Application des techniques de bases réduites à la simulation des écoulements en milieux poreux

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Application des techniques de bases réduites à la

simulation des écoulements en milieux poreux

Riad Sanchez

To cite this version:

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Application des techniques de

bases réduites à la simulation des

écoulements en milieux poreux

Thèse de doctorat de l'Université Paris-Saclay

préparée à IFP Énergies Nouvelles et CentraleSupelec

École Doctorale n°580 (STIC)

Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication

Spécialité de doctorat : Mathématiques Appliquées

Thèse présentée et soutenue à Rueil-Malmaison, le 19 décembre 2017, par

Riad Sanchez

Composition du jury :

M. Christophe Chalons

Professeur, Université de Versailles-Saint Quentin Président

M. Tony Lelièvre

Professeur, École des Ponts ParisTech Rapporteur

M. Christophe Prud’homme

Professeur, Université de Strasbourg Rapporteur

M. Guillaume Enchéry

Ingénieur de recherche, IFPEN Examinateur

Mme Cindy Guichard

Maître de conférence, Université Pierre et Marie Curie Examinateur

M. Anthony Nouy

Professeur, École Centrale de Nantes Examinateur

M. Quang Huy Tran

Ingénieur de recherche, HDR, IFPEN Directeur de thèse

M. Sébastien Boyaval

Chercheur, École des Ponts ParisTech Co-Directeur de thèse

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R´

esum´

e

En géosciences, les applications associées au calage de modèles d’écoulement nécessitent d’appeler plusieurs fois un simulateur au cours d’un processus d’optimisation. Or, une seule simulation peut durer plusieurs heures et l’exécution d’une boucle complète de calage peut s’étendre sur plusieurs jours. Diminuer le temps de calcul global à l’aide des techniques de bases réduites (RB) constitue l’objectif de la thèse.

Il s’agit plus précisément dans ce travail d’appliquer ces techniques aux écoulements incompressibles diphasiques eau-huile en milieu poreux. Ce modèle, bien que simplifié par rapport aux modèles utilisés dans l’industrie pétrolière, constitue déjà un défi du point de vue de la pertinence de la méthode RB du fait du couplage entre les di↵érentes équations, de la forte hétérogénéité des données physiques, ainsi que du choix des schémas numériques de référence.

Nous présentons d’abord le modèle considéré, le schéma volumes finis (VF) retenu pour l’approximation numérique, ainsi que di↵érentes paramétrisations pertinentes en simula-tion de réservoir. Ensuite, après un bref rappel de la méthode RB, nous mettons en œuvre la réduction du problème en pression stationnaire (à un instant donné) en suivant deux démarches distinctes. La première consiste à interpréter la discrétisation VF comme une approximation de Ritz-Galerkine, ce qui permet de se ramener au cadre standard de la méthode RB mais n’est possible que sous certaines hypothèses restrictives. La seconde démarche lève ces restrictions en construisant le modèle réduit directement au niveau discret. Elle est meilleure que la première à plusieurs égards.

Enfin, nous testons deux stratégies de réduction pour la collection en temps de pressions paramétrées par les variations de la saturation. La première considère le temps juste comme un paramètre supplémentaire. La seconde tente de mieux capturer la causalité temporelle en introduisant les trajectoires en temps paramétrées.

Mots clefs ´

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Abstract

In geosciences, applications involving model calibration require a simulator to be called several times with an optimization process. However, a single simulation can take several hours and a complete calibration loop can extend over serval days. The objective of this thesis is to reduce the overall simulation time using reduced basis (RB) techniques.

More specifically, this work is devoted to applying such techniques to incompressible two-phase water-oil flows in porous media. Despite its relative simplicity in comparison to other models used in the petroleum industry, this model is already a challenge from the standpoint of reduced order modeling. This is due to the coupling between its equations, the highly heterogeneous physical data, as well as the choice of reference numerical schemes. We first present the two-phase flow model, along with the finite volume (FV) scheme used for the discretization and relevant parameterizations in reservoir simulation. Then, after having recalled the RB method, we perform a reduction of the stationary pressure equation (at a fixed time step) by two di↵erent approaches. In the first approach, we interpret the FV discretization as a Ritz-Galerkine approximation, which takes us back to the standard RB framework but which is possible only under severe assumptions. The second approach frees us of these restrictions by building the RB method directly at the discrete level. The latter is better than the former in many respects.

Finally, we deploy two strategies for reducing the collection in time of pressures para-meterized by the variations of the saturation. The first one simply considers time as an additional parameter. The second one attempts to better capture temporal causality by introducing parameterized time-trajectories.

Keywords

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Table des mati`

eres

Résumé i Abstract iii 1 Introduction 1 1.1 Simulation de réservoir . . . 1 1.1.1 Contexte et motivations . . . 1

1.1.2 R´eduction du nombre de param`etres . . . 2

1.1.3 R´eduction du coˆut d’une simulation . . . 2

1.2 Etat de l’art des m´ethodes de r´eduction d’ordre´ . . . 3

1.2.1 La d´ecomposition orthogonale en modes propres . . . 3

1.2.2 La m´ethode des bases r´eduites . . . 5

1.3 D´emarche m´ethodologique . . . 6

1.4 Plan du m´emoire . . . 7

2 Simulation d’écoulement diphasique en milieu poreux 9 2.1 Modèle d’étude . . . 9 2.1.1 Système d’équations . . . 10 2.1.2 Deux paramétrisations . . . 12 2.2 Schéma de référence . . . 15 2.2.1 Discrétisation en temps . . . 16 2.2.2 Discrétisation en espace . . . 17 2.3 Exemples de résultats . . . 20 2.3.1 E↵et de la perméabilité . . . 22

2.3.2 E↵et de la viscosit´e de l’eau . . . 24

2.4 Modèles et schémas plus élaborés . . . 25

2.4.1 Capillarit´e et compressibilit´e . . . 25

2.4.2 Volumes finis consistants et sym´etriques . . . 30

3 Introduction à la méthode des bases réduites en formulation primale 35 3.1 Problèmes elliptiques linéaires paramétrés . . . 36

3.1.1 Formulation primale abstraite . . . 36

3.1.2 Approximation variationnelle ⌧haute fid´elit´e . . . 39

3.1.3 Dépendance affine et régularité paramétrique . . . 41

3.2 Principe de la m´ethode RB . . . 44

3.2.1 Approximation variationnelle ⌧bas coˆut . . . 44

3.2.2 D´ecomposition hors ligne–en ligne . . . 46

3.2.3 Construction d’une base par l’algorithme glouton . . . 48

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Table des mati`eres

3.3 Estimateur d’erreur a posteriori . . . 52

3.3.1 Evaluation de la norme r´esiduelle´ . . . 52

3.3.2 Evaluation des constantes de stabilit´e´ . . . 55

3.4 R´ecapitulatif . . . 59

4 Premiers essais pour l’équation en pression via la formulation mixte 61 4.1 Du modèle continu au modèle de référence . . . 62

4.1.1 Formulation mixte de l’´equation en pression . . . 62

4.1.2 El´ements finis´ P0 etRT0 en maillage rectangulaire uniforme . . . 64

4.1.3 Approximation⌧haute fidélité et équivalence avec VF-TPFA. . . 67

4.2 Du modèle de référence au modèle réduit . . . 71

4.2.1 Approximation⌧bas coˆut . . . 71

4.2.2 Un cadre primal pour l’analyse d’erreur . . . 76

4.2.3 Algorithme glouton, efficacit´e, conservativit´e . . . 82

4.2.4 Estimateur d’erreur a posteriori . . . 84

4.3 R´esultats num´eriques . . . 88

4.3.1 Contrˆole en norme L2-pression . . . 88

4.3.2 Contrˆole en norme d’´energie . . . 90

5 Réduction de l’équation en pression via une approche discrète directe 95 5.1 A la recherche d’une approche plus directe` . . . 96

