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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Batz, B. (1967). Thermoréflectivité du germanium (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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OdO 75^

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

Laboratoire des Semiconducteurs

THERMOREFLECTIVITE

DU GERMANIUN

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CET OUVRAGE N'ETAITT PA? BMS LE DOMAIIfE PUBLIC, NE PEUT ETRE C0I>1MUNIQ.ÜE

Laboratoire des Semiconducteurs

THERMOREFLECTIVITE

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1

THERIIOREFLiüCTIVITE DU GERMANIUM.

Table des matières.

1. Intreductien. 3

I. Le cftamp électremaf^nétigue. 10

2. Les équations de Maxwell. 10

3» Les équations de conservation. 10

r’ ■4-. Ondes planes. 11

5» Les constantes optiques. 13

6. Les potentielso l6

7. Réflexion normale et transmission. l8

8. Les relations de dispersion. 22

9« Densité d'énergie électromagnétique dans un milieu

j dispersif. 30

'• 10.Le champ de radiation comme superposition d'ondes planes, i"* Forme hamiltonienne des équations du champ dans un milieu

transparent. . 33

II. Théorie quantique de l'absorption. 37 V'

11. Quantification du champ de photons. 37 12. Densité d'énergie de radiation d'un corps noir. 38 I 13» Interaction du champ de’radiation avec un système

k

î|, materiel : les Hamiltoniens. 39

y’*'

i l4. Probabilité d'absorption et d'émission d'un photon par

le système matériel. 42

15» Coefficient d'absorption. 45

19» Acti*n dc8 oxcit«ns. 71

20. Transitions indirectes. 76

III. Techniques expérimentales. 89

21. Principe de la méthode expérimentale. 89

22. Le circuit optique. 90

23. Sources et récepteurs. 95

24. L’asservissement des fentes du monochroraateur. 100 25. Amplification et détection synchrone. 104 26. La préparation, le montage et le refroidissement

des échantillons. 105

27. Les conditions expérimentales. 110

IV. Résultats expérimentaux. Il4

28. Structure de bande et propriétés optiques du germanium. Il4 29» Thermoréflectivité du germanium dans la région

spectrale de 2 eV à 4,5 eV. 125

30. Thermoréflectivité du germanium dans la région

spectrale de 0,5 eV à 2 eV I50

31. Thermo-absorption dans le germanium. I54

32. Conclusionso I56

Bibliographie 158

3

TKi::R^iOREFLi::CTIVITE DU GERMANIUM.

1. Introduction»

La théorie des bandes d'énergie, élaborée vers 1930» a fourni de la structure électronique des solides une image qui conserve toute sa force. Elle constitue en particulier le cadre de la physique des semiconducteurs dans lequel s'inscrit, par exemple, l'invention du tran sistor par Shockley, Bardeen et Brattain.

L'établissement théorique des structures de bande consiste à rechercher les solutions de l'équation de Shrodinger pour les électrons du cristal. Ce problème ne peut Çtre résolu en toute rigueur et des

mé-(qu)

thodes d'approximation ont été développées : le travail de Hermann (1953) relatif au germanium en est un aboutissement qui a précisé l'as­ pect général de la structure de bande mais qui a également marqué les limites, dans leur état actuel, des calculs de bande "a priori". En effet, les attributions d'énergie sont en erreur de plusieurs eV pour certains niveaux, cette incertitude provenant principalement du caractè re approximatif du potentiel introduit dans l'équation de Shrodinger.

L'utilisation récente de techniques d'interpolation, telles que la méthode du pseudopotentiel^^^^ou la méthode k.p, a réduit con­ sidérablement l'ordre de grandeur des erreurs faites sur les énergies calculées. Mais ces calculs s'appuient sur des données de l'expérience telles que des énergies inter-bandes en des points de symétrie de la zone de Brillouin. Des informations à mieux que 0,01 eV près au sujet de ces paramètres imj;ortants pourraient Stre utilisées avec avantage, l'établissement plus précis des structures de bande étant actuellement limité par le manque de résolution des techniques expérimentales.

L'investigation expérimentale des bandes d'énergie doit beau­ coup à l'analyse des spectres optiques, d'absorption ou de réflexion. Une propriété typique d'un semiconducteur est son seuil d'absorption : pour des énergies de photon inférieures à £„, le semiconducteur est

U

imperfections du cristal (impuretés, phonons, porteurs de charge, etc..) Mais la structure du seuil fondamental d'absorption est aussi le reflet de la structure de bande dans la région où les bandes de conduction et

(17)

de valence sont les plus rapprochées . Les détails des spectres ont pu etre interprétés en termes de transitions électroniques inter-bandes

et ont donné des renseignements très précis au sujet de la largeur de la bande interdite ou de l'énergie des phonons impliqués dans les tran­ sitions indirectes (sectionsl9 et 20). Joints aux résultats des mesures de masses effectives par résonance cyclotron, ces renseignements ont con duit à une description détaillée de la structure électronique de cette région, laquelle est responsable des remarquables propriétés de trans­ port des semiconducteurs.

C'est plus récemment que les chercheurs se sont préoccupés des bandes aux énergies plus élevées. Cet intérêt n'est pas purement acadé­ mique mais concerne aussi l'interprétation de phénomènes tels que les électrons chauds, l'ionisation par choc, le rendement quantique de l'ef­ fet photo-électrique interne, l'émission externe d'électrons, l'effet Gunn et les propriétés optiques.

L'interprétation des spectres optiques en fonction de la structure de bande n'est possible que dans la mesure où une corrélation peut être établie entre les paramètres optiques mesurables et certaines

proprié-( O)

tés des bandes d'énergie . A cet égard, les grandeurs qui traduisent les proi.riétés absorbantes du milieu étudié (le coefficient d'absorption

CK , le facteur d'extinction k ou la partie imaginaire €j de la cons­ tante diélectrique complexe) sont intéressantes à connaître en fonction de l'énergie £ car elles sont proportionnelles A la fonction "densités conjointes d'états", G(C ), pour la paire de bandes concernée par les transitions optiques à l'énergie £ (sections 15 et 17). Cette fonction possède des singularités analytiques aux énergies relatives aux "points critiques" (section 17) de la zone de Brillouin, points pour lesquels

^ (k) - = 0, où £ J. sont respectivement les éner-(°) Deux monographies sur ce sujet, l'une de Tauc'' , l'autre de

(9)

gies des bandes de conduction et de valence^. Cette condition est satisfaite en particulier aux points de haute symétrie de la zone où SJ^ £ ^(Ic) = Vjç £ ~ singularités de G( £ )-aux énergies qui correspondent aux points critiqJe'sv^^'^structures dans les spectres optiques pour autant qu'aucune règle de sélection n'y interdise les transitions (section l6). C'est sur cette analyse due principalement

(g)

à Phillips qu'est basée l'interprétation des spectres, laquelle a contribué à une coaprohension détaillée de la structure électronique des semiconducteurs.

Au-dessus du seuil fondamental, le coefficient d'absorption est difficile ou impossible à mesurer en raison de l'opacité de l'échan­ tillon à ces énergies. Le paramètre optique directement accessible est alors le facteur de réflexion. Lorsque le spectre de réflectivité peut être obtenu dans un intervalle d'énergie assez large, le spectre de peut en être déduit à l'aide des relations de dispersion de Kramers et Kronig (section 8). Les premières mesures de ce type concernant le ger­ manium ont été effectuées par Philip'p et Taft^^^^ (voir la figure 28.5),

et interprétées par Phillips en termes de transitions aux points criti- (9)

ques .

Si le seuil fondamental d'absorption lui-même, qui correspond aux premières transitions inter-bandes pour les énergies de photon crois­ santes, est clairement observé s'opposant à la région transparente qui précède, toute structure au-dessus de ce seuil est par contre superposée à un fond continu très intense qui rend sa détection incertaine et li­ mite la résolution. Mais un important progrès a été réalisé depuis peu par l'introduction de techniques de dérivation très sensibles. Elles consistent à relever le spectre de la modification relative de réflecti­ vité, ôR/R» induite par une petite perturbation périodique. Utilisant des procédés de détection synchrone, il est possible d'isoler la

modi-* _5

fication de réflectivité,des valeurs de ÔR/R de l'ordre de 10 étant décelables. Les spectres résultants présentent des structures marquées au voisinage des énergies associées aux points critiques.

