''’ ^i = max'R (ÜJJ

= llul|=1 W ^ 1 J k .jk^

où les R. ... sont les composantes du tenseur de courbure dans la carte 1 jkX,

W"

En appliquant la construction du Lemme [3,7,2] , on trouve une suite [^) de structures hermitiennes analytiques-réelles sur un voisinage ouvert

de p [W*^ c c W'^) telle que les \Fij convergent uniformément sur les compacts de vers h^^ [jo'| ^ 2] et que 1°/, 2°/ et

3°/ de [3,7,2] soient vérifiées,

□n a donc d'après [1,6,7] et [3,7,2]

[5.11] W[- log b] S: inf W[- log b] sur W

[ b désigne bien entendu la fonction z-* d[z;ôDnw]]

V V P

D'autre part, par convergence uniforme sur les compacts des dérivées d'ordre £ 2 des g. . vers h. . et du fait que la carte z^ est

V ij ij

géodésique en p , on a [seulement pour v assez grand, mais on suppo­

sera par réindexation que c'est vrai pour tout v Ç N ] quel que soit 6 >0 fixé ;

V XJ XJ ' O ’

|i_£iji

' ÔZ, " ^o ' ÔZ, ^ ô

R. ... + r—^§^1 s 6 et

V xjk£ ôZj^ ôz^ ' O ^ 2

sur un voisinage ouvert c c de p .De plus, on suppose que

Up est analytiquement isomorphe à une boule, ün a aussi, toujours d'après [3,7,2] 1“ , ^[0] = I et d ^[0] = 0

□n est alors en situation d'appliquer le Théorème [4.2) et on \/oit que sur un voisinage ouvert V de p , indépendant de V , on a

C ^

W[- log b) 2: — > Q . Par suite sur V , on a, d'après "5.1.1)

V M P '

C

W(- log b) a — > 0 et le Théorème est démontré puisque [- log b) M

est spsh sur [cf. [1,6,4)) ,

[5.2) THEOREME . - Soit X une variété holomorphe munie d'une fonc­

tion continue cp strictement plurisousharmonique. Tout domaine D c c: X localement de Stein est de Stein.

DEMONSTRATION . - Puisqu'il existe sur X une fonction spsh. conti­

nue cp , il existe aussi, par régularisation [cf. RICHBERG [24 ] ) une

00, . *

fonction spsh. cp € C [X) .On associe à cp la structure hermitienne g décrite dans un système de coordonnées z : U -* par

3|U - C

' 1 J

La structure g est indépendante de la carte choisie [cf. [2,2,1)) , Soit alors p € ôO . Il existe d'après [4.2) '\°/ un voisinage

Vp c c X de P et un nombre K tels que W[- log b) ^ K sur Vp n D . [On a, comme toujours, désigné par b la distance pour g à ôD : b[z) = d[z, ôO)) . Comme W[cp. ) > 0 sur et que

■54* 00

cp est C , un argument de compacité montre qu'il existe e > 0 tel que W[cp ) r ^ e sur

On a alors, d'après [1 .6,3) ,

W[^icp - log b) s W[)j,cp ) + W[- log b) ^ |j,e + K

sur D n Vp . Pour ^ assez grand, on a donc W[|j,cp - log b) > 0 sur Vp . Comme on peut recouvrir ôD par un nombre fini de tels ou­

verts Vp , on voit que, pour p, assez grand, [pcp* - log b) est une

fonction spsh. sur la trace dans D d'un voisinage de ôD , i.e.

hors d'un compact de D . Par suite D est 0-convexe. Or, il ne sau­

rait y avoir de sous espace analytique de dimension > 0 dans D , puisque D est muni de la fonction spsh. 9 |q • Donc D est de Stein [cf. ['1,7,2]) , C.Q.F.D.

□n va utiliser ce résultat pour démontrer

[5.3] THEOREME . - Soit TT : X -» Y une submersion holomorphe entre variétés holomorphes. Supposons que Y admette une fonction spsh. con­

tinue et qu'il existe un recouvrement ouvert [Y ] de Y tel que cha- -1

que ouvert tt [Y ] de X admette une fonction continue spsh. Alors

--- Qf ---

tout ouvert D c c X localement de Stein est de Stein.

