6.3.1 M´ethode RB-POD . . . 138
6.3.2 R´esultats num´eriques . . . 142 Dans ce chapitre, on s’int´eresse enfin `a la r´eduction du calcul de la collection en temps de pressions, solutions de (2.14) pour plusieurs valeurs du param`etre. Rappelons que ce probl`eme avait ´et´e identifi´e comme un des objectifs de la th`ese afin de mettre `a l’´epreuve la m´ethode des bases r´eduites dans notre contexte applicatif.
Au vu des r´esultats des chapitres §4 et §5, on d´ecide de s’int´eresser uniquement `a la r´eduction du calcul d’une collection discr`ete en temps de pressions (discr`etes en espace) consid´er´ees comme r´ef´erence. Dans ce cadre et `a la lumi`ere des ´el´ements soulev´es en§6.1, on envisage deux traitements de la variable temporelle. On ´ecarte ici toute question relative `
a l’impl´ementation efficace, l’id´ee ´etant surtout de mettre en ´evidence la r´eductibilit´e du probl`eme.
Le premier traitement, qui fait l’objet de§6.2, consiste `a voir l’instant discret tncomme param`etre suppl´ementaire au mˆeme titre que ⇠. En consid´erant le param`etre augment´e (⇠, tn), on peut appliquer une approche RB grˆace aux outils d´evelopp´es aux chapitres pr´ec´edents. `A titre de comparaison, on examine aussi une approche POD.
Le second traitement, plus sophistiqu´e, tente en§6.3de combiner une approche de type glouton pour la d´ependance param´etrique avec une m´ethode POD pour le temps. Par ce moyen, la structure temporelle de la collection des pressions pourra ˆetre mieux exploit´ee.
Chapitre 6. R´eduction de la collection en temps des probl`emes en pression
6.1 Position du probl`eme
Puisque le sch´ema IMPIMS n’implique pas de condition de stabilit´e, il n’y a aucune restriction sur le pas de temps. Il est alors loisible de consid´erer une suite d’instants discrets tn, n2 {1, . . . , N}, fix´es `a l’avance et auxquels la pression sera calcul´ee. Le plus simple est de choisir un pas de temps constant
t = T N,
o`u T est la dur´ee de la simulation, ce qui d´etermine les instants tn= n t. Ainsi, `a chaque it´eration n! n + 1 en temps avec n 2 {0, N 1}, la solution de r´ef´erence pN,n+1(⇠) est calcul´ee avec le sch´ema VF-TPFA d´ecrit en§2.2.2. Comme nous l’avons vu en§5.1.1, celui-ci s’interpr`ete ⌧variationnellement au niveau discret comme : pour chaque param`etre ⇠ 2 ⌅, chercher pN,n+1(⇠)2 QN tel que
aN,n(pN,n+1(⇠), q; ⇠) = bN,n+1(q; ⇠), 8q 2 QN, (6.1) o`u les formes bilin´eaire et lin´eaire
aN,n(p, q; ⇠) = X 2F =K|L ⌧n(⇠)(pK pL)(qK qL) + X 2F ⇢ D\@K ⌧n(⇠) pKqK, (6.2a) bN,n+1(q; ⇠) = X 2F ⇢ D\@K ⌧n(⇠) pn+1D, qK, (6.2b)
sont d´efinies pour (p, q)2 QN ⇥ QN. Nous allons proc´eder `a un changement de notations par souci d’all´eger les formules et aussi pour pr´eparer la vision du temps comme param`etre suppl´ementaire en§6.2. Dans tout le reste de ce chapitre, nous ´ecrirons
a(p, q; ⌧n(⇠)) au lieu de aN,n(p, q; ⇠), b(q; pn+1D , ⌧n(⇠)) au lieu de bN,n+1(q; ⇠),
pour souligner le fait que les d´ependances param´etrique et temporelle des formes (6.2) se font `a travers le champ des transmissivit´es et la condition aux limites, tout en sachant pertinemment que a et b n’ont un sens qu’au niveau discret. Le probl`eme de r´ef´erence (6.1) devient alors
a(pN,n+1(⇠), q; ⌧n(⇠)) = b(q; pn+1D , ⌧n(⇠)), 8q 2 QN, (6.3) Soit QN,n+1 un sous-espace vectoriel de QN, de dimension Nn+1 ⌧ N. L’approxi-mation RB de la solution de r´ef´erence est d´efinie par : chercher pN,n+1(⇠) 2 QN,n+1 tel que
a(pN,n+1(⇠), q; ⌧n(⇠)) = b(q; pn+1D , ⌧n(⇠)), 8q 2 QN,n+1. (6.4) Au moins deux nouveaut´es surviennent ici, en comparaison du chapitre§5o`u on s’int´eres-sait `a la r´eduction des pressions param´etr´ees `a un seul instant.