(

)

expérimentale est celle de l'effet de champ^^^^ ^ (29)^ variante de la méthode consiste à mesurer l'électroréflectivité à la surface do séparation d'un électrolyte et du semiconducteur, une différence d® potentiel périodique étant appliquée entre l'échantillon et une électro­ de plongée dans l'électrolyte. L'absorption optique au voisinage du seuil fondamental se traduit par une diminution apparente de la aande interdi­ te en présence d'un champ électrique (effet Franz - Keldysh). Cet effet peut etre observé directeraent en transmission dans la région spectrale près du seuil fondamental : l'intensité du rayonnement traversant une jonction p-n soumise à une polarisation inverse périodique est modulée par la variation du champ intense qui règne dans la jonction ^ (^0)^ Les modifications similaires des propriétés optiques associées aux

points critiques d'énergies supérieures (effet Str^phin) donnent lieu aux spectres d'électroréflectivité dont les structures contiennent des pics, positifs ou négatifs, permettant parfois une localisation à quel­ ques me V près, une précision jamais atteinte i)récédemment, de ces énergies (voir la figure 28.?).

Des résultats analogues ont été obtenus par les mesures de

piézoréflectivité où la réponse correspond à une modification des dimen­ sions de la maille cristalline : l'échantillon est couplé à un cristal pièao-électrique qui le soumet à des tensions mécaniques périodiques^"^^^

Cette méthode s'applique également bien aux métaux^"^^^ et a aussi (41)

ete utilisée en transmission . Signalons encore les mesures de

raapné-(45) (42)

to-électroréflectivité et de msgnétopiézoréflectivité faites selon les mêmes prii^cipes mais en jré sence d'un champ magnétique.

La modulation des propriétés optiques du germanium par la tempé­ rature fait l'objet de ce travail. Ce type d'expérience a été réalisé

(

)

indépendamment par Berglund , qui a surtout décrit des mesures en

^ (21)

transmission et par nous-meme

. ( 4? )

mais d'autres procédés sont possibles.

Si ces diverses techniques conduisen?v^®^ies structures spectrales en relation avec les points critiques, chacune présente des caractères spécifiques liés à la nature du paramètre modulant et les informations fournies ne sont pas équivalentes. L'électroréflectivité semble produi­ re des spectres avec des structures mieux résolues et attribuables

avec moins d'ambiguïté à l'aide de certains critères^^^ aux divers types de points critiques (section 17). Les spectres de piézoréflectivité et d'électroréflectivité dépendent, contrairement aux spectres de thermo­ réflectivité (du moins pour les cristaux cubiques), de la nature cris­ tallographique de la surface réfléchissante. La faculté de pouvoir modi­ fier l'orientation relative de la structure cristalline et du champ pé­ riodique appliqué, ou de la tension mécanique modulante, est un puis­ sant moyen d'investigation des configurations électroniques dans la zone de Brillouin. L'isotropie des conditions expérimentales qui caractérise la modulation par la température réduit les possibilités d'investigation mais simplifie en même temps l'analyse des résultats. Nous avons inter­ prété ceux-ci d'après la seule hypothèse qu'ils traduisent les déplace­ ments des bandes d'énergie induits par la variation de température

(section l8). D'autres mécanismes dépendant de la température pourraient cependant également intervenir dans l'aspect des spectres et être mis en évidence par cette technique. Un exemple en est d'ailleurs fourni par les transitions indirectes qui interviennent dans l'analyse de la thermo-absorption du germanium : nous avons supposé avec Berglund^^^^ que c'est la modification du nombre de phonons avec la température qui est déterminante (section 20).

ce d'accessoires pour produire la modulation (le cristal piézo-électri-que, l'électrode transparente et surtout l'électrolyte) rend la méthode particulièrement bien adaptée aux expériences \ basses températures.

(47)

Elle convient aussi à l'étude des métaux et se montre utile dans les mesures de transmission^^*^^ ; nous pensons à ce propos que la réali­ sation d'échantillons très minces permettrait une exploration fructueu­ se de la région spectrale immédiatement au-dessus du seuil fondamental d'absorption.

Les deux premières parties de ce travail sont consacrées aux développements théoriques nécessaires à 1 ' inter^ rt, tation des spectres de thermoréflectivité. La partie I contient les résultats utiles de la théorie électromagnétique. Ilutôt que de les livrer sous la forme d'une suite de formules, nous avons préféré les déduire au cours d'un exposé

(O)

plus complet, quoique la matière en soit le plus souvent classique Cela permet en particulier de préciser les notations, de définir les grandeurs optiques importantes (sections 5,b,7) et de fournir les bases nécessaires à la formulation de la théorie quantique des propriétés optiques (sections 9»10) contenue dans la partie II. A la section ?, des expressions donnant la modification relative ou facteur de réflexion,

8 R/R, en fonction des modifications correspondantes d'autres paramè­ tres optiques, qui se prêtent mieux à une interprétation en termes de transitions électroniques, sont établies. Les relations de dispersion de Kramers et Kronig, entre la comparante réelle et la composante imaginaire ^ de la constante diélectrique complexe €' font l'objet de la section 8. Il y est montré qu'il existe des corrélations locales entre les structures spectrales de ces paramètres, circonstance favora­ ble à l'analyse des spectres expérimentaux.

La partie II se rapporte à la théorie quantique des proriétés optiques. Les sections préliminaires (11 à l4) conduisent à une ferme

générale du coefficient d'absorption o( (section 15)* Les propriétés des éléments de matrice imposent des règles de sélection pour les tran­ sitions optiques (section l6); elles impliquent que la dépendance vis-à- vis de l'énergie de o( ( £- ) est principalement déterminée par les densi­ tés combinées des états initiaux et finaux occupant un même point de la zone de Brillouin et séparés par l'énergie envisagée. Ceci amène à considérer le rôle de points critiques de divers types dans la zone, qui produisent des singularités dans les spectres de o( ( £ ) ou de )

(section 17). Enfin, les formes des structures associées à ces points critiques et que l'on peut s'attendre de voir apparaître dans les spec­ tres de thermoréflectivité sont calculées (section l8). Les deux der­ nières sections traitent, l'une de l'inclusion dans la théorie de l'in - teraction coulombienne électron-trou (cas de l'exciton parabolique), l'autre de l'intervention des phonons dans les transitions électroniques indirectes, cas important pour l'explication des résultats des expérien­ ces en transmission.

La partie III décrit en détail le dispositif expérimental dont nous nous sommes servis. Après l'explication de principe de la méthode de mesure (section 21), les caractéristiques du montage optique '

tien 22), des sources et des récepteurs de rayonnement (sections 23,^:} sont données ainsi que celles du montage électronique (section 25)* La section 26 expose les procédés de prpparàtion et les moyens de

refroidissement des échantillons et la section 27 résume les conditions dans lesquelles ont été faites les expériences.

I. LE CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

2, Les équations de Maxwell.

La théorie des propriétés optiques des milieux stationnaires est basée sur les équations de Maxwell qui s'écrivent, en unités m.kcSt

— ^ B

(2.1a) V X E + = o Loi d'induction, de Faraday.

(2.1b) y X W - s J Loi des circuits d'Ampère incluant le courant de déplacement.

(2.1c) 7 . D =

f

(2.1d) v»B= O Absence de charges magnétiques isolées.

Les six quantités qui figurent dans ces équations sont :

Unités m.k.s. Unités pratiques

? la densité de charge

J la densité de courant

Ê l'intensité du champ électrique H l'intensité du champ magnétique ÏÏ la densité de flux électrique

B la densité de flux magnétique

coul/ra^ 10“^ coul/m^ amp/m^ 10-"^ amp/cm^ volt/m 10”2 volt/cm amp.tour/m 4iTx 10"^ eer coul/m^ 10~^ coul/cm^ weber/m^ 10 gauss

3. Les équations de conservation.

Le fait que la charge électrique ne puisse être ni créée ni détruite est exprimé par l'équation de conservation

(3»1 ) V , 7 + = o

Cette équation est obtenue en prenant la divergence de (2.1b), puis en y substituant la dérivée par rapport au temps de (2.1c).