5.1.1 Cadre variationnel discret de r´ef´erence . . . 96

5.1.2 Approximation⌧bas coˆut . . . 99

5.1.3 Algorithme glouton, estimateur a posteriori . . . 102

5.1.4 R´esultats num´eriques . . . 105

5.2 A la recherche d’une meilleure efficacit´e` . . . 107

5.2.1 Interpolation empirique discr`ete . . . 110

5.2.2 Approximation conjointe RB-DEIM . . . 116

5.2.3 Algorithme glouton et estimateur a posteriori . . . 118

5.2.4 Construction simultan´ee des bases RB et DEIM . . . 125

6 Réduction de la collection en temps des problèmes en pression 129 6.1 Position du problème . . . 130

6.2 Construction d’un espace r´eduit avec le temps comme param`etre additionnel132 6.2.1 Approche RB . . . 133

6.2.3 Approche POD . . . 137

6.3 Construction d’une base pour des trajectoires en temps param´etr´ees . . . . 138

6.3.1 M´ethode RB-POD . . . 138

7 Conclusion et perspectives 145 7.1 R´esultats obtenus . . . 145

7.1.1 R´eduction en espace . . . 145

7.1.2 R´eduction en espace et en temps . . . 146

7.2 Prolongements possibles . . . 146

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Table des mati`eres

7.2.2 Vers d’autres sch´emas de discr´etisation. . . 147

7.2.3 Vers une physique compressible . . . 147

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Chapitre 1

Introduction

Sommaire

1.1 Simulation de r´eservoir . . . 1

1.1.1 Contexte et motivations . . . 1

1.1.2 R´eduction du nombre de param`etres . . . 2

1.1.3 R´eduction du coˆut d’une simulation . . . 2

1.2 Etat de l’art des m´´ ethodes de r´eduction d’ordre . . . 3

1.2.1 La d´ecomposition orthogonale en modes propres . . . 3

1.2.2 La m´ethode des bases r´eduites . . . 5

1.3 D´emarche m´ethodologique . . . 6

1.4 Plan du m´emoire. . . 7

1.1 Simulation de r´

eservoir

1.1.1 Contexte et motivations

Depuis toujours, par souci de rentabilité, les compagnies pétrolières cherchent à aug-menter les taux de récupération d’huile et de gaz, à exploiter des gisements difficiles (comme des réservoirs de bruts lourds, fracturés ou très peu perméables), à optimiser la production de champs matures ou la production de gisements en grandes profondeurs. Plus récemment, la préservation de l’environnement est également devenue un enjeu majeur.

Le choix même de l’exploitation ou non d’un gisement d’hydrocarbures est l’aboutis-sement d’un processus décisionnel important. En e↵et, la mise en place d’une exploitation pétrolière représente un investissement très lourd (quelques millions d’euros par forage). Les compagnies pétrolières chargées d’évaluer l’intérêt d’un gisement pétrolier doivent donc être capables de prévoir le plus précisément possible la quantité d’hydrocarbures qu’elles peuvent espérer récupérer. À cette fin, elles disposent de logiciels de simulation de réservoir permettant de prédire les quantités d’hydrocarbures produites et d’optimiser le placement des puits.

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Chapitre 1. Introduction

1. Réduire le nombre de paramètres intervenant au sein du modèle, en développant des paramétrisations astucieuses ;

2. Réduire le coût d’une simulation d’écoulement, en utilisant des stratégies de résolution améliorant l’équilibre entre la précision et les temps de calculs ;

3. Réduire le nombre d’appels au simulateur, en le rempla¸cant par un modèle approché moins coûteux.

1.1.2 R´eduction du nombre de param`etres

Une réduction du nombre de paramètres peut être réalisée en utilisant des techniques géostatistiques et en exploitant la corrélation spatiale des données. C’est le cas, par exemple de la technique des points pilotes considérée dans ce travail. Introduite par de Marsily

[1984], cette paramétrisation permet de modifier une réalisation géostatistique d’une carte de perméabilités ou de porosités, par exemple, en modifiant simplement la valeur de cette carte en quelques points du domaine. Cette technique utilise le conditionnement par kri-geage qui permet de propager les modifications tout autour de ces points en cohérence avec le variogramme et les longueurs de corrélation définies dans la réalisation initiale. D’autres techniques ont par la suite été développées pour le calage de modèles de réservoir comme, par exemple, les déformations graduelles pour le paramétrage de modèles stochastiques [Hu, 2002] ou la méthode des transformations des proportions de faciès [Tillier et al.,

2010].

La réduction du temps de calcul au niveau d’une simulation d’écoulement passe, classi-quement, par une mise à l’échelle, ou upscaling, des propriétés pétrophysiques (perméabili-tés, transmissivités...), définies sur une grille décrivant le modèle géologique, vers une grille de calcul plus grossière. Leur principe consiste à moyenner ces propriétés de fa¸con à pou-voir reproduire fidèlement la dynamique de l’écoulement, impactée par les hétérogénéités présentes à la petite échelle, sur la grille grossière. Les revues deFarmer[2002] etDurlofsky

[2005] donnent un très bon aper¸cu de ces techniques. 1.1.3 Réduction du coût d’une simulation

Plus récemment des algorithmes de résolution éléments-finis ou volumes-finis multi-échelles ont fait l’objet d’importants travaux. À la di↵érence des techniques d’upscaling qui calculent des propriétés d’écoulement moyennées, ces méthodes visent, en quelque sorte, `

a introduire l’information présente à l’échelle fine dans les opérateurs di↵érentiels utilisés `

a l’échelle grossière [Efendiev and Hou,2009]. À notre connaissance, la première méthode d’éléments finis multi-échelle a été proposée parHou and Wu [1997] et visait à construire des fonctions de base calculées numériquement par le biais de problèmes de cellule définis sur un domaine restreint, incluant une ou plusieurs mailles grossières et tenant compte des variations spatiales du coefficient de di↵usion à l’échelle fine. Cette méthode permet de restreindre le nombre de degrés de libertés à ceux intervenant au niveau grossier au moment de la résolution du système linéaire tout en permettant une reconstruction de la solution à l’échelle fine une fois cette résolution e↵ectuée.

Une extension de cette méthode a été faite récemment par Efendiev et al. [2013]. La méthode des éléments finis mixtes multi-échelles [Chen and Hou, 2003, Aarnes et al.,

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1.2. État de l’art des méthodes de réduction d’ordre

and Lie, 2014]. Plus généralement, de nombreuses méthodes existent pour introduire des informations de l’échelle fine à l’échelle grossière du calcul d’un écoulement poreux, où l’on définit plus des stratégies d’échanges de données entre échelles à l’instar du couplage de modèles ou des méthodes multi-échelles hétérogènes (Heterogeneous Multiscale Methods, HMM) [Weinan et al.,2003,Henning et al.,2015]. Enfin, si l’objectif est plutôt de réduire le nombre d’appels au simulateur et de le remplacer en partie par un modèle approché, il faut alors avoir recours à des stratégies de réduction de modèle que nous allons introduire dans le paragraphe suivant.

1.2 Etat de l’art des m´

´

ethodes de r´

eduction d’ordre

En nous inspirant de l’excellente revue faite parChinesta et al.[2017], nous présentons ci-après un état de l’art volontairement restreint à deux familles de méthodes de réduction d’ordre, à savoir

— la d´ecomposition orthogonale en modes propres (plus couramment appel´ee POD pour Proper Orthogonal Decomposition) :

— la méthode des bases réduites (notée aussi RB pour Reduced Basis).

Partant d’un problème dépendant d’un certain nombre de paramètres dont l’évaluation est coûteuse et pour lequel on cherche à modéliser une ou plusieurs quantités d’intérêt, ces méthodes font le postulat que la variété des solutions de ce problème peut être reconstruite simplement à partir d’un nombre réduit de fonctions de base⌧bien choisies . Mentionnons

également que, hormis ces deux familles, il y a aussi la décomposition généralisée en modes propres (PGD, Proper Generalized Decomposition) [Falcó and Nouy,2011,Nouy and Falcó,

2011,Falc´o and Nouy, 2012], que nous n’abordons pas dans cette th`ese.

Dans les familles considérées, la construction d’une base réduite est réalisée au cours d’une première phase dite hors-ligne, généralement coûteuse en temps de calcul, car dépen-dant de la dimension _N de l’espace d’approximation choisi pour le problème de départ. Dans le cas d’un code de calcul utilisant des éléments finis, _N correspond au nombre de degrés de liberté. Lorsque cette base semble suffisamment prédictive, dans un sens à préciser, l’évaluation de nouvelles solutions pour de nouveaux paramètres peut être réalisée via un modèle réduit construit par le biais de projections sur la base réduite. Dans cette seconde phase dite en-ligne, on cherche en général à ce que cette évaluation ne dépende que de la taille de la base N. Si N_⌧_N, des gains substantiels en temps de calculs peuvent alors être obtenus.

Les sous-sections _§1.2.1,_§1.2.2décrivent les principaux ingrédients et caractéristiques associées à ces deux familles de méthodes et leur application/extension à la simulation des écoulements en milieux poreux.

1.2.1 La d´ecomposition orthogonale en modes propres

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Au cours de la phase en ligne, le calcul de nouvelles solutions, peut éventuellement faire intervenir des termes dépendant non-linéairement de la paramétrisation et/ou de la solution. Des méthodes d’approximation de ces termes doivent alors être mises en œuvre (Missing Point Estimation [Astrid et al.,2008], Gauss Newton with Approximated Tensors [Carlberg et al.,2013], Empirical Interpolation Method [Barrault et al.,2004] et sa version discrète Discrete Empirical Interpolation Method [Chaturantabut and Sorensen,2010]).