• D’une part, on peut se poser la question de la d´ependance en temps de l’espace des pressions r´eduites : peut-on n’utiliser qu’un seul et mˆeme sous-espace r´eduit QN,n+1 = QN, ce qui implique Nn+1 = N, pour une dur´ee de simulation T qui soit de taille raisonnable ? Si tel n’est pas le cas, comment pourrait-on faire ´evoluer QN,n+1 de mani`ere ⌧intelligente au cours des it´erations en temps ?
6.1. Position du probl`eme
• D’autre part, comment se propage en temps l’erreur de r´eduction kpN,n+1(⇠) pN,n+1(⇠)kN pour une norme k · kN donn´ee sur QN? Rappelons en e↵et que le calcul d’une collection (discr`ete) de pressions est un probl`eme d’´evolution au sens o`u chaque champ de pression pn+1(·; ⇠) est fonction des champs de pression pr´ec´edents pl(·; ⇠), l 2 {1, . . . , n}, qui plus est nonlin´eaire via l’´evolution des saturations s influant sur les coefficients de mobilit´e (s) dans l’´equation de pression.
Or, les r´esolutions en pression et saturation se d´ecouplent `a chaque pas de temps dans le sch´ema IMPIMS, ce qui permet de d´ecoupler aussi les deux nouveaut´es. Ici, pour commencer, on ne consid`ere que le premier des deux points ci-dessus. On ´etudie donc en fait la r´eduction d’une version lin´earis´ee du probl`eme o`u l’on suppose les saturations connues — donc, les mobilit´es — afin d’´evaluer d’abord le seul potentiel d’une r´eduction des pressions `a plusieurs instants en utilisant un seul espace r´eduit QN,n+1 = QN et en exploitant uniquement leur r´egularit´e vis-`a-vis des variations exactes de la saturation `a chaque instant.
Dans la suite, pour une application r´eellement utile en pratique, il faudra aussi tenir compte de la connaissance inexacte de la saturation — donc, des coefficients de mobilit´e dans l’´equation de Darcy — `a chaque pas de temps. A priori, cela ne devrait pas diminuer le potentiel d’une r´eduction des pressions avec un seul espace. Mais la taille de cet espace pourrait n´eanmoins croˆıtre beaucoup plus vite, dans la mesure o`u les erreurs de r´eduction qui se propagent en temps pourraient induire des variations beaucoup plus importantes des saturations `a chaque instant. Une nouvelle ´evaluation num´erique de la m´ethode dans un contexte pratique sera donc n´ecessaire.
Quoi qu’il en soit, d`es qu’un sous-espace QN,n+1 est `a disposition, avec une base or-thonorm´ee{'n
I}, 1 I Nn+1, la m´ethodologie d´evelopp´ee au chapitre§5est enti`erement applicable. Les coefficients de la d´ecomposition
pN,n+1(⇠) =
N
X
J=1
pN,n+1J (⇠)'n+1J (6.5)
´etant encapsul´es dans le vecteur
pN,n+1(⇠) = 0 B B B B @ pN,n+11 pN,n+12 .. . pN,n+1Nn+1 1 C C C C A(⇠)2 R Nn+1 ,
on a la r´esultat suivant qui n’est autre que la transposition de la Proposition5.3. Proposition 6.1. Le vecteur pN,n+1(⇠) est solution du syst`eme lin´eaire Nn+1⇥ Nn+1
AN,n(⇠) pN,n+1(⇠) = bN,n+1(⇠), (6.6)
o`u la matrice r´eduite AN,n(⇠) et le vecteur second-membre bN,n+1(⇠) ont pour ´el´ements
AN,nIJ (⇠) = a('J, 'I; ⌧n(⇠)), (6.7a) bN,n+1I (⇠) = b('I; pn+1D , ⌧n(⇠)), (6.7b)
Chapitre 6. R´eduction de la collection en temps des probl`emes en pression
De mani`ere analogue `a (5.34), il est possible de d´efinir, pour chaque valeur du param`etre ⇠ 2 ⌅ et chaque instant discret tn, 1 n N, le r´esidu associ´e `a la solution RB pN,n+1(⇠) comme la forme lin´eaire qui, `a tout q 2 QN, associe
Res[pN,n+1](q; ⇠) = a(pN,n+1(⇠), q; ⌧n(⇠)) b(q; pn+1D , ⌧n(⇠)). (6.8) L`a encore, on a ´ecrit Res `a la place de ResN,n+1 ou ResQN pour abr´eger. En sp´ecifiant q = 1K, on obtient le d´efaut de conservation sur la maille K. Sik · kN est la norme choisie sur QN, alors la norme duale du r´esidu est d´efinie par
kRes[pN,n+1](·; ⇠)kQN0 = sup
q2QN\{0}
Res[pN,n+1](q; ⇠)
kqkN . (6.9)
En pratique, on emploie la norme d’´energie associ´ee `a un instant n⇤2 {0, . . . , N 1} et `a un param`etre ⇠⇤ 2 ⌅ fix´es a priori, dont le carr´e vaut
|||q|||2N, n⇤, ⇠⇤ = a(q, q; ⌧n⇤(⇠⇤)).
