HAL Id: hal-01850011
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Submitted on 26 Jul 2018
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Etude numérique des écoulements inertiels en milieux poreux
Mehrez Agnaou, Didier Lasseux, Azita Ahmadi-Sénichault
To cite this version:
Mehrez Agnaou, Didier Lasseux, Azita Ahmadi-Sénichault. Etude numérique des écoulements iner- tiels en milieux poreux. 21ème CONGRÉS FRANÇAIS DE MÉCANIQUE - CFM2013, Aug 2013, Bordeaux, France. �hal-01850011�
Etude numérique des écoulements inertiels en milieux poreux
Mehrez AGNAOU, Azita AHMADI, Didier LASSEUX
Arts et Métiers ParisTech – Laboratoire I2M-TREFLE UMR CNRS 5295 Esplanade des Arts et Métiers 33405 Talence
Contact : didier.lasseux@ensam.eu
𝛁 𝑝#∗ # = 𝐞'
𝛁 𝑝#∗ #= 𝐞'
𝛁 𝑝#∗ #
0 0.2 0.4 0.6
0 2 4 6 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8
θ=45°
𝛁 𝑝#∗ # = 𝐞'
𝑦∗
𝑥∗ 0
0.2 0.4 0.6
0 2 4 6 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8
𝛁 𝑝#∗ #
Phase fluide β
Phase solide σ
θ=45°
θ=45° 0
0.05 0.1 0.15 0.2
0 2 4 6 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8
Problématique Méthodologie
Conclusions et perspectives
Influence de la microstructure 2D et de l’orientation du 𝛁 𝑝 # ∗ # sur 𝐟 +
Influence du désordre sur 𝐟 +
Influence de la microstructure 3D et de l’orientation de 𝛁 𝑝 # ∗ # sur 𝐟 +
𝑦∗
𝑥∗
𝑅𝑒. 𝑅𝑒.
Phase solide σ
Phase solide σ
𝛁 𝑝#∗ #
θ=45°
𝑅𝑒. 𝑅𝑒.
𝐞' 𝐞'
𝛁 𝑝#∗ #
𝑅𝑒. 𝑅𝑒.
• 2 structures ordonnées
périodiques de ε=75%.
• 2 orientations du 𝛁 𝑝#∗ #.
• 𝑅𝑒.∈[0, 8.3]
équivalent à 𝑅𝑒∗∈[0, 6000].
Le but de ce travail est d’étudier la correction à la loi de Darcy pour un écoulement inertiel dans un milieu poreux. Dans diverses situations rencontrées en industrie comme les écoulements dans les colonnes de réacteurs, les nombres de Reynolds sont assez importants pour conduire à une relation non-linéaire entre la vitesse de filtration et le gradient de pression. Dans ce travail, une analyse numérique de la correction non linéaire -inertielle- à la loi de Darcy est réalisée pour l’écoulement stationnaire inertiel d’un fluide Newtonien monophasique incompressible dans des structures 2D et 3D.
L’équation de Darcy-Forchheimer classique basée sur l’introduction empirique d'un coefficient de résistance inertielle dans le terme de correction (quadratique en vitesse) à la loi de Darcy a été précisée à l'aide d'une dérivation formelle théorique conduisant à un modèle général plus complet [1], les propriétés effectives qui apparaissent dans ce modèle macroscopique obtenu par changement d'échelle opéré sur les équations de Navier-Stokes à l’échelle du pore sont déterminées à partir du champ de l’écoulement microscopique et de la résolution de problèmes de fermeture.
• (1) est bien identifié.
• (3) n’est pas bien identifié (la correction de Forchheimer est une approximation).
• 𝐟+ dépend de la
microstructure et de l’orientation du
𝛁 𝑝#∗ #.
• n=10 réalisations de structures faiblement désordonnées (FD) comme sur [2] de ε=75%.
• 𝑅𝑒.∈[0, 7.2] équivalent à 𝑅𝑒∗∈[0, 7000] et 𝛁 𝑝#∗ # = 𝐞'.