L’approche POD ne permet pas, en général, un contrôle de l’erreur entre la solution exacte du problème de départ et la solution réduite, sauf dans quelques cas particuliers. De plus, lorsque la dimension de l’espace des paramètres augmente, il faut avoir recours `

a des techniques d’échantillonnage plus élaborées de cet espace comme, par exemple, l’échantillonnage glouton [Bui-Thanh et al., 2008]. Pour des problèmes linéaires en la solution, un enrichissement de la base et du modèle, sans procéder à une ré-évaluation coûteuse du modèle complet, est possible, au cours de la phase en ligne, en utilisant les techniques détaillées dans [Brand,2006,Peherstorfer and Willcox,2015]. Des algorithmes ont également été proposés dans le cas non-linéaire pour répondre à cette problématique. Application à la simulation des écoulements en milieux poreux

Une des premières applications d’une réduction de modèle par POD à la simulation des écoulements en milieux poreux a été réalisée dans Vermeulen et al. [2004]. Ce travail visait à réduire le calcul de la cote piézométrique pour chacune des cellules d’un maillage discrétisant un aquifère. Les conditions aux limites (recharge/évaporation, production aux puits) constituaient les paramètres d’entrée du modèle. Ce modèle ne présentait aucune non-linéarité. L’échantillonnage a été réalisé en e↵ectuant un tirage aléatoire sur la plage de variation des paramètres. Un premier ensemble de solutions a ensuite été simulé. Puis, des considérations relatives à la dynamique de l’écoulement ont permis de réduire cet ensemble et d’e↵ectuer une POD des solutions restantes. Deux types de réduction, utilisant la base POD, ont ensuite été proposés aux niveaux continu et discret.

La réduction par POD a ensuite été mise en œuvre sur un modèle de réservoir dipha-sique dans van Doren et al.[2006]. Dans ce travail, les paramètres d’entrée étaient formés des débits d’injection et de production. La réduction de modèle était ici envisagée afin de diminuer le temps de calcul associé à l’optimisation d’un scénario de production. Un premier ensemble de solutions en pression et saturation a été calculé à di↵érents instants et pour di↵érentes configurations de fonctionnement des puits préétablies. La POD a ensuite été mise en oeuvre pour réduire, à chaque pas de temps, le système d’équations discrètes en espace. Le modèle approché a alors été utilisé, dans une première boucle d’optimisa-tion, afin de calculer les paramètres optimaux permettant de maximiser la valeur actuelle nette (NPV en anglais) d’un gisement. Lorsqu’un maximum était identifié, la nouvelle configuration était testée en e↵ectuant une simulation du modèle initial. Cette simulation permettait de tester la convergence de la seconde boucle d’optimisation la plus externe et, en cas d’échec, de déclencher une mise à jour du modèle réduit et de nouvelles itérations avec ce second modèle.

Ce mode de réduction d’un système diphasique a été repris plus tard et amélioré dans Cardoso and Durlofsky [2010]. Dans ce travail, la POD a été utilisée de manière conjointe avec la TPWL (Trajectory Piecewise Linearization) introduite initialement par

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1.2. État de l’art des méthodes de réduction d’ordre

Une autre réduction a été réalisée dans Drohmann et al. [2012] sur un problème d’écoulement diphasique en milieu poreux, très proche de celui considéré dans ce tra-vail. Les inconnues principales du problème était la pression globale (du fait de la présence de la capillarité) et la saturation de la phase mouillante. Le schéma de discrétisation en espace était de type volumes finis et totalement implicite tel que décrit et étudié dans

Michel[2003]. Cette réduction visait à réduire le coût de résolution induit par l’algorithme de Newton et le problème ne comportait pas de paramétrage. La stratégie choisie consis-tait à utiliser la méthode de discrétisation empirique pour linéariser les termes dépendant non-linéairement de la saturation et à construire une base de solutions au moyen d’une POD.

1.2.2 La m´ethode des bases r´eduites

La méthode des bases réduites (RB) fut introduite à partir des années 70 dansFox and Miura [1971], Almroth et al. [1978] et Noor and Peters [1980] pour l’analyse structurelle non linéaire. Après quelques errements [Porsching,1985,Ito and Ravindran, 1998], elle a connu un second sou✏e avec l’introduction de l’algorithme glouton [Prud’homme et al.,

2002] en conjonction avec un estimateur d’erreur a posteriori.

Partant d’une première solution choisie aléatoirement, cet algorithme enrichit la base, à chacune de ses itérations, en sélectionnant les paramètres et la solution leur correspondant qui maximisent l’estimateur d’erreur sur l’espace des paramètres échantillonné. Lorsque l’espace des paramètres est de grande dimension, les mêmes techniques d’échantillonnage glouton mentionnées en 1.2.1 peuvent être mises en œuvre dans le cas RB. L’estimateur d’erreur a posteriori est réellement l’outil central de la méthode RB. Celui-ci doit être

• robuste, c’est-à-dire constituer une borne supérieure de l’erreur quel que soit la dimension de la base et les paramètres choisis ;

• efficace, à savoir que le ratio entre l’erreur prédite et l’erreur e↵ective doit être aussi proche que possible de 1 ;

• de faible coût, autrement dit son évaluation doit être indépendante de la grande dimension_N du problème de référence.

Pour la classe de problèmes mentionnée précédemment, cet estimateur est construit en calculant le rapport entre la norme duale du résidu et un minorant de la constante de coercivité. La décomposition affine permet de réduire sensiblement le coût d’évaluation de l’estimateur. Cette décomposition permet en e↵et de décomposer le calcul de la norme duale du résidu en une somme de termes précalculables et d’appliquer la méthode des contraintes successives (SCM, Successive Constraint Method ) [Huynh et al., 2007] pour obtenir une borne inférieure de la constante de coercivité. Une alternative plus simple à la SCM est proposée dansRozza[2005].

Mentionnons enfin le fait que di↵érentes variantes de la méthode RB existent en dehors du cadre elliptique, coercif, affine et conciliant. Les extensions aux cas conciliant, non-affine et non coercifs sont par exemple abordés dans l’article de revue deQuarteroni et al.

[2011] et dans le livre de Hesthaven et al. [2016]. Notons que, dans le cas non-affine, une linéarisation de l’opérateur est réalisée grâce la méthode d’interpolation empirique [Barrault et al., 2004]. Une adaptation de la méthode pour des problèmes paraboliques a également été proposée dans Grepl and Patera [2005] et dans Haasdonk and Ohlberger

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Application `a la simulation des ´ecoulements en milieux poreux `

A notre connaissance, l’application la plus proche d’une méthodologie de type RB au problème étudié dans ce manuscrit a été réalisée dansKaulmann et al.[2015]. L’approche retenue di↵ère légèrement de l’approche RB classique dans le sens où les fonctions de base ont ici un support localisé en espace et restreint aux cellules d’un maillage grossier su-perposé au maillage fin initialement construit pour la simulation de l’écoulement. Cette approche mélange donc à la fois les concepts de fonctions de base grossières, classique-ment utilisées par les algorithmes de résolution multi-échelle et dont la forme dépend des variations locales d’une propriété sur le maillage fin, et de fonctions de base de type RB, puisque ces variations locales ne sont pas fixes mais paramétrées.

L’id´ee de cette combinaison fut introduite pour la premi`ere fois dansKaulmann et al.

[2011]. Des schémas de discrétisation de type Galerkine Discontinu sont utilisés pour cal-culer la pression réduite sur ce type de base mais également pour résoudre l’équation de transport en saturation qui, elle, n’est pas réduite. Dans ce travail, le couplage entre la pression et la saturation est rompu en introduisant un modèle paramétré de la mobilité totale. Celui-ci consiste en une somme finie de profils de mobilités pondérée par des poids. Ces profils sont construits en estimant la position du front à di↵érentes périodes de la simulation sur la base d’un calcul de temps de vol. Les poids constituent ici les paramètres du problème. La base en pression est construite au moyen d’un algorithme glouton et d’un estimateur adapté à cette méthode [Ohlberger and Schindler, 2014]. Un désavantage de cette méthode est que la taille de la base RB dépend de la taille du maillage grossier. Une analyse en composante principale peut être utilisée pour réduire sa taille localement au niveau de chaque maille grossière.

1.3 D´

emarche m´

ethodologique

Partant des di↵érentes tentatives de réduction des temps de calculs évoquées précé-demment, pour la simulation d’écoulements diphasiques en milieux poreux, l’objectif de cette thèse est de poursuivre ces travaux en privilégiant la méthode des bases réduites. L’avantage de cette méthode, par rapport à la POD, réside en outre dans l’existence d’une mesure précise de l’erreur entre la solution réduite et la solution discrète.

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1.4. Plan du m´emoire

la production attendue.