Dans ce cas, la norme duale (6.9) est ´egalement not´ee Res[pN,n+1](·; ⇠) N, n⇤, ⇠⇤. Un rai-sonnement similaire `a celui men´e au chapitre §5 fournit une estimation a posteriori de l’erreur d’approximation pour chaque it´eration n! n + 1 en temps.
Proposition 6.2. Pour tout ⇠2 ⌅ et tout 0 n N 1, on a l’estimation
pN,n+1(⇠) pN,n+1(⇠) N, n⇤, ⇠⇤ N,n+1(⇠), (6.10) avec
N,n+1(⇠) = Res[p
N,n+1](·; ⇠) N, n⇤, ⇠⇤
↵N, n(⇠) , (6.11)
o`u la constante de coercivit´e ↵N, n(⇠) est d´efinie par
↵N, n(⇠) = inf
q2QN\{0}
a(q, q; ⌧n(⇠)) |||q|||2N, n⇤, ⇠⇤
. (6.12)
L’estimateur d’erreur N,n+1(⇠) nous sera extrˆemement utile pour la construction de l’espace d’approximation QN,n+1 `a chaque pas de temps 0 n N 1, comme ce fut le cas au chapitre §5. Reste `a d´efinir le mode de construction de l’espace QN,n+1 `a chaque pas de temps. Dans les sections suivantes, nous nous attellerons `a cette tˆache.
6.2 Construction d’un espace r´eduit avec le temps comme
param`etre additionnel
Une premi`ere approche consiste `a construire QN,n+1 ⌘ QN identique `a tous les pas de temps n! n + 1, 0 n N 1, en consid´erant le param`etre augment´e
e
⇠ := (⇠, tn)2 ⌅ ⇥ {t0, . . . , tN 1} =: e⌅,
et en r´e´ecrivant le syst`eme (6.1) pour ce param`etre. On cherche alors `a obtenir une r´eduction du probl`eme de r´ef´erence
6.2. Construction d’un espace r´eduit avec le temps comme param`etre additionnel
o`u
e⌧(e⇠) := ⌧n(⇠), e
pN(e⇠) := pN,n+1(⇠).
Le temps discret joue ainsi le mˆeme rˆole que la viscosit´e de l’eau ou la valeur de la perm´eabilit´e impos´ee au point pilote. Deux mod`eles r´eduits⌧standards sont alors pos-sibles : l’approche RB ou l’approche POD.
6.2.1 Approche RB
En s’appuyant sur les d´eveloppements de§5.1.3, on construit la base r´eduite au moyen d’un algorithme glouton. Celui-ci pr´esume la connaissance
• d’une borne sup´erieure eN(e⇠) telle que
e
pN(e⇠)[e⇠1, . . . , e⇠N] peN(e⇠)
N, n⇤, ⇠⇤ eN(e⇠)[e⇠1, . . . , e⇠N] pour tout e⇠2 ⌅ et `a (e⇠1, . . . , e⇠N) connus. Ici, cette borne n’est autre que
eN(e⇠) = N,n+1(⇠)
introduite en (6.11).
• d’un sous-ensemble d’apprentissage e⌅app ⇢ e⌅ de cardinal fini qui remplace l’espace des param`etres e⌅. Ici, ce sous-ensemble d’apprentissage est pris comme
e
⌅app = ⌅app⇥ ⌅Tapp
o`u ⌅Tapp ⇢ {t0, . . . , tN 1} est un sous-ensemble fini d’apprentissage en temps. L’algorithme glouton faible construit une suite incr´ementale de param`etres augment´es qui ajoute un ´el´ement `a la fois `a la base, celui qui r´ealise la pire erreur selon l’estimateur. Autrement dit, e ⇠N+1 = arg max e ⇠2e⌅app eN(e⇠)[e⇠1, . . . , e⇠N], (6.14a) QN+1 = QN R epN(e⇠N+1)[e⇠1, . . . , e⇠N]. (6.14b) Le proc´ed´e se poursuit jusqu’`a atteindre une tol´erance "tol sur l’estimateur ou un nombre d’it´eration maximal Nmax, comme cela est r´esum´e dans l’Algorithme6.1.