Une équation de conservation pour l'énergie peut être aussi déduite des équations de Maxwell si on utilise l'identité vectorielle

11

(3.2) H. (V X Ê) - Ê . (V X H) .= V . (Ê X H)

En y substituant les équations (2.1a) et (2.1b) on trouve i (3.3) V . (Ê X ÏÏ) + (Ê . + H . + Ê.J = O

Noua savons que le dernier terme de cette équation représente le taux de conversion d*énergie électromagnétique en d'autres types d'énergie

(chaleiir, énergie cinétique de particules, etco) pour autant que J soit un courant de conduction. Le vecteur de Poynting

(3.4) S = Ê X H

représente le flux d'énergie (par unité de surface perpendiculaire à S”), Le second terme dans (3»3) donne par conséquent l'accumulation de densité d'énergie électromagnétique U. L'équation (3«3) peut donc se réécrire (3.5) V . S + 4t + = O avec (3.6) (3.7) ^ ' ^t ^ ü ^ t + f.J

- f. (J *

* ir.

Comme toutes les opérations impliquées par les équations de Maxwell sont linéaires (additions et différentiations), on pourra y substituer des quantités complexes en se rappelant éventuellement que seule la partie réelle d'un résultat aura un sens physique. Considé­ rons donc une onde électromagnétique plane et monochromatique que nous représentons par U O ^i(^ r - wt) e II O (üt) i(ÿ. r - (üt) e jKX? - (üt)

où E^^ etc. sont des amplitudes constantes complexes, (ü est la pulsation et

(4.2)

(4.3a) (4.3b)

(4.4)

(4.5)

le vecteur de propagation complexe. Ÿ. ^ ®st perpendiculaire aux plans de phase constante et >^2 plana d’amplitude constante. Dans les cas que nous envisageons (milieux isotropes) "X et >^2 sont parallèles. Il est clair que Y. provoque l'atténuation de l’onde.

Les équations de Maxwell doivent être complétées pour être utiles par des relations entre E et D et entre H et B, ces relations dépendant du milieu. Pour un diélectrique "linéaire" ces relations s’écrivent

Ix

-où £ etyU- J qui peuvent être complexes, sont respectivement la permi- tivité diélectrique et la perméabilité magnétique de la substanceo Nous ne considérerons que des milieux isotropes ou cubiques ; £ etyu- sont alors des scalaires. Remarquons que les relations (4.3) contien­ nent la possibilité d’un déphasage entre et E ou B ^ et H ^ ; les parties réelles de ces paires de vecteurs ne sont pas nécessaire­ ment proportionnelles pour des temps arbitraires.

Précisons la forme de 6 . Le courant 7 s’écoulant dans un conducteur en présence d’un champ E est donné par la loi d’Ohm : J = (T E où (Test la conductivité du milieu (mhos/m). De plus, le dé­ placement en phase avec le champ est donné par D = ^^Eoùé^ est la permitivité réelle du milieu (farad/m). Les vecteurs J, E et D de même que les scalaires cr et sont ici réels. Nous pouvons combiner ces termes si nous notons que pour des champs dont la variation tempo­ relle est donnée par (4.1), on a

J + = (T E + £ - “îTT' 'ht 1 ^t = Re = Re ( <r - i« 6

)

i

L

où Re signifie qu'il faut prendre la partie réelle de la quemtité qui suit, et où les courants de déplacement et de conduction ont été combinés de manière à ce que la permitivité complexe soit définie par

e=£,+i2: =£ +i£

1 (ü 1 2

Il est équivalent de représenter (4.4) "par la partie réelle d'xm cou­ rant complexe cr^E^ où

13

(4,6) ^ c ~

D'une manière analogue, on peut décomposer la perméabilité en sa peir- tie réelle et sa partie imaginaire

(4.7)

A = Al “ ^2

On montre facilement à l'aide de l'équation de conservation (3.3) que ^ représente l'énergie magnétique moyenne dissi­ pée par unité de temps, tout comme ^ w donne la puissance électrique moyenne dissipée*. Les pertes magnétiques dans les sub­ stances qui nous intéressent sont négligeables, et nous supposerons toujours dans ce qui suit quejj^^ = o, La partie réelle de la perméa­ bilité,^^ (henry/m), est associée tout comme &^, à l'accumulation d'énergie dans le diélectrique ainsi que nous le verrons plus loin.

Utilisant (4o3)» les équations de Maxwell (2,1) peuvent s'écri­ re pour des champs sinusoïdaux

(4.8a) V (4.8b) V ^E X H, - = o X (4.8c) V S" _ _L • = T (4.8d) V .H = o X

5. Les constantes optiques (Milieu non chargé : P = o)

Lorsqu'on substitue les ondes planes (4,1) dans les équations précédentes (avec )* = o dans (4,8c)) on obtient les relations suivantes entre les champs

(5.1a)

(5.1b) XX (5.1c) X.

- » € = - U. (6, *

X.

La puissance électrique dissipée est en effet la moyenne sur une période de

■ r ^ fl /TT TT « . t

T

cj' Re È ) Les termes en Ew et Ê

X qui contiennent les facteurs e ” donnent un résultat nul lorsqu'on effectue la moyenne sur

«

une période . Il reste donc la quantité indiquéeo

.Ces relations montrent en particulier que E , et X sont mutuellement >1

X-perpendiculaires. A l'aide de (5»1) on trouve que (5o2)

(5.3)

(5.^a) (5.^b)

XX(XX « wyi^XX

= (XoË^)X- (Xo>0 Ê^=

et par conséquent que

2 2 _ 5^ .X=/*^eu>2 . ^ ± ÎL =(n + ik)2 ^ -X^ -X2 + 2iX, . où £ ^ etsont la permitivité et la perméabilité du vide, c s (6 l*' la vitesse dei'^umière dans le vide t

0/ o

J*'Q ° * 10“' henry/m = 1,25664 x IO” henry/m “ 8,8542 X 10"^^ farad/m

= f^c = (£ c)"'' X 376,73 ohms.

/ O O /O o

Nous avons introduit dans (5*3) les indices de réfraction n et d'ex­ tinction k. On déduit que

(5.5a) (5.5b)

tt que sijx-s(cas des solides qui nous intéressent) 6 -I

--- = €'.j(qui est la constante diélectrique 2

n - k 2nk

e « “^'2 O

Résolvant ces dernières relations en n et k, on obtient

(5.6a) n = ^2 1

.1

2 *

Notons que lorsque la conductivité est nulle, n * £ ^ = con­ stante diélectrique. La conductivité est bien entendu celle à la fréquence optique envisagée et elle n'est en général pas égale à la conductivité <r ^ en couremt continu. Ceci est vrai également pour les autres paramètres.

Le coefficient d'absorption (u) à une fréquence donnée est défini comme étant la décroissance relative de la densité de flüx

15

(5o7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

d’énergie (vecteur de Poynting donné par (3.4)) par unité de distance dans la direction de propagation. Les champs étant périodiques, il faut calculer la moyenne (sur une période) du flux d'énergie par rap­ port au temps.

Comme l'expression (3.4) est quadratique par rapport aux champs, toutes les quantités doivent être écrites sous forme réelle. Si les champs sont représentés par les formes complexes (4»1), nous devons substituer ^ ^ )c: ^ et ^ ^ respectivement pour Ç et H dans (3.4), En prenant la moyenne sur le temps, les produits

qui contiennent les facteurs e ” 2iwt X et X

zéro ; il reste X ^ E^X H , qui ne dépend plus du temps, à considérer.

Utilisant (5.1)» il vient

# 0 ^ * 3C ^

Cette quaintité est égale à la partie réelle de ‘5* E X H

<5>

ïï * . Ê

où ®st un vecteur unité dirigé dans la direction de propagation. On obtient la dernière égalité en remarquant que Re

(E^,E^^)>^^, puis en utilisant (5o4a). Le crochet <.-> représente la moyenne par rapport au temps sur une période. Substituant dans

(f^* .Ê^).)d

(5.7) la forme (4.1) de Ê ne &

» il vient

<S> e -2)c:_r 2

si on suppose queyU,= )t,^o En traversant une épaisseur dx du milieu dans la direction de propagation, ce flux est atténué de

d <S> = - 2 ^2 <S> dx = - ot <S> dx

(6.1a) (6.1b) (6.2a) (6.2b) (6.3a) (6.3b) Les potentiels.