D'après le Théorème (5.2) , il suffit de prouver qu'il existe au -1 00 voisinage de D une fonction spsh. m. Soit \k Ç SPfn Y ) H (î-^fY )

T a ot

[a priori \|t^ est seulement continue, mais on peut la modifier en une fonction spsh. cf. RICHBERG [24])

Soit [^^) une partition de l'unité subordonnée au recouvrement (Y^) . Alors la fonction a ■

n

a

fibres de tt . Soit §60 et V = V[|)

[z^, .. •, »* ^ • I J

une carte de X en § telle que „ tt où [z^ , ..., z^) est une carte de Y de domaine tt(V) . On peut trouver une telle carte puis-

-1

que tt est une submersion. Les fibres tt (y) sont donc décrites dans V par z^ = constante.

Soit U = U(§) un voisinage ouvert relativement compact de § dans V . On va montrer que pour k ^ k[§) assez grand, la fonction C“ a + k[i|r P n) = est spsh. sur U ,

Ici on a désigné par \]r une fonction spsh. sur Y . Ceci démontrera le Théorème : en effet, on peut recouvrir D par un nombre fini

U U(^) U ... U tels ouverts et la fonction cp = cp^

[k^ = max(k^, ..., kp)'j sera la fonction spsh, cherchée au voisi­

nage de D . Calculons donc la matrice de Levi de cf^ sur U(ç) dans le système de coordonnées w^) . On trouve

L[cPl,: (z, w)) =

w'j

C(z, w)

B(z, w)

D[z, wJ

ou on a pose

.

(^)

\ '■ôz. ô”.-' 1 J

= A + kL (iji)

A

A. .ij

(A. .]

ij

IZ s

iis 82 ^ 82 ^ ^ 5- Ü !ÎS ^ r- Üs .

iZ . ^ > rSZ . r^z . 1—J r^7 r\7 e

C B

82i 3T. 82j 32^

82 , 8 r.

^ Üf

L (;[() = —ôz ^ (matrice définie positive puisque \ji est spsh.)

^ J

B = [B. .)

ij avec B..

a-J

ô

= E

3

ü

♦ ^b

ÔZi ôw .

J âZi hw.

3 ÔZ.

1 2 C = [C. .)

^ ij avec C. . ij

ô

= c

3

ü

ô ôw^

^2 D = (D. .)

^ ij avec D..

ij

ô '^k

- ce

~ Ôw . 1 ôw .

3

%

J

•

Soit U € c'^ et V € deux vecteurs [colonnes) tels que l|u|l^ + ilvlp = 1 et soit [Z| w) Ç U[§) . Alors on a L(cf^ ; w))(u, v) = U A[z, w)u + k u L [i|i; [z, wjju

+ ^u B[z, w'Jv + ^v C(z, w'ju + ^v D[z, w)v

Comme les matrices A, B, G sont bornées sur U[§) ccV(§) et que

*

les matrices L [\]f' , [z, w)) et D[z, w) sont définies positives [par stricte plurisousharmonicité de ^ et de è ) on voit que

P

L[cp|^ ; [z, w))[u, v) > 0 pour k assez grand, indépendant de [z, w) € U[|) , ce qui achève de prouver le Théorème.

[5.4) COROLI-AIRE . - Soit rr : X -* Y une submersion qui soit un morphisme de Stein entre variétés holomorphes. Supposons Y de Stein.

Tout ouvert D c c X localement de Stein est de Stein.

[5.5) COROLLAIRE . - Soit n : X -* Y une fibration holomorphe locale­

ment triviale, à base et fibre de Stein. Tout ouvert D c c X localement de Stein est de Stein.

[5.6) REMARQUE . - Les Corollaires [5.4) [resp. [5.5)) seraient des conséquences de la conjecture de Stein [resp. de Serre) et du Théorème de Serre.

[5.7) UNE APPLICATION DUE A J. BRUN . - En construisant judicieuse­

ment des fonctions psh. et en utilisant notre Théorème (5.2) , J. BRUN [ 3 ] a démontré la Proposition suivante :

[5.7.1) PROPOSITION . - Soit S un ouvert de Stein de , F une surface de Riemann compacte, X = SxF , tt : X-*S la projec- tion. Si A est un ouvert localement de Stein de X ne contenant au- --- -1--- ---

cune fibre tt [s) , alors A est de Stein.

En utilisant un résultat antérieur [ 2 ] sur les courbes de genre