Le problème diphasique étudié dans ce manuscrit fait intervenir une équation elliptique en pression et une équation hyperbolique non-linéaire en la saturation. Ces deux équations sont couplées via la vitesse de Darcy. Du fait de la nature de ces équations, il nous a semblé plus simple de débuter ce travail par une réduction de l’équation en pression en supposant que nous étions toujours en mesure d’évaluer la solution en saturation à l’aide d’un mode de résolution classique basé sur une discrétisation de type volumes finis.

Dans une première étape, nous nous sommes concentrés sur la réduction d’un seul pas de temps, le dernier de la simulation, en supposant toutes les saturations du pas de temps précédent connues. La simplicité de ce premier exercice n’est qu’apparente car les paramètres d’écoulements considérés dans nos exemples ont un impact direct sur l’ensemble de l’historique de la saturation qui intervient non-linéairement dans l’équation en pression via le terme de mobilité totale. Nous avons donc tout d’abord vérifié qu’une réduction était bien envisageable en calculant toutes les solutions et en testant l’algorithme glouton avec l’erreur exacte. Nous avons ensuite mis en place un estimateur d’erreur a posteriori pour pouvoir piloter cet algorithme sans précalculer toutes les solutions en pression. Nous avons enfin tenté de rendre la construction de la base et l’évaluation de nouvelles solutions plus efficaces en utilisant la méthode d’interpolation empirique.

La seconde partie de ce travail a ensuite consisté à réduire toute la collection en temps des cartes de pression. Plusieurs stratégies ont alors été envisagées pour gérer ce paramètre supplémentaire que constitue le temps. Ces stratégies mêlent à la fois des approches de type RB mais aussi POD. Là encore, nous avons toujours supposé la solution en saturation connue.

1.4 Plan du m´

emoire

Le chapitre _§2 présente le modèle diphasique en dimension deux d’espace considéré dans ce manuscrit et sur lequel la méthode des bases réduites (RB) sera appliquée. On y présente également le schéma de discrétisation utilisé pour résoudre numériquement ce modèle, basé sur une méthode de type volumes finis (VF-TPFA), ainsi que les di↵érentes paramétrisations pertinentes en simulation de réservoir.

Le chapitre_§3est une introduction à la méthode des bases réduites dans son cadre idéal, celui des problèmes elliptiques linéaires coercifs à variables séparées. Les notions fonda-mentales comme la décomposition hors ligne–en ligne, l’algorithme glouton et l’estimateur d’erreur a posteriori seront rappelées. Enfin nous montrons en quoi l’équation en pression peut se ramener à ce cadre abstrait, du moins au niveau continu et sans décomposition affine. Nous expliquons également pourquoi la méthode RB présentée ne peut pas être appliquée telle quelle à notre problème particulier.

Le chapitre §4expose une première tentative d’application de la méthode RB dans un cas particulier du problème en pression où l’on peut (presque) se ramener au cadre idéal du chapitre _§3. Il s’agit de celui où le maillage est rectangulaire régulier, pour lequel le schéma de référence VF-TPFA possède une interprétation en termes d’élements finis mixtes de Raviart-Thomas. La stratégie retenue consiste en une méthode de type RB privilégiant la pression. L’analyse de l’erreur de réduction se fait facilement grâce à l’introduction d’un formalisme primal spécifique au choix des sous-espaces, ce qui permet le recours aux notions introduites au chapitre _§3. Cette démarche aboutit à un modèle réduit pour une famille paramétrée de pression dans L2_{(⌦). Bien que cette norme soit}_⌧_{naturelle , dans le}

(18)

Sur la base des résultats du chapitre §4, nous adoptons dans le chapitre §5 une vision purement discrète pour la construction du modèle réduit où l’on considère le niveau de référence (schéma VF-TPFA) comme point de départ. La solution base réduite est alors proposée comme une approximation de Ritz-Galerkine de la solution de référence. Par la même occasion nous montrons que cette vision n’altère en rien l’analyse a priori et l’estimation a posteriori de l’erreur de projection. Enfin, dans la dernière partie, l’accent est mis sur le développement d’une procédure hors ligne–en ligne utilisant la technologie DEIM (Discrete Empirical Interpolation Method ).

(19)

Chapitre 2

Simulation d’´

ecoulement

diphasique en milieu poreux

Sommaire

2.1 Mod`ele d’´etude. . . 9

2.1.1 Syst`eme d’´equations . . . 10

2.1.2 Deux param´etrisations . . . 12

2.2 Schéma de référence. . . 15

2.2.1 Discr´etisation en temps . . . 16

2.2.2 Discr´etisation en espace . . . 17

2.3 Exemples de r´esultats . . . 20

2.3.1 E↵et de la perm´eabilit´e . . . 22

2.3.2 E↵et de la viscosit´e de l’eau . . . 24

2.4 Modèles et schémas plus élaborés. . . 25

2.4.1 Capillarit´e et compressibilit´e . . . 25

2.4.2 Volumes finis consistants et sym´etriques . . . 30

Nous présentons un modèle classique d’écoulement diphasique dans un milieu po-reux bidimensionnel, ainsi qu’un schéma classique pour l’approximation numérique de ce modèle. La simplicité délibérée du problème posé facilite l’implémentation et permet de se concentrer sur les aspects de bases réduites dans les chapitres suivants.

Nous décrivons d’abord, en §2.1, les équations du modèle ainsi que les di↵érentes pa-ramétrisations qui sont pertinentes en simulation de réservoir. Nous introduisons ensuite, en _§2.2, la discrétisation temporelle ainsi que la discrétisation spatiale obtenue par une méthode des volumes finis largement utilisée dans l’industrie pétrolière. En§2.3, nous mon-trons quelques résultats obtenus par ce schéma pour les deux paramétrisations définies. Ces résultats serviront de référence pour la méthode des bases réduites développée aux cha-pitres suivants. Enfin, en §2.4, nous exposons quelques modèles et schémas plus avancés auxquels les bases réduites pourraient être également appliquées.

2.1 Mod`

ele d’´

etude

(20)

Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux

Figure 2.1: Un milieu poreux bidimensionnel à l’échelle microscopique. 2.1.1 Système d’équations

Soit ⌦_{⇢ R}2 un ouvert borné connexe et régulier par morceaux représentant un milieu poreux, c’est-à-dire une roche solide dans laquelle il y a de l’espace disponible pour per-mettre à un fluide de circuler. L’espace disponible en question se présente sous la forme d’un réseau de canaux interconnectés, appelés pores, et est décrit au niveau macrosco-pique par une porosité _{2 L}1(⌦; [0, 1]) supposée connue. Celle-ci exprime, en chaque point x2 ⌦, le ratio local entre le volume de pores et le volume du solide. On suppose par la suite que ne dépend pas du temps t et que (x) > 0 pour tout x_{2 ⌦.}

Dans le fluide circulant à travers les pores, deux phases incompressibles et immiscibles sont en compétition. L’exemple typique de cette situation est un mélange eau-huile. Très grossièrement, l’⌧huile représente les hydrocarbures, alors que l’⌧eau est le liquide

qu’on injecte artificiellement pour pousser l’huile dans les procédés de récupération secon-daire. Dans ce cas, il est conventionnel d’adopter

• l’indice w (water) pour d´esigner les grandeurs physiques de la phase aqueuse ; • l’indice o (oil) pour d´esigner les grandeurs physiques de la phase hydrocarbure

liquide.

Ainsi, on a pour chaque phase ↵ 2 {w, o} une saturation s↵ et une vitesse de filtration

v↵. La saturation s↵ est la proportion d’occupation volumique par la phase ↵ au sein du

fluide, ce qui impose en particulier que s↵ 2 [0, 1]. En revanche, dans le cadre du mod`ele

consid´er´e, il n’y a qu’une seule pression p commune aux deux phases. On verra en §2.4.1

des mod`eles plus sophistiqu´es dans lesquels il y a une pression p↵ par phase.

Sur un intervalle temporel (0, T ), avec T > 0, le système considéré est régi par les équations intérieures

@ts↵+ div v↵= 0, dans ⌦⇥ (0, T ), (2.1a)

v↵= µ↵1kr↵(s↵)krp, dans ⌦⇥ (0, T ), (2.1b)

so+ sw = 1, dans ⌦⇥ (0, T ). (2.1c)

Cela fait 5 ´equations pour les 5 inconnues que sont les deux saturations s↵, les deux vitesses

v↵ et la pression p. Les deux premières équations, encapsulées en (2.1a) pour ↵2 {w, o},

(21)

2.1. Mod`ele d’´etude

Pour que le système (2.1) soit bien déterminé, on doit disposer des données suivantes — appelées propriétés pétrophysiques — en plus de la porosité :

• La perméabilité (absolue) k qui, à l’instar de la porosité , est une fonction connue de la position x, indépendante du temps t. De plus, il existe deux constantes km et

kM telles que

0 < km  k(x)  kM

pour tout x 2 ⌦. Physiquement, la perméabilité reflète la capacité de la roche à laisser passer un fluide. L’unité de mesure la plus courante pour la perméabilité est le darcy (D) ou le millidarcy (mD), avec 1 D = 9.869233_{⇥ 10} 13_m2_.

