4.3 R´esultats num´eriques
4.3.2 Contrˆ ole en norme d’´energie
Au regard des mauvais r´esultats obtenus en norme L2-pression, on d´ecide d’´etudier num´eriquement la pertinence d’un contrˆole en norme d’´energie. Cependant les r´esultats th´eoriques obtenus en§4.2.4ont montr´e que l’estimation de l’erreur vN(⇠) vN(⇠) N, ⇠ par (4.76) ´etait extrˆemement couteuse, principalement due `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire de dimensionN⇥N pour le calcul de la norme duale du r´esidu, rendant impossible son utilisation en pratique. N´eanmoins une alternative est possible. Elle consiste `a contrˆoler l’erreur vN(⇠) vN(⇠) N, ⇠⇤ pour une valeur ⇠⇤ fix´ee du param`etre. D`es lors de fa¸con similaire au test en norme L2, on introduit les erreurs
eN,max= max ⇠2⌅app vN(⇠) vN(⇠) N, ⇠⇤, N,max= max ⇠2⌅app N(⇠),
o`u N(⇠) est l’estimation a posteriori de l’erreur vN(⇠) vN(⇠) N, ⇠⇤.
On pr´esente sur la Figure4.6l’´evolution de ces erreurs en fonction de N. Dans les deux cas (exacte et estim´ee), on constate conform´ement aux r´esultats th´eoriques (Proposition
4.3) une d´ecroissance monotone de l’erreur exacte vN(⇠) vN(⇠)
N, ⇠⇤, contrairement `a ce qui se passe pour la norme L2(cf. Figure4.4). Ensuite, nous remarquons que l’estimateur
N(⇠) suit globalement mieux l’´evolution de l’erreur exacte.
On d´efinit ´egalement les indices d’efficacit´e maximal et moyen ⌘maxN , ⌘moyN qui sont les homologues de (4.83) mais en norme d’´energie et qui sont repr´esent´es sur la Figure4.7. On voit que le facteur de surestimation varie entre 10 et 1000 selon la param´etrisation. Cet ordre de grandeur pour l’indice d’efficacit´e redevient tout `a fait⌧acceptable , mˆeme s’il est encore loin de pouvoir pr´etendre `a une qualit´e suffisamment ⌧pr´ecise pour la borne fournie.
Afin de consolider ces observations et de pouvoir ´emettre un avis ⌧d´efinitif sur la pertinence ou non du choix de la norme pour le contrˆole de l’erreur, nous allons consid´erer une troisi`eme param´etrisation dans laquelle le param`etre est la pression d’entr´ee pin telle
4.3. R´esultats num´eriques 1 20 40 60 80 100 10 5 10 3 10 1 101 N eN,max N,max
(a) Param´etrisation de la viscosit´e de l’eau.
1 20 40 60 80 100 10 5 10 3 10 1 101 N eN,max N,max
(b) Param´etrisation du champ de perm´eabilit´e. Figure 4.6: ´Evolution du maximum de l’erreur en norme d’´energie (exacte et estim´ee) entre l’approximation RB et la solution de r´ef´erence en fonction de la dimension N de la base r´eduite. 1 20 40 60 80 100 102 103 N ⌘N max ⌘N moy
(a) Param´etrisation de la viscosit´e de l’eau.
1 20 40 60 80 100 0 200 400 600 800 1,000 1,200 N ⌘N max ⌘N moy
(b) Param´etrisation du champ de perm´eabilit´e. Figure 4.7: ´Evolution de l’indice d’efficacit´e maximum ⌘maxN et moyen ⌘moyN au cours des it´erations de l’algorithme glouton.
Chapitre 4. Premiers essais pour l’´equation en pression via la formulation mixte
que d´efinie `a la Figure 2.6. Cette pression est suppos´ee varier entre 500 et 2000 PSI. Les autres donn´ees du mod`ele sont
T = 5 000 jours, k(·) = SPE10, µw= 1 cP, (·) = SPE10, µo= 100 cP, pout= 500 PSI.