Les équations de Maxwell peuvent être réduites à des équations plus simples en introduisant les potentiels vecteur et scalaire, A et (J) respectivement. Si les vecteurs de champs dépendent des potentiels par les relations

— '9 a X. E = V<1. ÏÏ = V X I 'y ^ A^ TT -V H. - V X I A ^

la première et la quatrième des équations (2.1) ou (^.8) sont satis­ faites. Pour des champs sinusoïdaux le problème devient alors celui de la résolution des équations suivantes pour A et (|> :

- V

^ t

Ces deux équations sont obtenues en substituant (6.1) dans (4.8b) et (4.8c) et en utilisant (4.3) ainsi que l'identité VX(v X A) »

V ( Vol) -V

f

Toute solution ^ (6.2) conduit à une solution ac-ceptable des équations (4.8) par l'intermédiaire de (6.1). Il est important de remarquer que les équations (6.1) ne déterminent pas les potentiels d'une manière unique puisque à chaque solution possible

(Â^ , 4^ X, ^ (6*2) on peut associer une infinité de potentiels (A^.,4>y) conduisemt aux mêmes vecteurs de champ. En effet, étant

^ ^ «fl

donnée une solution possible nous pouvons construire d'autre

T,

potentiels, (A^,$y) tels que A^ - V X

^ * —

17 (6.4a) ^ t (6.4b) 7X1^ 5 7X1'^ (6,5)

(

6

.

6

)

puisque V X ^X= o. La fonction

X

la transformation de jauge. Les équations (6.1) sont donc invariantes par rapport à une transformation de jauge, comme le montrent (6,4a et b).

On peut utiliser cette liberté dans le choix des potentiels pour simplifier les équations (6,2), Si de nouveau A'^ et repré­ sentent certaines valeurs possibles de et , on détermine X par l'équation

V 2^ . V .

Tenant compte de (28), on obtient ^t

7

rà t O

(6.6) est appelée la relation complémentaire de Lorentz. Elle est invariante (ainsi que les champs) vis-à-vis d'une transformation de jauge, et elle réduit les équations (6,2) aux formes simples

V _ £

A

t

donc aux équations (6.7) et sont couplés par la relation de Lorentz (31)» Mais ils ne sont pas encore complètement déterminés : X reste arbitraire pourvu que l'équation (6,5) soit sa­ tisfaite, La solution possible * 4'*^ ) pouvant satisfaire à la relation (6,6) de Lorentz, ceci signifie que nous sommes libres de choisir pour X une solution quelconque de l'équation

? /C

(6.8) 7 ---P = O

'ht

Dans le cas d'un milieu non chargé (/ = o) nous pouvons choisir X

*S'il existe un courant extérieur non nul, J ., la relation (6,7a) comporte également 0 X w

afin que le potentiel scalaire soit nul. D'après (6.Jb) ce choix est tel que X = - (J) ' ^ . Le fait que X solution de (6.8) implique bien que <j> est solution de l'équation (6.7b) homogène ( f = o).

étant nul, la relation de Lorentz se réduit à V = o. Les équations du champ électromagnétique dans un milieu non chargé sont donc, d'après (6.7a) et (6.1a et b) t (6.9a) (6.9b) ’ V ,J (6.9c) F _ ___IL (6.9d) ÏÏ = 1 V X X Z'

7. Réflexion normale et transmission.

(7.1) (7o2)

Il découle des équations de Maxwell que certaines conditions doi­ vent être satisfaites par les vecteurs de champ à la limite de deux mi­ lieux A et B. Nous n'envisagerons ici que le cas simple de l'incidence normale : les vecteurs de propagation X. ^ ~ ^A* ^t ~ ^ B’

ondes incidentes (i), réfléchies (r) et transmises (t) sont alors perpen­ diculaires à la surface de séparation et les vecteurs E^et y sont tangents. Les conditions de continuité de ces vecteurs à la surface limitant les milieux sont donc XA “ ^XB* ondes dans le premier milieu (A) résultent de la superposition des ondes in­ cidentes et réfléchies ; dans le second milieu (B) ce sont les ondes transmises. On a par conséquent :

xt

(7.3)

Cette dernière relation peut encore s'écrire en utilisant successivement (5.1a) et (7.1)» de la manière suivante :

puisque X^ = - X^ = X^, et où nous avons supposé que^^ P^q*

19 (7.4) ^A"

S

où il a été tenu compte de (5.5). Le facteur de réflexion R est dé­ fini comme étant le rapport des flux d'énergie réfléchi et incident à la surface de séparation. D'après (5.8) il vient

i ' CË/.Ë^)^

Si le premier milieu est le vide, n^ + ik^ =1. Supprimant l'indice B du second milieu, il vient alors en substituant (7.4) dans (7.5) :

1 - U^-ik) (n - 1)^ + k^ 1 + (ri+ik) “ f -.2 ,2 (n + 1) + k

/

(7.7)

La technique expérimentale utilisée dans ce travail fournit Une mesure de la modification relative du facteur de réflexion, 6R/R, asso­ ciée à une modulation de la température. Pour l'interprétation des ré­ sultats, il est intéressant de pouvoir disposer de relations exprimant 6R/R en termes des modifications correspondantes des constantes optiques. Les contributions de n et k à la modulation de la réflectivité peuvent être séparées en différenciant l'équation ci-dessus :

6R R 4(n^-k^-1)6n -»• 8nk6k (n+1)^+k^ (n-1)^+k^ Le rapport (7.8) 2 n k 2 u2 -n -k -1

est une mesure du poids relatif de n et k dans la modulation de la ré­ flectivité pour les diverses régions du spectre. En particulier, lorsque k'iÿ-n, (c'est le cas pour les semiconducteurs au voisinage du seuil fon­ damental d'absorption), la modification de R ne dépend plus que de la variation de l'indice de réfraction et (7.7) devient simplement

(7.9)

R

n^-1

(

.

)

Le facteur de réflexion peut aussi être exprimé en fonction des composantes réelle et imaginaire, fc^ et permitivité diélec­ trique en substituant dans (7.6) les valeurs (5.6a) et (5.6b) de n et k. On trouve 2 2 2 2 2fe' -t aCfe;; ♦ é^‘) 1/2 + 1 2 2 2 2 J fe' ♦ 2( 6’^'^ ♦ 6'“=) Ï72 + 1

où fe * = G-/6 et £1 = €-,/6 » modifications d'amplitudes 6 £' et 6e^ de 6* et&2 i^^ùuites par la modulation de température ont une in­ cidence sur la variation de réflectivité qui peut être explicitée en

Ml différenciant (7.10). On obtient^ ôR (7.11) ^ = f^(£j|, + f^( e*, ep6e^ ou (7.12a) (7.12b) fl S f^ = (e* - 1)A^ + 6^ (e* - 1) ^2 -avec : A s -I-2 -I-2 (^i' + ef) + 6* 1/2 (£’^ + 6'^) T7F c. s ^ [(^1 - ^ ef\ 2 G.» j^( 6j|-i)^ + 6'^j (e:;^

!

21

r

(7.13)

le Ge, le Si et le GÔ^Ab par Séraphin et Bottka . La fig. (7d) re­ produit les résultats obtenus pour le Ge.

( 1 )

Fig. 7.1 Les coefficients f^ et de l'équation (7.11)

pour le germanium, d'apres B.0.Séraphin et N,Bottka''

Considérons à présent la transmission de la lumière à travers \ine lame d'épaisseur t et de coefficient d'absorption ex . Nous suppo­ serons que les phénomènes d'interférence sont négligeables dans l'ex­ périence considérée, c'est-à-dire que les franges ne sont pas résolues. Ce cas se présente pour un échantillon épais par rapport à la longueur d'onde et dont les faces ne sont pas parallèles à une longueur d'onde près. Si nous pouvons de plus supposer que kn dans la région spec­ trale considérée,(ceci est généralement vrai dans les régions où les mesures d'absorption sont possibles), le rapport du flux moyen d'éner­ gie transmis au flux incident peut s'écrire, en tenant compte des

ré-(4) flexions multiples dans la lame ' :

T = (1 - R)^

m J g - «x t , k <<ç. n ■ ' 2 ot t 2

(7.1^) (7.15) T = (1 - R)‘ m - <xt k n »K^

La modification relative de la transmission provenant d'une modulation de la température est alors

6T m

T”

car la variation de température fait varier l’épaisseur de la lame aus­ si bien que ses propriétés optiques. Si les deux premiers termes du membre de droite de (7.15) sont négligeables devant le troisième, 6T est directement proportionnel à la variation 6o< du coefficient d’ab­ sorption.