• (1) est bien identifié.
• (3) est identifié sur les structures FD.
• Le désordre intensifie les effets inertiels.
• La forme des grains n’a pas une grande influence sur 𝐟+ dans des structures
désordonnées.
• 2 structures ordonnées de cubes et de sphères de ε=75%.
• 2 orientations du 𝛁 𝑝#∗ #.
• 𝑅𝑒.∈[0, 9.8] équivalent à 𝑅𝑒∗∈[0, 4000]. • (1) est bien identifié.
• (3) n’est pas bien identifié sauf pour la structure ordonnée de cubes pour θ=0°.
• 𝐟+ dépend de la
microstructure 3D et de l’orientation du
𝛁 𝑝#∗ #.
• Le régime à faible inertie est toujours bien identifié malgré sa dépendance par rapport à la microstructure et à l’orientation du 𝛁 𝑝#∗ #.
• Le régime à forte inertie est une approximation qui dépend fortement de la microstructure et de l’orientation du 𝛁 𝑝#∗ #.
• L’intensité des effets d’inertie dépend aussi fortement de la microstructure et de l’orientation du 𝛁 𝑝#∗ #.
• Le désordre dans les structures poreuses intensifie l’inertie.
• Le comportement de la correction inertielle doit être analysé sur des structures poreuses 3D désordonnées plus réalistes.
0 1 Red
~100
loi de Darcy (relation linéaire entre 𝑣# et
𝛁 𝑝# #)
loi de Darcy + correction inertielle (relation non-linéaire entre 𝑣3 et 𝛁 𝑝# #)
régime visqueux (écoulement
rampant)
régime d’inertie faible
(écoulement laminaire)
régime d’inertie forte
(écoulement laminaire)
régime au-dessus d’inertie forte
(écoulement laminaire)
régime turbulent
correction ∝ 𝑣3 4 correction ∝ 𝑣3 5
Problèmes de fermeture
(Whitaker, 1996)
( )
.
. p .
0 µ r
b
b b
b
b
b
b -
= - Ñ -
Ñ =
v K v
v
F g
.
c
*b
*b
= -F v
f v
* 2 * * * *
*
*
*
( . )
. on A
p p Re
0,
b
b b b b
b
b
b bs
-Ñ + Ñ = Ñ + Ñ
Ñ = =
v v v
v v 0
!
Rek = v*b k Re* *
*
2
l3 p Re r
µ
b
b b
b
= Ñ
* 2 * * * *
* *
.
. on
Re
A
b bs
-Ñ + Ñ + =
Ñ = =
m M I v M
M 0, M 0
* * *
* * 1 *
, .
Re 0 Re 0
-
=
- ¹
K = M
F = K M I,
*
vb
θ=45°
θ=0°
θ=45°
θ=0°
θ=0°
θ=0°
θ=45°
θ=45°
(1) (2)
(1)
(3)
(1) : Régime d'inertie faible 𝑓+' ∝ 𝑅𝑒.5 (2) : Régime de transition 𝑅𝑒.+
(3) : Régime d'inertie forte 𝑓+' ∝ 𝑅𝑒. (4) : Régime au-dessus de l'inertie forte
(3) (4)
(1)
(3)
θ=0°
θ=0°
FD moy(n=10) FD moy(n=10)
θ=0°
θ=0°
θ=45°
θ=45°
θ=0°
θ=0°
θ=45°
θ=45°
(1)
(3)
[1] S. Whitaker, The Forchheimer equation: A theoretical development, Transp. Porous Media 25(1), 27-61, DOI:
10.1007/BF00141261 (1996).
[2] D. Lasseux, A. A. Abbasian Arani, A. Ahmadi, On the stationary macroscopic inertial effects for one phase flow in ordered and disordered porous media, Phys. of Fluids 23(7), 073103, DOI: 10.1063/1.3615514 (2011).
Références
FD moy(n=10)
FD moy(n=10)
θ=0°
θ=0°