La convergence de l’algorithme glouton en norme L2-pression et ´energie est d´etaill´ee sur la Figure4.8. Plus exactement, on pr´esente le comportement de l’erreur exacte ainsi que son estimation a posteriori associ´ee. On y observe une meilleure estimation de l’erreur pour les deux normes (en comparaison des Figures 4.4et4.6). Cependant l’estimation L2 reste encore trop grossi`ere pour pourvoir ˆetre employ´ee comme certification de l’erreur.
1 20 40 60 80 100 102 104 106 108 1010 1012 N eN,max N,max
(a) Contrˆole en norme L2-pression.
1 20 40 60 80 100 10 5 10 3 10 1 101 103 N eN,max N,max
(b) Contrˆole en norme d’´energie. Figure 4.8: ´Evolution de l’erreur de projection (exacte et estim´ee) pour la param´etrisation de la pression d’entr´ee pin.
4.4 R´ecapitulatif
Tout comme le cadre id´eal du chapitre§3, celui que nous avons bˆati via la formulation mixte dans ce chapitre — sous l’hypoth`ese d’une r´egularit´e rectangulaire du maillage — contient aussi trois niveaux d’espaces imbriqu´es. `A la di↵´erence du cadre id´eal, le lien entre le niveau continu et le niveau de r´ef´erence s’est ici ⌧distendu , en raison de la condensation de masse qui a eu pour e↵et de remplacer la forme ˘a au niveau continu par la forme ˘aN aux niveaux discrets. On a ainsi perdu l’avantage de pouvoir induire la norme d’´energie du continu |||·|||2⇠ = ˘a(·, ·; ⇠) sur les sous-espaces. La norme d’´energie qui apparaˆıt naturellement alors est|||·|||2N, ⇠ = ˘aN(·, ·; ⇠), qui est d´efinie directement au niveau de r´ef´erence.
Entre le niveau de r´ef´erence et le niveau base r´eduite, il n’y a aucun ⌧crime varia-tionnel `a d´eplorer, dans la mesure o`u les mˆemes formes bilin´eaires ˘aN et ˘b interviennent aux deux niveaux. C’est justement cela qui facilite l’analyse d’erreur. Pour cette tˆache, le cadre primal auquel nous nous sommes ramen´es et qui est sp´ecifique `a la m´ethode consid´er´ee r´eutilise certes les d´eveloppements th´eoriques du chapitre §3, mais seulement ceux concernant le passage du niveau de r´ef´erence vers le niveau base r´eduite. Cette obser-vation sugg`ere que c’est finalement la transition entre les deux niveaux discrets qui compte le plus. En poussant `a bout le raisonnement, puisqu’on n’en a pas r´eellement besoin, on
4.4. R´ecapitulatif
peut ⌧oublier le niveau continu dans la conception et l’analyse d’une m´ethode de base r´eduite !
Deux autres facteurs contribuent `a plaider en faveur de l’abandon du lien, d´ej`a t´enu et imparfait, entre le niveau continu et le niveau de r´ef´erence. Le premier est qu’il n’est en g´en´eral pas possible d’interpr´eter un sch´ema de r´ef´erence donn´e comme l’approxima-tion varial’approxima-tionnelle d’un probl`eme continu, fˆut-ce avec quadrature num´erique. Le sch´ema VF-TPFA en maillage quelconque en est un exemple. Ceux pr´esent´es en §2.4.2 aussi. Le second facteur est que, mˆeme lorsque cette interpr´etation existe, la norme fonctionnelle impos´ee par le cadre continu n’est pas forc´ement la plus pertinente pour mesurer l’erreur et ´elaborer les estimateurs. En t´emoignent les⌧mauvais r´esultats num´eriques que nous avons constat´es avec la norme L2 en pression dans ce chapitre.
Chapitre 5
R´eduction de l’´equation en
pression via une approche discr`ete
directe
Sommaire
5.1 A la recherche d’une approche plus directe` . . . 96