Les relations de dispersion.

Les fonctions 6>j(oj) et S ^(u) qui traduisent respectivement les propriétés dispersives et absorbantes du milieu ne sont pas indépendan­

tes car la dispersion et l’absorption sont deux aspects d’un même phé­ nomène. En fait, la connaissance d’une de ces fonctions à toutes les fréquences implique la connaissance de l’autre. Cette interdépendance est explicitée par les relations de dispersion (8.10) de Kramers etKrbnig En vue de l’interprétation de nos résultats expérimentaux, nous appli­ querons les relations de dispersion à l’étude des corrélations "locales”, c’est-à-dire limitées à une région du spectre, des structures de6^((ü) et de e .

Lorsque le déplacement D dépend linéairement du champ E, on peut utiliser le principe de superposition pour évaluer ÏÏ (t) au temps

t en fonction des valeurs prises par E aux instants antérieurs le champ E(u) n'a été appliqué que pendant l’intervalle de temps (u,u+du) il en subsistera un effet sur le déplacement au temps t > u + du, à cau­ se de l’inertie de la polarisation P = D -£^E, et D va dépendre de t-u comme suit :

ÏÏ(t-u) a E(u) y(t-u)du ,' t>U + du

où y (t-u) est une fonction qui traduit la décroissance de ÏÏ et qui a la propriété

23 (802) (803) (8.4) (8o5)

(

8

.

6

)

V(t-u) —i» 0 lorsque t --- oo

La partie du déplacement qui suit le champ instantanément est indépen­ dante de la polarisabilité du milieu et vaut donc 6 E. Il en résulte

O que lorsque t est compris entre u et u+du on a

D (t-u) = fc E(u) + E^(u) Y (o) du U < t < u+du

En superposant les contributions élémentaires d'un champ Ê(u) appliqué à l'instant u = o et variant d'une manière continue dans le temps, on

trouve que le déplacement D(t) au temps t est donné par

rt - rt

D (t) = 6 f(t) +

o E(u)Y(t-u)du =6 Ê(t) +o Ë(t-'B) y (b)db

où ï =5 t-u. ‘ Si t est assez grand poui)«que, en vertu de (8.2), Y (t) soit pratiquement nul, on peut sans grande erreur étendre l'intégration par rapport à Y jusqu'à l'infini. Dans ces conditions, si E est périodique par rapport au temps, D le sera aussi et on aura

/ oo ïï^(t) - e^Ê^(t)

y

Ê^(t-Y) Y (i;)d ^ ,

ou encore, par (4.3a) et (4.1) : (X)

6 (u) - é

En égalant les parties réelles et imaginaires de chaque membre, il vient

6 («) - 6^

1 o Y(^) côsw "S d^

/-oo

6 2(“) y C5) sin ü) c d'C

Jo

Les fonctions £^(u) et 6 ^(t») étant les transformées de Fourier en

cosinus et en sinus de V /2' Y (^), elles ne peuvent être indépendantes. Les formules d'inversion

(8.8b) (8,9) (8,10a) (8.10b) 00 t (g) ® \ dû)*

expriment '5' (^) en fonction de 6 ^ et 6 2 respectivement. Substituant la seconde dans (8.7a) on obtient successivement

f'OO/' f Oo

-^o = if

J

] «a'“ ) 2

V

' ' I" " *'■" + ' ' I"' ... ) U.U)

« +tl> w -« ]

La contribution à l'intégrale des termes contenant les cosinus est nulle lorsque R —► 00 . Les autres termes conduisent à

foo €,(») =-Jo (Ü € ^((0 ) i2 2 (ü -U du

La substitution de (8.8a) dans (8.7b) fournit par une méthode similaire l'équation ’^OO 2w 6^(u’) du = 2 ,2 TT 2,2 U - U / U -U 'o du

La difficulté résultant de l'intégrante infinie lorsque u*=u n'est qu'apparente. (8.10a) par exemple peut s'écrire

I ju* - uG2(") “ 1 -1 du puisque Jo ,2 2 U - U n -1 du* =0

l'intégrante y est toujours finie.

25

(

.

)

(

.

)

(8.13)

r»

des photons, (8.10a) peut se réécrire comme suit :

6i(e) =£ 2 J »

,2 2 C -G

L'analogue de cette équation pour l'indice de réfraction cora- plexa, n + ik, est^^^ :

'<30 / oo n(c) - 1 = ^2 \ c* k(c*) »2 2 G -C de' = ^ TT

de-À

OÙ le coefficient d'absorption a été introduit dans la dernière inté­ grale, En intégrant cette équation par parties, on trouve j

n(c) - 1 = 2itg foo dcx(c’) In G * + G de' Jo U 1 U de *

pourvu que 0^ (°o ) reste fini.

Ces relations de dispersion permettent de transformer le pro­ blème de la recherche de l'indice de réfraction en une recherche du comportement du coefficient d'absorption qui a une signification phy­ sique plus directe. Le seuil fondamental d'absorption d'un semicon - ducteur est une région du spectre où l'absorption croît en général très rapidement. C'est une conséquence directe des relations de réciproci­

té de Kraraers etKronig que cet accroissement rapide de l'absorption avec l'énergie conduit à une structure de l'indice de réfraction dans la même région spectrale. En effet, dans (8,13) 1© logarithme est un facteur dont le poids est maxiraxun lorsque c'est proche de c, C'^est donc la valeur de do<./dc* pour c* c qui a le plus d'influence sur l'intégrale. Il en résulte que n est maximum lorsque doc/de* a une valeur positive élevée, c'est-à-dire là où oc croît rapidement avec l'énergie, comme c'est par exemple le cas dans la région de grandes longueurs d'onde du seuil fondamental d'absorption. Plus généralement, des correspondances "locales" entre les structures de n etex, telles

(

6

)

que t

pom* le germanium.

Figo8,1 - Dépendance spec- ^ strale de e ^ ^ 2 pour le germanium= D'après H.Ro-Philipp et H,Ehj>«nreich'7),

Un exemple intéressant est celui d'une raie d'absorption. Pour une forme de raie de Lorentz la contribution d(n+ilc) à l'indice complexe est générée par la fonction Cie ^ où et C sont respectivement l'énergie sur laquélle est centrée la raie, sa demi-lar­ geur à la demi-hauteur et une constante fixant son amplitude:

(8.14) _{A(n+ik)»Ci \ e} ^ -(T+ic )t ict _{o e dt = pVi(c -cT = 7--- ,2 ni"}i

' O (c -c) +1 O (8.l4a) Ak = C P --- —*;■ = Cl (c -c)'^+ r " r’ + 1 O c - c. (8.14b) An = C(c -c) O

c -X

r

et la contribution ou coefficient d'absorption est

(80I5) Ac< = 2c Ak

\ c

2Ce 1

TcT~ ^2 ^

(8.16a)

Si r* c^i An présentera des extréraa en c * . Lorsque le pic d’absorption est positif, l’indice de réfraction effectue une excur­ sion positi^ve du côté des énergies inférieures et une excursion néga­ tive aux énergies plus élevées. La fig. 8.2 qui est conforme à ce cas représente, en traits pleins, les fonctions (X^ + 1)”"* et -X(X^ + 1)”^ de X » (c - c )/r O La situation est renversée pour un pic d’absorption

O

négatif. Si k n'est pas symétrique autour de c^, l'excursion de l'in­ dice du côté de la pente la plus forte sera plus prononcée que celle donnée par (8.l4b) et l'excursion de l’autre côté moins prononcée ou inexistante. Si / le coefficient et l’indice dlextinction k auront la même forme car l’énergie qui figure en facteur dans (8.15) pourra pratiquement être considérée comme constante sur la largeur de la raie.