• Les deux perm´eabilit´es relatives kr↵, qui sont chacune une fonction croissante de la

saturation s↵ de la phase concernée. La relation entre la perméabilité relative et la

saturation dépend des propriétés d’interaction entre la roche et le fluide, telles que la mouillabilité. Un exemple typique est kr↵(s↵) = s↵ ou kr↵(s↵) = s2↵. On verra

en _§2.3 une loi plus complexe faisant intervenir la notion de saturation résiduelle. Les perméabilités relatives sont sans unité.

• Les deux viscosités dynamiques µ↵. La viscosité est une propriété relevant seulement

du fluide. Dans le cadre des mélanges immiscibles, il est fréquent de supposer que les viscosités sont des constantes strictement positives, indépendantes de t et de x. L’unité de mesure la plus courante pour la viscosité dynamique est le poise (P) ou le centipoise (cP), avec 1 P = 10 1kg_{· m} 1_{· s} 1 = 10 1Pa_{· s.}

Il est naturel de d´efinir la mobilit´e ↵ de la phase ↵2 {w, o} par ↵(s↵) = µ↵1kr↵(s↵),

de sorte que v↵ = ↵(s↵)krp. Ainsi, la mobilit´e ↵ est au signe pr`es le facteur de

proportionnalit´e entre le⌧flux k 1v_↵ et le gradient de pressionrp.

Aux ´equations int´erieures, il faut joindre les conditions aux limites et initiales

p = pD, sur D⇥ (0, T ), (2.2a)

rp · n = 0, sur N⇥ (0, T ), (2.2b)

sw= 1, sirp · n < 0 sur D⇥ (0, T ), (2.2c)

sw(·, t = 0) = s0w, dans ⌦, (2.2d)

où n désigne la normale unitaire sortante de @⌦, pD et s0w sont des données du problème,

et

D[ N= @⌦, D\ N=;

est une décomposition Dirichlet-Neumann imposée sur le bord @⌦. Pour éviter les problèmes d’indétermination en p liés à l’absence éventuelle de la partie Dirichlet (2.2a), on suppose toujours que D est de mesure non-nulle sur @⌦.

Afin de simplifier la résolution du modèle (2.1)–(2.2), il est commode de procéder à un changement de notations et de variables [Chavent and Ja↵ré,1986]. En sommant les équations de conservation (2.1a) sur ↵, en introduisant la vitesse totale

v = vw+ vo,

en invoquant (2.1c) et en posant s = sw, on peut reformuler le mod`ele (2.1)–(2.2) en

v = (s)k_rp, dans ⌦_{⇥ (0, T ),} (2.3a)

div v = 0, dans ⌦_{⇥ (0, T ),} (2.3b)

(22)

pour les équations intérieures, où les fonctions auxiliaires (s) = w(s) + o(1 s), f (s) = w

(s) (s)

correspondent respectivement à la mobilité totale et au flux fractionnaire de la phase aqueuse. Pour les lois simples de perméabilité relative de type kr↵(s↵) = sm↵, avec m 1,

le flux fractionnaire f (s) = µ 1 w sm µw1sm+ µo1(1 s)m = s m sm_{+ (µ} w/µo)(1 s)m

est une fonction croissante en s 2 [0, 1] qui ne dépend que du rapport des viscosités. Sa courbe sur [0, 1] est convexe-concave, en forme de S. L’équation de transport (2.3c) `

a vitesse v (ayant une divergence nulle) donnée est alors appelée l’équation de Buckley-Leverett [Buckley and Leverett,1942].

Aux ´equations int´erieures (2.3), on associe les conditions aux limites et initiales

p = pD, sur D⇥ (0, T ), (2.4a)

rp · n = 0, sur N⇥ (0, T ), (2.4b)

s = 1, si _{rp · n < 0 sur} D⇥ (0, T ), (2.4c)

s(·, t = 0) = s0, dans ⌦, (2.4d)

qui proviennent de (2.2). Dorénavant, nous travaillons exclusivement avec le système (2.3)–(2.4), qui est notre problème modèle. Celui-ci est constitué d’une équation elliptique linéaire (à s fixé)

div( (s)krp) = 0, (2.5a)

obtenue en combinant (2.3a) et (2.3b), et d’une équation hyperbolique non-linéaire (à v fixé, avec div v = 0)

@ts + div(f (s)v) = 0, (2.5b)

le couplage entre les deux équations étant moins fort que dans la forme initiale (2.1). C’est d’ailleurs sur cette décomposition elliptique-hyperbolique que reposera notre stratégie de bases réduites (cf. _§5 et_§6).

Historiquement, il s’agit du premier modèle diphasique en milieu poreux à avoir été simulé numériquement, parGlimm et al.[1981]. Du point de vue théorique, on peut établir l’existence d’une solution faible (en un sens propre à chaque auteur) et sous des hypothèses convenables sur les données (dont les détails varient également selon les auteurs) [Alt and Di Benedetto, 1985], [Kroener and Luckhaus, 1984], [Arbogast, 1992]. La question de l’unicité a également re¸cu une réponse positive sous certaines conditions formulées dans

Kruˇzkov and Sukorjanski˘ı[1977],Antontsev et al.[1990],Chen [2001]. 2.1.2 Deux param´etrisations

Pour un même domaine (⌦, D, N) et les mêmes conditions (pD, s0), les ingénieurs

de réservoir sont amenés à résoudre (2.3)–(2.4) pour un grand nombre de propriétés ( , k, kr↵, µ↵). Cela est dû au fait que celles-ci ne sont pas très bien connues. Une

(23)

2.1. Mod`ele d’´etude

cette chaˆıne est piloté par des outils d’analyse d’incertitude et d’optimisation, dans le but ultime d’identifier un modèle de réservoir prédictif.

Dans ce mémoire, nous nous intéressons avant tout à l’influence séparée de deux pro-priétés que sont la perméabilité k et la viscosité de l’eau µw. Leurs variations s’e↵ectuent

au moyen de deux règles de paramétrisation que nous allons décrire. Plus rarement, nous nous intéresserons à l’influence de la condition de Dirichlet pD en tant que paramètre.

Perm´eabilit´e

La première paramétrisation porte sur la perméabilité k. Cette grandeur étant une fonction de la position x, on parle plutôt de carte de perméabilité. D’emblée, la question se pose de savoir modifier ces cartes, qui renferment un grand nombre de degrés de liberté, en agissant seulement sur un petit nombre de paramètres. Pour cela, diverses techniques ont été développées au cours des dernières décennies. Au premier rang d’entre elles apparaˆıt celle des points pilotes initialement con¸cue parde Marsily [1984] et appliquée à l’identifi-cation d’un champ de perméabilité parRama Rao et al.[1995] etLavenue and de Marsily

[2001].

Soit k[ une carte de perméabilité de départ. La méthode des points pilotes permet de

perturber k_[en modifiant sa valeur en certains points Xi, 1 i  P, appel´es points pilotes,

puis en propageant ces perturbations `a tout le domaine ⌦. Les valeurs

⇠i:= k(Xi) (2.6)

imposées aux points pilotes sont considérées comme des paramètres, qu’on regroupe dans un vecteur ⇠ = (⇠1, . . . , ⇠i)2 RP. La propagation des perturbations aux points pilotes aux

autres points du domaine se fait par krigeage [Chilès and Delfiner,1999], une technique d’estimation linéaire en géostatistique. Concrètement, on applique la formule

k(x, ⇠) = k_[(x) + P X j=1 C(x, Xj)j(⇠), (2.7) dans laquelle : • L’application C : ⌦ ⇥ ⌦ ! R⇤

+ est une fonction de covariance, fix´ee une fois pour

toutes par l’utilisateur indépendamment de ⇠. Physiquement, C(x, y) représente la corrélation E(ZxZy) entre les variables aléatoires Zx et Zy ayant la même loi

et toutes les deux de moyenne nulle et d’écart-type non nul. Par un argument de stationnarité en espace, C(x, y) ne dépend que d’une certaine distance_{kx yk, la} norme _{k · k n’étant pas nécessairement euclidienne. Dans les simulations IFPEN,} on choisit traditionnellement une covariance exponentielle ou gaussienne sphérique. La première covariance

C(x, y) = exp( ⇣_kx y_k), ⇣ > 0, (2.8a) est associ´ee `a une norme

kx y_{k = kH(x} y)_k2, (2.8b)

qui est l’application de la norme euclidienne k · k2 `a l’image de x y par une

(24)

Les coefficients (⇣, ⇤1, ⇤2, ✓) r´esultent d’un savoir-faire en g´eologie et en sismique

3-D. Elles peuvent éventuellement dépendre de l’espace. Pour notre étude, nous supposerons ces coefficients constants.