Supposons qu’il soit possible, par exemple en faisant varier la température, de déplacer de Il en résultera des modifica­ tions 6k et 6n de k et n données par :

6k = - C 2 r(c -c) O 6c L O 6c 2Ak.An = - 6c - 2X (X^+1)^ (8.i6b) 6n = -

c

ces résultats étant obtenus en différenciant (8.l4a) et (8.l4b) par rapport à c^. Les courbes de la fig. 8.2 en traits interrompus repré­ sentent les fonctions -2X (X^+1)^^ et (X^-1)(X^+1)”^.

Substituant (8.l6) dans (7.7) on obtient la modulation de réflectivité résultant de la modulation d’un paramètre (la température) qui fait varier c^. En particulier, si k4<. n il sera suffisant de remplacer dans (7*9) ôn par sa valeur (8.l6b) pour obtenir le spectre de 6R/R, lequel aura l’allure de la courbe correspondante de la fig. 8,2.

29

(8o17)

(8.18)

(8o19)

de raies de Lorentz. En supposant que nous avons pu déterminer le coef­ ficient d’absorptiond-Cc |C ) aux environs de c , l'énergie du seuil,

° ( 1 ) ° en l’absence d'élargissement, il vient t

oo a = r aCc.’c^) / I ^ r»2 (c -c) +/ de

Adoptons pour a (c’,c^) la fonction en marche d'escalier représentée sur la fig. 8,3 qui traduit certainement l'accroissement très rapide de l'absorption à partir de c^. Fig. 8.5 a = 0 pour c <. c (S pour c > c O ^ O ,c -c. a = o<. d' O 6(x) dx

Si 6oC est la modification de associée à une modification 6c de c , O o’ on a : OO

r

6k/6c^ a un spectre semblable, pouvant être décrit par (8,l4a), et comme la région de variation rapide de est localisée autour de c^, 6n/6c^ a une forme identique à (8,l4b). Puisque k<ÿ,n dans la région du seuil fondamental d'absorption,(7»9) conduit à

C(c -c) o / \ 2 ri 2 (c^-c) + /7 6c o

Si les deux premiers termes du second membre de (7»15) sont négligeables devant le troisième, on trouve de même

(9.1)

(9.2a)

(9.2b)

Lee spectres des modifications relatives des facteurs de réflexion et de transmission ont l’allure des courbes en traits pleins de la fig. 8,2. Ils permettent une détermination particulièrement précise de c et de r* .

O

. Densité d'énergie électromagnétique dans un milieu dispersif.

Il est possible d'écrire une expression pour la densité d'éner

(0\

gie électromagnétique moyenne dans un milieu dispersif ayeint une forme similaire à celle se rapportant à un milieu non dispersif, la­ quelle est

iP^K X. où 6^ e^^sont indépendantes de u.

Pour déterminer cette expression, il n'est pas suffisant de considérer un champ d'une seule fréquence, car la périodicité stricte n'entraîne pas d’accumulation d'énergie électromagnétique en régimeo Considérons donc un champ dont les composantes ont des fréquences dans un petit intervalle autour de la valeur moyenne u. On peut écrire j

(ü h>0 (t) e -iü)t

f

U H (t) e uo -iwt

où Ê (t) et H (t) sont des fonctions du temps variant lentement par rapport à e” . Les parties réelles de ces expressions sont à sub­ stituer dans (3.3) et nous devons alors prendre la moyenne par rapport au temps sur la période 2'n*/u qui est petite en comparaison du temps de variation de Ê et H . Le premier terme du membre de droite de

__uo uo

(3o7) avec E et D écrits sous forme complexe est

1 (f + Ê*) . -1 (D + D*)

2 U U 2 U U

en vertu de (4.4). Les produits

E . D et E* . D

U U U U

31 êtrç ignorée. Il reste (9.3) 1 _____ » (t)D + E (I) (9o4) (9o5)

Développons ^yQ(t) en série de Fourier (on peut toujoiirs supposer que cette fonction varie lentement mais périodiquement par rapport au temps) i

« -i(«+oi )t î (t) = TE„ (DO 4- ow. ex et s y” E e U) ^ OCX avec des E constants. On a aussi

OCX

b) y c(o) + oc ) E

-i(«B + oc ) t

oc Ooc

OÙ c (w -Hx) est la permitivité (complexe) à la fréquence (w +o< ). Com­ me ^^^(t) ne varie que lentement, cette série ne possédera que des com­ posantes avecoc.<SÈ.w, On peut donc écrire en négligeant les termes d'ordre supérieur à ex j (9.6) rb Dw t . / \ / \ —i(ü)+OC = - i V (u+w) c (u+oc) E e *— oc ^ - i Z (ü)+cx) OC c (w) + oc de ((d) du E eOCX -i(u+oc)t

= -i I

du du E e ooc -i(u+<x)t ï - i Z oc U c/ X . d uc(u)^(u) + OC k.——J =-du E eOoc -i(u+<x)t

Effectuant la somme sur ex , on trouve i

(9.7) D <1 ^t U d(u c) -i U c E + U uo -lut du 'ôt

(9.9)

(

.

)

(9oll)

(

.

)

(9.13)

tique, nous concluons que le taux de variation de la moyenne de la den­ sité d'énergie est d ■Cü^>/dt, où

= J

d(u ) du

et où nous reprenons les notations désignant des ondes planes (les champs figurant dans (9.9) étant quasi monochromatiques). S'il n'y a pas de dispersion, fc ^ et sont des constantes et on retrouve la forme

(9.1).

Considérons maintenant des substances transparentes dont la perméabilité est celle du vide : nul, on a successive­ ment d'après (5.1a) et (5.^a) :

U U- ^0 2 “ Ao 2 2 2 C ii,. Ao 2 bl. Ao 2 «-1 2

puisque c = peut s'écrire

. '^^1.2 _{F* Ê =} e n_{® m ^ f.t} dn C VU) J,' + “ n 1 du 0 X. X 2 n ▼ W *5*du) d(un) urtt ?r c*^1^1î?*ïr_ ^ph ^ ”2---dlT \ = ïï ^ ~ = V • ^ ^ g

OÙ ont été introduites la vitesse de phase v^j^ et la vitesse de groupe V : g U ph " n _g du d^

La densité moyenne d'énergie peut encore se mettre aoua la forme t

<V = A A

▼ TT

é

1 I* I

puisque dernière expression est obtenue en sub­ stituant (6.9c et d) dans la précédente.

53

(9.14) < S >

net _ X, 6 _ X

2”

^ '

T

'^ph

Dans un milieu dispersif transparent, l'énergie électromagnétique se propage à la vitesse

(9.15) <S>

<U> Vg

(9.16)

Lorsqu'il n'y a pas de dispersion, v^j^ = v^.

Quoique le calcul du coefficient d'absorption défini par (5.9) soit le plus direct, le problème quantique de l'absorption est souvent traité en terme de gradient de densité d'énergie dans le milieu. Il est donc intéressant de formuler le coefficient d'absorption de la meulière suivante :

o( =

/Perte d'énergie par unité de' volume et par unité de temps

Puissance dissipée par\ unité de volume_________ J

K

V.

où l'on utilise (9.11) et (9.15). On trouve bien le résultat (5.10).

10. Le champ de radiation comme superposition d'ondes planes.

Forme Hamiltonienne des équations du champ dans un milieu transparent.

Comme la théorie quantique d'une particule est basée essen­ tiellement sur la forme canonique de la dynamique classique, il sera commode d'exprimer également la théorie classique des radiations sous une forme canonique. En fait, on peut facilement transformer le systè­ me total des équations du champ de manière à ce qu'elles apparaissent sous forme d'équations Hamiltoniennes dépendant de coordonnées de "par­ ticules" et d'autres variables qui décrivent le champ.

(lOol)

(

.

)

(10.3)

vecteurs en fonction des variables canoniques, le nombre de telles variables sera nécessairement infini. Il est cependant possible d’en choisir un ensemble dénombrable. A cette fin nous supposons que le

champ de radiation est complètement enfermé dans une enceinte, par exempt en cube de volume V = L^, et qu’il doit satisfaire à des conditions aux limites sur les surfaces de cette enceinte. Pour obtenir des ondes progressives, nous choisissons des conditions aux limites périodiques, c’est-à-dire que nous supposons que E, D, ïf et B et leurs dérivées ont les mêmes valeurs sur deux faces opposées du cube.