• Les coefficients j(⇠) sont ajust´es de mani`ere que k(Xi, ⇠) = ⇠i pour tout i 2

{1, . . . , P}. Autrement dit, le vecteur (⇠) = (1(⇠), . . . , P(⇠))T est solution du

syst`eme lin´eaire P_{⇥ P}

C(⇠) = ⇠ ⇠[ (2.9)

où la matrice C a pour éléments Cij= C(Xi, Xj) et ⇠[= (k[(X1), . . . , k[(XP))T

re-groupe les perméabilités de départ aux points pilotes. Comme C est une covariance, la matrice C est définie positive et le système ci-dessus est inversible.

Si chaque composante ⇠i, 1 i  P, parcourt tout l’intervalle autoris´e [km, kM], alors

l’ensemble parcouru par le param`etre vectoriel ⇠ sera

⌅ = [km, kM]P. (2.10)

On verra plus tard comment discr´etiser cet ensemble dans les simulations.

(a) ⇠1= 10 mD en X1 (b) ⇠1= 1 D en X1

Figure 2.2: Exemple d’application de la m´ethode des points pilotes pour ⇣ = 3, ⇤1 =

100 m, ⇤2= 200 m, ✓ = ⇡/4.

Un exemple d’application de cette procédure est illustré sur la Figure2.2. Le domaine ⌦ est rectangle de dimensions 365.76 m_{⇥ 670.56 m. Une première carte k}_[ ayant été générée, on considère P = 1 point pilote situé à X1 = (33.528, 56.388) m. La figure montre les

modifications induites lorsqu’une nouvelle valeur ⇠1 = 10 mD (gauche) ou `a ⇠1 = 1 D

(droite) est impos´ee en ce point. Cette valeur a une influence sur la pression et la saturation au cours du temps. En particulier, en augmentant ⇠1= k(X1), on cr´ee un chenal, favorisant

(25)

2.2. Schéma de référence

Viscosit´e de l’eau

La deuxième paramétrisation porte sur la viscosité de l’eau µw. Cette grandeur étant

un scalaire, le vecteur param`etre n’a qu’une seule composante ⇠2 R, avec

⇠ := µw. (2.11)

Si les valeurs admissibles pour µw sont restreintes `a l’intervalle [µm, µM], alors

l’en-semble parcouru par le param`etre ⇠ sera ´egalement

⌅ = [µm, µM], (2.12)

qu’il convient de discr´etiser dans les simulations. `

A vrai dire, la viscosité de l’eau n’est pas une propriété qu’on ajuste au cours d’un processus de calibration, car on connaˆıt bien la viscosité du liquide qu’on injecte dans le réservoir. Mais cette paramétrisation permet d’envisager de nouveaux scénarios de produc-tion, dans lesquels on modifie par exemple la composition des fluides injectés ou ajoute des polymères à l’eau dans l’espoir d’améliorer l’efficacité de balayage [Sa↵man and Taylor,

1958]. En e↵et, une augmentation de µw entraˆıne une diminution de la mobilit´e w de

l’eau. Une eau moins mobile empêche la formation de digitations visqueuses [Lenormand et al.,1988, Noetinger et al., 2004], lesquelles contournent l’huile restante et provoquent des percées anticipées indésirables dans les puits, comme l’illustre la Figure2.3.

Une digitation visqueuse (en anglais, viscous fingering) correspond à une instabilité dans la solution du système (2.3)–(2.4). Une analyse mathématique [Chavent and Ja↵ré,

1986] montre que cette instabilité a lieu en réalité lorsque le contraste de viscosité µo/µw

— parfois abusivement appelé contraste de⌧mobilité — dépasse un seuil critique.

Figure 2.3: E↵et du rapport de viscosit´es cOughanem [2013].

2.2 Sch´

ema de r´

ef´

erence

Le schéma numérique que nous érigeons en référence, en vue d’une approximation supplémentaire par les bases réduites, est la combinaison d’une discrétisation en temps partiellement implicite (IMPIMS) et d’une discrétisation en espace par la méthode de vo-lumes finis (VF) avec un flux à deux points (TPFA). Même s’ils ne s’interprètent pas comme une approximation variationnelle — et de ce fait n’entrent pas dans le cadre⌧idéal de

(26)

2.2.1 Discr´etisation en temps

Soit_{tn_{}, 0  n  N, une suite finie croissante de r´eels positifs telle que}

0 = t0< t1 < . . . < tN = T. `

A chaque instant tn, on cherche à calculer des champs (sn, pn, vn) pour approcher les fonctions exactes (s(·, tn_{), p(}_{·, t}n_{), v(}_{·, t}n_{)) de x} _{2 ⌦. Mettant provisoirement de côté les}

conditions de bord (2.4), on avance en temps le syst`eme (2.3) par

vn+1= (sn)k_rpn+1, (2.13a)

div vn+1= 0, (2.13b)

sn+1 sn

tn + div(f (s

n+1_)vn+1_{) = 0,} _(2.13c)

o`u tn_{= t}n+1 _tn_{est le pas de temps permettant de passer de l’instant n `}_{a l’instant n+1.}

La résolution de système (2.13) peut être découplée en trois étapes, que nous détaillons ci-dessous en réincorporant les équations (2.4).

1. Connaissant sn_{, r´esoudre le probl`eme elliptique}

div( (sn)k_rpn+1) = 0, dans ⌦, (2.14a)

pn+1= pD, sur D, (2.14b)

rpn+1_{· n = 0,} _sur

N, (2.14c)

pour obtenir pn+1_.

2. Connaissant pn+1, reconstruire la vitesse

vn+1= (sn)k_rpn+1. (2.15)

3. Connaissant vn+1_{, r´esoudre l’´equation de transport}

sn+1 _sn

tn + div(f (s

n+1_)vn+1_{) = 0,} _{dans ⌦,} _(2.16a)

sn+1= 1, si_rpn+1_{· n < 0 sur} D, (2.16b)

pour obtenir sn+1_.

La semi-discrétisation (2.13) est appelée IMPIMS (pour IMplicit Pressure, IMplicit Saturation) dans la littérature [Farkas,1998]. Le caractère implicite de la saturation n’in-tervient que dans son transport (2.13c) et permet de s’a↵ranchir de toute condition de stabilité de type CFL. Néanmoins, le prix à payer pour pouvoir prendre tn grand est la di↵usion numérique sur s. À titre de comparaison, on peut examiner la semi-discrétisation IMPES (pour IMplicit Pressure, Explicit Saturation) qui s’écrit [Coats,2000]

vn+1= (sn)k_rpn+1, (2.17a)

div vn+1= 0, (2.17b)

sn+1 sn

tn + div(f (s

n_)vn+1_{) = 0.} _(2.17c)

(27)

2.2. Schéma de référence

2.2.2 Discr´etisation en espace Maillage et notations

La plupart des simulateurs industriels utilisent une méthode de volumes finis (VF) pour la discrétisation en espace. Pour décrire une telle méthode, il nous faut au préalable formaliser la notion de maillage au sens VF. À cette fin, nous nous appuyons partiellement sur la Définition 3.1 de Eymard et al.[2000].

D´efinition 2.1. Soit ⌦ ⇢ R2 _{un domaine ouvert born´e polygonal. Un maillage de ⌦ au}

sens VF est la donn´ee d’un couple (_M,_F) o`u :

• M est une famille finie non-vide de polygones ouverts et disjoints de ⌦, appel´es mailles ou cellules, telle que

⌦ = [

K2M K.

• F est une famille finie non-vide de segments ouverts et disjoints de ⌦, appelés faces ou arêtes, telle que pour tout K2M, il existe _FK⇢F vérifiant

@K = K_{\ K =} [

2FK

.

Cela revient `a dire que _FK ={ 2F| ⇢ @K}. De plus,

F = [

K2M FK.

• Pour tout (K, L) 2M2_{avec K} _{6= L, soit K\L est de 1-mesure nulle, soit K\L =}

pour un certain 2F. Dans ce dernier cas, on note = K|L.

Le centre de la maille K est not´e xK. Son aire est not´ee|K|. La longueur de la face

est not´ee_{| |. Pour toute face} ₂_FK contenue dans le bord @K, on d´efinit la distance

dK, = dist(xK, ) = min

y2 ky xKk,

ainsi que la normale unitaire nK, sur la face et sortante de K.