Considérons une onde plane de type (4.1). Les conditions aux limites périodiques limitent les valeurs possibles des composantes de

■>i.(Nous considérons ici un milieu transparent et noue omettons dans ce qui suit l’indice 1 étant entendu que >1= '><^^ ). On doit avoir

±y .L iX oL ix .L .

ex xey =ez =1 soit

1 Z »

les 1 étant des entiers positifs ou négatifs. Une solution quelconque des équations de Maxwell satisfaisant aux conditions aux limites pourra toujours être représentée en série d’ondes planes (série de Fourier). On aura par exemple pour E :

^ = J

I ’ K

La somme est effectuée sur les valeurs permises de y. déterminées par (10.1). Les conditions subsidiaires ~ ^ xi fissurent la réalité de 5^. Le facteur 1/2 est mis pour nous conformer à la définition de E

dans le cas considéré précédemment d’une seule onde plane où l'on avait

être analysé en ses composantes de polarisation.

Cherchons maintenant quelle forme prend la partie électrique (par exemple) du taux de variation de la densité d’énergie, soit d’après

(

5

.

6

) :

Nous envisageons plus loin le fait que Ê^^peut lui-même

1 V

V

35 (I0o4) (10<,5)

(

.

)

\

(

.

)

les intégrales étant prises sur le volume considéré, des ondes planes, la fonction à intégrer sur V est e périodique■de période L en x, y et z. Comme alors

et D i( )r y' étant qui est i(y.+ y.») r dt -r

les intégrales du second membre de (10.5) sont nulles excepté lorsque

_ _ L _ Tjj

X= où elles valent V.E^.D_^ = V.E^.D^ ,(cette dernière expres­ sion provenant de la condition de réalité D * ). Il suit que

(10.3) peut s'écrire

Chaque terme de la dernière somme a la forme de (9«3) et l'on peut en tirer les conséquences en exprimant la densité de l'énergie électro- magnétique totale par U = ^ ^ où <U^> est donné par (9*13)« L'énergie du champ de radiation contenu dans le volume V d'un milieu

transparent dispersif est donc

H^ = VÜ

II

>o

Dans chaque terme de cette somme, les valeurs de sont cel les correspondant au vecteur "ié considéré.

Le potentiel vecteur A peut également être développé en série d'ondes planes :

A Z

2

où A satisfait aux équations (6o9)« En vertu de (6.9a), 2

sorte que A^ est une onde transversale ayant par conséquent deux possi­ bilités de polarisation. Posons donc

I = Zc

X

(t) ei V.r

X étant un paramètre spécifiant l'une ou l'autre polarisation.

Afin que  soit réel, (les constantes étant supposées réelles et telles que o(. , = « ^ ; de même c^. - ’c .)il est nécessaire que

(

.

)

•(

.

)

^ X»X * >d.X

Substituant (10.8) dans (10.6) en tenant compte de (10.9), on trouve 2 XfX V . d , g •X ^ X V ]d,x“‘^Y,x * v,x

(

.

)

/

«H - 7

21

)d.X '* x.x * ":t.x •* Xi.X) x,\

Dans le formalisme Hamiltonien, la coordonnée conjugée à q^ est fd H

R

■>i»x “

S

de sorte que (10.13) peut s'écrire

(10.15)

_“

r

=

J

'»)d,X P x.x " 4

4,x>

37 (llola) (11»1b) (11.2a) (11.2b) (11.3a) (11o3b) (11.^t) (11.5)

II. THEORIE QUANTK^ÜE DE L'ABSORPTION.

11. Quantification du champ de photons.

Les variables dynamiques et obéissent aux règles de commutation

’ V»X'

i t, 6 , 6. . ,

Y*\l' X,X'

’ Py’.X = o

Les opérateurs création et annihilation (d'un photon) a . et a . , sont introduite par les relations t

P -v = i )t^»X 1/2 7 /1

ly

et ils obéissent aux règles de commutation t

\.x ’ ®y,x'

1

+ +

__

1

’ ® X'.X'

® x’.x*

En fonction de ces opérateurs, l'Hamiltonien s'écrit i

* 5> ^

SR

-Les valeurs propres de a'*’^ \ étant des entiers positifs, n

l'énergie du système est donnée par )d*X

^R = (n _{)d,X 2' ""xl- "o}^) îi = E^ + 21 n )d,X

y»x

\ U

(11.6b)

(11.7) (11.6a)

(12ol)

(

.

)

Les seuls éléments de matrice non nuis de a . et a . sont les suivants :

<n . - 1 a

>ii^ n . > = (n . ) 1/2

<n. , + 1 a"*" n = (n . + 1

)

Remarquons qu’en fonction des opérateurs de cheunp, tenant compte de (10.7), (10.8), (10,12) et (11,2a), le potentiel vecteur se met sous la forme )d»^ V V

JL

12. Densité d’énergie de radiation d’un corps noir.

Déterminons le nombre d’oscillateurs par unité de volume, /(w) du), ayeuat des pulsations comprises entre w et U) + dw. Dans le volume L'^, et pour une polarisation donnée, le nombre de modes est égal au volume de la partie correspondante de l'espace des 1 puisque les vecteurs X permis sont déterminés, d’après (10.1), par les points 1 de coordonnées entières. Il vient donc

f (u) du = — d(j -n- 1^) du du

7

S

2 tient compte des deux polarisations possibles. D’après 3 3 3

Xv(2 TT )^, de sorte que la densité des modes devient

Le facteur (10.1), 1^ = f (u) = 2 (2t )-(47T X^) ^ S TT^V g

(

.

)

(12.4)

(13.1)

(13.2)

39

grandes vis-à-vis de la longueur d'onde. Lorsque l'enceinte contient 2 2 3

un diélectrique, nw/c. Dans le vide ? (w) = w /ir c .

Dans un système à l'équilibre thermique à la température T, l'énergie moyenne d'un mode de pulsation u est t

ft) tiwTk T e ' O _-1

en écartant l'énergie du point zéro. La densité d'énergie de radiation d'un corps noir pour des pulsations comprises entre u et w + du est u(u) du, où

U (w) f («) tiu/k T ® ° -1 2-t 3 n b U 2 2 ir c V g 1 ^ w/k T e ' O

13. Interaction du champ de radiation avec un système matériel : les Hamil­ toniens.

Nous supposerons que le champ de radiation et le système maté- rie(^ sont enfermés dans une enceinte, par exemple un cube d'arête L, L'énergie dans l'enceinte est conservée de sorte que le système total peut être décrit à l'aide d'un Hamiltonien H indépendant du temps t

où Hp, et Hj représentent respectivement les Hamiltoniens du champ de radiation, du système matériel et de l'interaction entre les deux. Si, comme c'est généralement le cas, il est permis de supposer que l'interaction est faible, l'effet de Hj peut être obtenu à l'aide de la théorie des perturbations et être interprété en termes de transi­

tions entre les états stationnaires de l'Hamiltonien non perturbé Hp + Hj^jo Les valeurs propres de cet Hamiltonien ont la forme générale

')C ®

(13o3)

03.4)

03.5)

03.6)

03.7)

vecteur propre appartenant à cette valeur propre est

••• > m >

I m ^ représente un état propre du système matériel isolé corres­ pondant à la fonction d'onde ^ :

$ = c $

M m X m

Les systèmes matériels que nous aurons à considérer seront en général constitués par un ensemble d'électrons, ceux qui sont responsables de l'absorption (ou de l'émission) d'énergie électromagnétique dans une certaine zone spectrale. Le reste du cristal sera alors considéré com­ me un milieu transparent (et éventuellement dispersif), pour le champ électromagnétique, remplissant l'enceinte. L'effet de ce milieu sur le champ de radiation est traduit par les facteurs (vg/^p^ c^)^dans le développement (11.7) du potentiel vecteur A,

Soit maintenant V(r^, r^, ..., r^j) l'énergie potentielle des N électrons "absorbants", de coordonnées vectorielles r^, ..., r^j, en l'absence de champ de radiation ; cette énergie potentielle provient de l'interaction de ces électrons avec les autres particules du cristal (ions et autres électrons constituant le "milieu transparent") et

éven-M ^oni0

tuellement de ces électrons entre eux. Si p^ est l'impulsion du j

électron, on peut montrer que l'Hamiltonien du système total peut s'écri­ re

N H = .