Dans chaque maille K ₂_M, les propriétés ( , k) sont considérées comme constantes et prennent les valeurs ( K, kK). On y définit aussi les inconnues (snK, pnK), qui sont vues

comme la moyenne de (sn_{, p}n_{) sur K.}

R´esolution du probl`eme en pression

En int´egrant (2.14a) sur une maille K 2M, on a Z

K

div( (sn)k_rpn+1) = 0. En vertu de la formule de Green-Ostrogradski, on obtient

I

@K

(28)

où nK désigne la normale unitaire sortante de K. En décomposant le bord @K en faces,

il vient que X 2FK Z (sn)krpn+1_{· n} K, = 0. (2.18)

L’équation (2.18) est le bilan de flux vérifié par la solution exacte sur chaque maille K. Pour construire un schéma numérique, l’idée est de stipuler une version discrète de (2.18)

sous la forme _X

2FK

FK, = 0, (2.19)

dans laquelle les flux sortants num´eriques FK, sont `a proposer en fonction des pn+1 dans

les mailles proches de K et . Ces flux sortants numériques sont soumis à la condition de conservativité locale

= K|L =) FK, + FL, = 0, (2.20)

qui est manifestement vraie au niveau continu (2.18). Ils doivent aussi naturellement ap-procher au mieux les valeurs exactes qui apparaissent au premier-membre de (2.18).

Le flux ⌧`a deux points (TPFA, pour Two-Point Flux Approximation) que nous

avons retenu correspond au choix

FK, = 8 > < > : ⌧n(pn+1_K pn+1_L ) si = K|L, ⌧n_(pn+1 K pn+1D, ) si ⇢ D\ @K, 0 si ⇢ N\ @K, (2.21)

où la quantité ⌧n_{, appelée transmissivité, vaut}

⌧n=_{{ k}} | |

d , (2.22)

avec :

• si est une face int´erieure, i.e., = K_{|L, alors}

{ k} = { (s n K)kK} { (snL)kL} d { (sn K)kK} dL, +{ (snL)kL} dK, , (2.23a) d = dK, + dL, , (2.23b)

• si est une face de bord Dirichlet, i.e., _⇢ D\ @K, alors

{ k} = (snK)kK, (2.24a)

d = dK, . (2.24b)

D’après les formules (2.21)–(2.23), le flux numérique à travers une face intérieure = K_|L ne dépend que des quantités localisées aux mailles de part et d’autre de cette face, d’où le nom de l’approximation.

Il est notoirement recommandé de prendre la moyenne harmonique pondérée (2.23a) des coefficients de di↵usion { k} = (sn_{)k de part et d’autre d’une face intérieure afin}

de garantir une meilleure précision [Eymard et al.,2000], [Droniou,2014]. Au chapitre§5, nous serons cependant amenés à considérer une autre transmissivité, à savoir

⌧n= nk | |

(29)

2.2. Schéma de référence avec n₌ (snK) + (snL) 2 , (2.26a) k = kKkLd kKdL, + kLdK, , (2.26b) d = dK, + dL, , (2.26c)

pour toute face intérieure = K_{|L. Cette transmissivité alternative fait intervenir le} pro-duit d’une moyenne arithmétique ndes mobilités et d’une moyenne harmonique pondérée k des perméabilités. Elle est destinée à faciliter la procédure d’interpolation empirique en §5.2.1, lorsque la viscosité est prise comme paramètre.

Remarque 2.1. Le flux num´erique (2.21) est consistant avec R (sn)k_rpn+1_{· n}K,

si et seulement si pour tout = K_{|L, la droite joignant x}K et xL est orthogonale `a

(cf. Figure 2.4), auquel cas d = kxL xKk. Nous n’avons cependant pas requis cette

condition d’orthogonalité dans la Définition2.1, car en pratique elle n’est jamais satisfaite par les maillages réalistes. Malgré sa réputation de non-consistance, le flux TPFA demeure populaire par sa simplicité dans les codes ⌧industriels , en particulier ceux d’IFPEN.

Figure 2.4: Condition d’orthogonalit´e pour la consistance du flux TPFA.

Soit _N = |M| le nombre de cellules du maillage. Après assemblage de toutes les équations (2.19), on arrive à un système linéaire

Anpn+1= bn+1, (2.27)

dans lequel An est une matrice _N _⇥_N symétrique définie positive (grâce à l’hypothèse | D| > 0 déjà évoquée), pn+1 2 RN est un vecteur encapsulant toutes les valeurs de la

pression dans les mailles, et bn+1 2 RN est un vecteur contenant des informations sur la donnée de Dirichlet pn+1_D . Chacun peut alors appliquer sa méthode favorite de résolution de systèmes linéaires.

R´esolution du probl`eme en saturation

Une fois la pression pn+1 _{obtenue, on ne reconstruit pas compl`etement la vitesse}

comme affirm´e en (2.15). En fait, on se contente de calculer les flux num´eriques FK,

(30)

Une fois les flux normaux FK, connus, on met `a jour la saturation sn+1par l’´equation

de transport (2.16). En int´egrant (2.16) sur une maille K 2M, on obtient Z

K

sn+1 _sn

tn + div(f (s

n+1_)vn+1_{) = 0.}

En invoquant le théorème de Green-Ostrogradski et en décomposant l’intégrale sur le bord ferméH_@K en une somme d’intégrales sur les faces, on arrive à

Z K sn+1 _sn tn + X 2FK Z f (sn+1)vn+1_{· n}K, = 0.

Cela sugg`ere la discr´etisation |K| K sn+1_K sn_K tn + X 2FK f (sn+1)FK, = 0, (2.28) avec :

• si est une face int´erieure, i.e., = K|L, alors

f (sn+1)FK, = f (sn+1_K )F_K,+ + f (sn+1_L )F_K, ; (2.29)

• si est une face de bord Dirichlet, i.e., ⇢ D\ @K, alors

f (sn+1)FK, = f (sn+1_K )F_K,+ + f (1)F_K, . (2.30)

Les formules (2.29)–(2.30) expriment le décentrement amont de f (sn+1) en fonction du sens de l’écoulement indiqué par le signe de FK, . Elles emploient les notations

u+= max(u, 0) et u = min(u, 0)

pour la partie positive et la partie n´egative d’un nombre u_{2 R.}

Après assemblage de toutes les équations (2.28), chacune ayant été prémultipliée par tn/|K| K, on aboutit à un système de la forme

sn+1+ tnf(sn+1) = sn

où sn+1_{2 R}N _{est un vecteur regroupant toutes les valeurs de la saturation dans les mailles} et f une fonction a priori non-linéaire. Un tel système se résout numériquement à l’aide de la méthode de Newton [Whittaker and Robinson,1967], dont la convergence peut être ralentie voire incertaine pour des pas de temps tn trop grands.

2.3 Exemples de r´

esultats

(31)

2.3. Exemples de r´esultats

Nous utilisons à cette occasion les lois de perméabilités relatives de Brooks and Corey

[1964], qui s’´enoncent comme

krw(s) = ⇡[0,1] ✓ s sm sM sm ◆ 2 , (2.31a) kro(s) = ⇡[0,1] ✓ sM s sM sm ◆ 2 , (2.31b)

où 0_{ s}m < sM  1 sont deux seuils fixés. La quantité sw,i := sm est appelée saturation

irréductible d’eau, tandis que so,r := 1 sM est appelée saturation résiduelle d’huile.

L’op´erateur ⇡_[0,1] repr´esente la projection sur l’intervalle [0, 1]. Autrement dit,

⇡[0,1](u) = 8 > < > : 0 si u < 0, u si u2 [0, 1], 1 si u > 1.

Par rapport aux lois de type kr↵(s↵) = s2↵ mentionn´ees en §2.1, les nouvelles lois (2.31)

esquissées sur la Figure 2.5sont semblables à deux opérations près : une renormalisation de s_{2 [s}m, sM] pour se ramener à une saturation e↵ective et une troncature des kr↵ pour

rester dans l’intervalle [0, 1].

Figure 2.5: Modèle de perméabilités relatives de Brooks-Corey.

Comme l’´ebauche la Figure 2.6, le domaine est un rectangle ⌦ = [0, Lx]⇥ [0, Ly]. Sur

les deux bords⌧lat´eraux

N={0} ⇥ [0, Ly][ {Lx} ⇥ [0, Ly],

on impose la condition de Neumann homog`ene (nullit´e des flux). Sur les deux bords⌧

fron-taux

D= [0, Lx]⇥ {0} [ [0, Lx]⇥ {Ly},

on impose la condition de Dirichlet avec une pression pinplus grande en⌧bas que celle

pout en ⌧haut . Ce gradient de pression provoque un ´ecoulement de y = 0 vers y = Ly,

et l’on injecte de l’eau s = 1 `a l’entr´ee.

(32)

en a _Nx en x, Ny en y, soit N = Nx⇥Ny au total. Ci-dessous nous donnons quelques

valeurs de param`etres avant d’examiner les r´esultats :

Lx= 365.76 m Nx = 60, sm= 0.2,

Ly = 670.56 m Ny = 220, sM = 0.8,

sachant que la donn´ee initiale en saturation est uniforme, avec s0(_{·) = s}m = 0.2.

Figure 2.6: Domaine et bords de calcul (pin> pout).

2.3.1 E↵et de la perm´eabilit´e

Le champ de perméabilité est paramétré selon la procédure (2.6)–(2.9) de _§2.1.2, avec P = 1 point pilote situé en X1 = (33.528, 55.388) m et

⇣ = 3, ⇤1 = 100 m, km= 10 mD,

✓ = ⇡/4, ⇤2 = 200 m, kM = 1 D.

Les autres donn´ees sont

T = 5 000 jours, µw = 1 cP, pin= 25 PSI,

(·) ⌘ 0.2, µo= 100 cP, pout= 1 PSI,

le PSI étant unité de pression anglaise (1 PSI = 6894.75 Pa). Le pas de temps est uniforme et égal à

t = 50 jours.

Les Figures2.7et2.8affichent les profils s(·, T ) et p(·, T ) de saturation et de pression au temps final pour deux valeurs du param`etre

⇠1 = k(X1)2 {km, kM} = {10 mD, 1 D}.

Ces deux valeurs correspondent aux bornes de l’intervalle [km, kM] autoris´e pour ⇠1. Sur

la saturation (Figure 2.7), même s’il y a de légères di↵érences dans le front qui se pro-page, il semble que la vitesse ⌧globale n’ait pas été trop a↵ectée par le changement de

perméabilité. Une explication de cela tient à ce que la carte de perméabilité k n’a été nota-blement modifiée qu’au voisinage du point pilote X1, ce qui n’a perturbé que localement

(33)

2.3. Exemples de r´esultats

(a) 10 mD au point X1 (b) 1000 mD au point X1

Figure 2.7: Profils de saturation d’eau s(_{·, T ) au temps final pour les deux valeurs} extrêmes de perméabilité k(X1) imposées au point pilote.

(a) 10 mD au point X1 (b) 1000 mD au point X1

(34)

2.3.2 E↵et de la viscosit´e de l’eau

La viscosité de l’eau µw est paramétrée selon (2.11)–(2.12) en§2.1.2, avec

µm = 1 cP, µM = 100 cP.

Les autres donn´ees sont

T = 10 000 jours, k(·) = SPE10, pin= 2000 PSI,

(_{·) = SPE10,} µo= 100 cP, pout= 500 PSI,

où SPE10 désigne le jeu de données mis au point par Christie and Blunt [2001] dans le cadre d’un projet de comparaison des méthodes d’upscaling1. Signalons que les adaptations suivantes ont été nécessaires :

• Les donn´ees SPE10 remplissent une grille 3-D de 60 ⇥ 220 ⇥ 85 mailles. Nous nous contentons de la couche 85 pour avoir une carte 2-D.

• La perm´eabilit´e dans SPE10 est un champ de tenseur. Nous en extrayons la com-posante diagonale dans la direction x pour avoir un champ scalaire.

• Les porosités inférieures à 10 5 _{sont tronquées `}_{a cette dernière valeur.}

Le pas de temps est uniforme et ´egale `a

t = 50 jours.

(a) Perméabilité (b) Porosité avec seuil Figure 2.9: Données de la couche 85 du cas SPE10.

La Figure 2.9 représente les cartes 2-D de perméabilité k (gauche) et de porosité (droite) ainsi obtenues. On y voit de fortes variations spatiales pour les deux grandeurs. Les Figures 2.10 et2.11 affichent les profils s(_{·, T ) et p(·, T ) de saturation et de pression} au temps final pour deux valeurs du paramètre

⇠ = µw 2 {µm, µM} = {1 cP, 100 cP}.

(35)

2.4. Modèles et schémas plus élaborés

Ces deux valeurs correspondent aux bornes de l’intervalle [µm, µM] autoris´e pour ⇠. Ici,

`

a l’inverse de ce qui se passe avec la perméabilité en §2.3.1, la sensibilité des résultats vis-à-vis des variations du paramètre de viscosité est flagrante. Comme l’on pouvait s’y attendre (cf. Figure2.3de§2.1.2), un contraste de viscosité défavorable (µo/µw 1) rend

l’´ecoulement instable en faisant surgir de nombreux ⌧doigts visqueux (Figure 2.10a).

Lorsque µw tend vers µo, le front de d´eplacement se stabilise (Figure2.10b).

Les digitations visqueuses sont extrêmement délicates à simuler avec précision. En e↵et, s’agissant d’instabilités intrinsèques au modèle, on ne sait pas si ce qu’on obtient est bien la solution mathématique ou du bruit numérique amplifié justement par le caractère instable du modèle. De nombreuses études ont été consacrées (voir Koval [1963], Fayers [1988] pour le cas miscible Black-Oil etBarker and Fayers[1994],Rubin et al.[1993] pour le cas miscible compositionnel). Plus récemment, l’emploi des méthodes de Galerkine Discontinu d’ordres élevés par Li and Rivière [2016] a permis d’obtenir des solutions suffisamment précises y compris sur maillage non-structuré.

2.4 Mod`

eles et sch´

emas plus ´

elabor´

es

Le modèle diphasique de _§2.1.1et le schéma VF de _§2.2.2s’inscrivent chacun au sein d’une famille bien plus étendue. Sans prétendre à l’exhaustivité, nous allons donner un aper¸cu de leurs richesses afin de mieux situer le problème qui nous préoccupe. Outre l’aspect ⌧culturel , la connaissance de ce catalogue de modèles et de schémas permet

aussi d’entrevoir des perspectives à notre travail. 2.4.1 Capillarité et compressibilité

Dans cette partie, nous nous focaliserons sur les équations intérieures des modèles. Le lecteur intéressé par les conditions aux limites associées peut consulter les ouvrages de référence [Chavent and Ja↵ré,1986], [Chen et al.,2006].

Incompressible

Le modèle (2.1) n’est qu’un cas très spécial du véritable modèle Dead Oil isotherme, qui s’écrit

@ts↵+ div v↵ = 0, (2.32a)

v↵ = µ↵1kr↵(s↵)K(rp↵ ⇢↵g), (2.32b)

so+ sw = 1, (2.32c)

po pw = pc(sw). (2.32d)

On voit apparaˆıtre de nouveaux termes destin´es `a rendre compte de nouveaux e↵ets phy-siques :

• La perméabilité est maintenant un tenseur K au lieu d’un scalaire k, ce qui permet de modéliser l’anisotropie du milieu. Le vecteur par lequel ce tenseur K est multiplié dans la loi de Darcy-Muskat (2.32b) voit non seulement le gradient de pression mais aussi la gravité ⇢↵g, où ⇢↵ est la densité de la phase (supposée constante uniforme

car on est toujours en incompressible) et g le vecteur de pesanteur.

• Il y a maintenant deux pressions po et pw, une pour chaque phase, ce qui est

(36)

(a) µw= 1 cP et µo= 100 cP (b) µw= µo= 100 cP

Figure 2.10: Profils de la saturation d’eau s(_{·, T ) au temps final sur la couche 85 du cas} SPE10 pour deux valeurs de la viscosit´e d’eau µw.

(a) µw= 1 cP et µo= 100 cP (b) µw= µo= 100 cP

(37)

2.4. Modèles et schémas plus élaborés

appel´e pression capillaire et est donn´e par une fonction empirique pcde la saturation

d’eau sw. La pression capillaire pcest toujours d´ecroissante par rapport `a sw(Figure

2.12). Elle peut être très raide, avoir des asymptotes verticales pour s_{2 {0, 1} ou} {sm, sM}, voire y devenir multi-valuée [Cancès and Pierre,2012], ce qui ne manque

pas de poser des probl`emes de robustesse pour le calcul num´erique.

Figure 2.12: Pression capillaire pc en fonction de la saturation d’eau sw.

Comme avant, on peut d´efinir les mobilit´es phasiques

↵(s↵) = µ↵1kr↵(s↵)

et la mobilit´e totale

(sw) = w(sw) + o(1 sw).

Comme avant, il est possible de⌧desserrer un peu le couplage entre s_↵et p_↵en

transfor-mant les équations (2.32) en un système qui ressemble à (2.3). Pour cela, il faut introduire les variables globales que sont la vitesse totale

v = vw+ vo,

et la pression globale fictive p = pw+ po 2 + Z s s⇤ o(1 &) w(&) 2 (&) p 0 c(&) d&, (2.33)

définie pour une saturation de référence s⇤ convenable. Grâce à elles, le modèle (2.32) devient [Chavent and Ja↵ré,1986]

v = (s)K(rp ⇢(s)g), (2.34a)

div v = 0, (2.34b)

@ts + div(f (s)v) = div(Kr}(s)) + div

h (⇢o ⇢w) w (s) o(1 s) (s) Kg i , (2.34c) o`u s = sw est la saturation de l’eau,