«M " «I HtR 2m, + -5^ (pj + e Â^)^ + V (r^, 3=1

où m est la masse et e la charge (en valeur absolue) de l'électron. L'indice j de signifie que cette quantité est à évaluer à la posi­ tion rJ du j ™ électron. Hp est donné par (11.3) et par

N “ 2m

3=1

p/ + V (?^,

Le potentiel V est une fonction à préciser dans chaque cas. De (13.5) et (13.6) on déduit que l'Hamiltonien d'interaction a la forme

N Ht_{I 2m} = T-

3=1 '^3 '^3 ’ ^*3 ^3 + e

41 (13.8) (13.9) (13.10) (13.11) (13.12) (13.13)

Le potentiel vecteur pouvant être supposé petit, (condition nécessaire par ailleurs à l'application du calcul de perturbation), nous ne tien­ drons compte que des termes linéaires en A, Remarquons que l'expression (13.7) est écrite en vue de la formulation quantique du problème puis­ que les opérateurs p et A ne commutent pas en général. La relation de commutation (x, p ) = it» implique que (x^, p ) = iti ^ xV^ x, soit en- core, si la fonction scalaire A^ peut être développée en série de puis­ sances entières : A p - p A = iTâ x -^X X ^ X Donc A X AX 2A (A p - p A )X ^X X et 2A X fàk ^ 'Ô X

Aop + p.A = 2A,p - iti V .A

Comme V.A = 0 avec la jauge choisie, l'Hamiltonien d'interaction est

N N

Jk ^ a» A '

=

Substituant dans (13.11) la valeur (11.5) de A en fonction des opéra­ teurs de champ, l'énergie d'interaction apparaît comme étant une fonc­ tion linéaire de ces opérateurs t

J ^ .ï*j) —

TI ^/ iTd.r, + a . e j p,

où, (puisque (■'^p^^i^ = “/® ^-j ®= 1/c £^n = y*-^c/n) !

m

/ \ 1 1/2 r 1

1 _{^ I ^} e 1 K. ^

V m V n 2w^

n 1/2

l4o Probabilités d’absorption et d’émission d’un photon par le système matériel.

En vertu de la théorie des perturbations dépendant du temps, la probabilité de transition par unité de temps induite par d’un état initial I n ; m^d’énergie n^, . ^ + c de l’Hauniltonien non perturbé H_ + H„ vers un état stationnaire final n’ ; d’éner

^^ , * gie n’ . U) + c , est donnée par :

® >1.^ n

(14.1) 21''l / , <n’ ; m’ H,, n;m^|‘'

où la fonction 6 exprime la conservation de l’énergie. | n et | n’^ représentent sous forme condensée des états stationnaires du champ de radiation t I n ^ = .7!, In . > . Explicitons à l’aide de (13.12) la

A:,A. I y,A

forme de l’élément de matrice <^n’;m’ Hj njm^

(14.2) Xl 3 'y ±y.r. e

3

3

Les seuls éléments de matrice non nuis de a , et a* . sont

(14.3a) <n’ | 1/2

>itX' sin’_.=n .-1 et si n’ = n pour les modes autres que ( >d,X), et

(14.3b) <n'|a*^_^ln>= al * 1

1 n>et I n' > du champ de radiation ne diffèrent que par un seul photon, appartenant par exemple au mode ( >i,X)o II ne subsistera dans (l4,2) qu'un seul terme de la somme sur (>d|X), celui contenant l'opérateur a- . ou celui contenant &*<- ^ suivant que l'état final du champ de

radia-XjA, X-tA,

tion contient un photon rü) . en moins ou en plus. A.

Nous avons jusqu'à présent parlé de transitions du système matériel entier. Dans la plupart des cas, cependant, une approximation à un électron est adéquate et nous pouvons décrire la transition comme étant une modification de l'état d'un seul électron. Si la fonction d'onde totale $ peut être prise comme étant un déterminant de fonctions d'onde à un électron, 4>i.t il est facile de montrer que l'élément de matrice (l4.2) se réduit à la forme :

4a) - 1}k» H

(a . )

Dans la méthode de Hartree et Fock, la fonction d'onde du système d'électron est approchée par un déterminant de fonctions orthonormées pour un électron

$

(Kl)T72 : • :•

♦l'V ••••

Dans le cas d'électrons dans un cristal par exemple, les sont des fonctions de Bloch. La fonction d'onde $ satisfait à l'exigence d'antisymétrie puisque l'échange de deux particules correspond à l'échange de deux lignes du déter­ minant, ce qui change son signe. Toutes les fonctions à un électron doivent être différentes. En effet, le déterminant est nul si deux colonnes sont iden­ tiques. Ceci exprime le principe de Pauli.

Puisque l'opérateur figurant dans chaque intégrale de (l4«2) est un opérateur pour un électron, ces intégrales s'annulent si § ^ et diffèrent de plus

m'

(14.4b)

(14.5)

(14.6)

lorsqu'un photon est absorbé par l'excitation d'un électron d'un état I vers un état d'énergie plus élevée 1 k' )> . L'élément de matrice correspondant au processus inverse de l'émission d'un photon, l'électron tombant de l'état I k' )> vers l'état jk> , est

1/2 . * — IXt— *. , \ X* P ♦k' /V

(

Il est à remarquer que, en vertu de l'hermiticité de l'opérateur (e * p)» les intégrales dans‘(l4.4a) et (l4.4b) sont identiques. Ecrivons donc

iVu*<k'|c .e^^^lk> =

i

, — -iy.r— 3t ,

\ 'k.X° ^ *k* de

On ne pourra définir une probabilité de transition finie que si des états du système non perturbé appartenant à ime bande d'énergie sont impliqués dans la transition. Cette condition est toujours réalisée en présence d'un champ de radiation : nous savons que le nombre de modes de l'une ou l'autre polarisation, ayant des pulsations comprises entre u et <i) + du, est V f (u) du où V est le volume de l'enceinte et où / (u) est

donné par (12.2). Le nombre de ces modes dans l'intervalle d'énergie correspondant ti du, est Vtxj>^(tiu) du = Vf (u) du où f ^( ^ u) est la densité des modes par rapport à l'énergie u. Donc, d'après (12.2)

2 2 n u ^2^2 t TT O V ^ g n^( u) n T T[‘"G~WV 2 g

Intégrant (14.1) sur k)us les modes, il suit d'après (l4.4a), (l4.5) et (l4.6), que la probabilité par unité de temps pour que le système maté­ riel effectue la transition k —k' en absorbant un photon d'une pola­ risation quelconque est

et la probabilité pour que le système matériel émette un photon en ef­ fectuant la transition inverse k* --- ^ k est

(1^.7b) ' \ T ^ ^ w) ô (c -t. w) d ( ^ «)

(l4o8)

"Tr cm

où C a été remplacé par sa valeur (13»'I3) et où *= = "k* “ "k

On remarquera que la probabilité d'émission (l4,7b) se compose de deux termes. L'iin, identique à la probabilité d'absorption (l4,7a) est proportionnel au nombre de photons Initialement dans le modeiî s c'est la probabilité d'émission induite (ou stimulée). L'autre, indépendant de n ^ est appelé la probabilité d'émission spontauiée.

15» Coefficient d'absorption.

Supposons maintenant que Cj^ et Cj^, soient des niveaux d'éner­ gie faisant partie de spectres quasi-continus, comme par exemple ceux des bandes d'énergie d'un cristal.

Soient et f'(Cj^') les probabilités pour que ces niveaux soient occupés. (A l'équilibre theimiique f S f est une fonction de Fermi-Dirac). Les probabilités pour que ces niveaux soient vides sont alors (1-f) et (1-f). Le taux d'absorption des photons dont l'éner­ gie est comprise entre c et c + de, dû à des transitions entre états électroniques d'un spin donné, est, par conséquent

(15.1a) r de * P f(c. )

® c 4 c. ,-c. 4 c+dc ®

1 - f’ (c.,)

et le taux d'émission de ces photons est

(15.1b) r de

e P,

f(v)