6.2.2 R´esultats num´eriques
Nous allons pr´esent d´ecrire les r´esultats obtenus via ce proc´ed´e pour la param´etrisation de la viscosit´e de l’eau ainsi que du champ de perm´eabilit´e tel que d´efini au chapitre §2. Nous rappelons que l’ensemble ⌅app est compos´e de 100 valeurs uniform´ement choisies entre 1 et 100 cP pour la viscosit´e de l’eau et entre 10 et 1000 mD pour la perm´eabilit´e. Pour la variable temporelle, on consid`ere 10 it´erations en temps uniform´ement r´eparties sur [0, T ]. Ainsi l’espace discret des param`etres ⌅app⇥⌅T
app, `a partir de laquelle la base r´eduite sera construire au moyen de l’algorithme glouton, est — pour les deux param´etrisation ´etudi´ees — de dimension 1000.
Les r´esultats contenus dans la Figure6.1montrent l’´evolution du maximum de l’erreur d’approximation au cours des it´erations de l’algorithme glouton ainsi que l’influence sur
Chapitre 6. R´eduction de la collection en temps des probl`emes en pression
Algorithm 6.1 Algorithme glouton pour la param´etrisation e⇠ = (⇠, n)
1: procedure QN= Greedy(Nmax, "tol, e⌅app)
2: N = 1, N = "tol+ 1
3: Choisir e⇠1 2 e⌅app et poser e⌅N ={e⇠1}
4: D´efinir QN=R ep(e⇠1)
5: while N> "tol et N < Nmax do
6: Calculer N+1= max
e ⇠2e⌅app
eN(e⇠)
7: Chercher e⇠N+1= arg max
e ⇠2e⌅app
eN(e⇠)
8: Calculer peN(e⇠N+1) et 'N+1 par orthonormalisation de epN(e⇠N+1)
9: QN+1 QN R 'N+1
10: ⌅eN+1 e⌅N[ {e⇠N+1}
11: N N + 1
12: end while
13: end procedure
cette ´evolution du choix fait pour les param`etres n⇤, ⇠⇤ afin de d´efinir la norme. Cette possibilit´e provient de la libert´e o↵erte pour fixer une valeur a priori aux param`etres ⇠⇤et n⇤. On observe alors que ce choix n’a pas d’impact sur la vitesse de convergence de l’erreur, ce qui est attendu puisque toutes ces normes sont ´equivalentes. On remarque ´egalement une r´eduction de l’erreur de deux ordres de grandeur au cours des 50 premi`eres it´erations de l’algorithme.
1 10 20 30 40 50 10 1
100
101
Dimension de la base r´eduite
⇠⇤= 1 , n⇤= 1 ⇠⇤= 100, n⇤= 1 ⇠⇤= 1 , n⇤= 200 ⇠⇤= 100, n⇤= 200
(a) Test sur la viscosit´e de l’eau.
1 10 20 30 40 50 10 1
100
Dimension de la base r´eduite
⇠⇤= 10 , n⇤= 1 ⇠⇤= 1 000, n⇤= 1 ⇠⇤= 10 , n⇤= 100 ⇠⇤= 1 000, n⇤= 100
(b) Test sur le champ de perm´eabilit´e. Figure 6.1: Influence du choix de la norme sur la convergence de l’algorithme RB `a param`etre augment´e.
Sur la Figure 6.2a, on reporte la convergence du proc´ed´e au cours des it´eration de l’algorithme glouton. On y trace simultan´ement l’´evolution de l’erreur exacte ainsi que l’´evolution de la norme duale du r´esidu associ´ee `a la solution RB peN(e⇠) (utilis´e pour piloter la construction de la base) en norme `1 sur l’espace (discret) des param`etres. On rappelle que cette norme correspond `a la mesure de l’erreur employ´ee par l’Algorithme
6.1. Pour fixer la norme, on choisit lors de ces simulations ⇠⇤ = 100 cP et n⇤= 1 pour les tests sur la viscosit´e en eau. Dans le cas de la param´etrisation du champ de perm´eabilit´e, on impose ⇠⇤= 1 D, n⇤ = 1. Les r´esultats montrent que la s´election de 50 ´el´ements parmi
6.2. Construction d’un espace r´eduit avec le temps comme param`etre additionnel
1 10 20 30 40 50 10 1
100
101
Dimension de la base r´eduite
E rr eu r en n or m e ` 1 (e⌅ ap p ) Erreur exacte Norme duale du r´esidu
(a) ´Evolution de l’erreur d’approximation (exacte et estim´ee).
1 20 40 60 80 100 0.1 0.4 0.7 1 ·104 Viscosit´e de l’eau [cP] T em p s [j ou r]
(b) S´election des jeux de param`etre e⇠N via l’erreur exacte. 1 20 40 60 80 100 0.1 0.4 0.7 1 ·104 Viscosit´e de l’eau [cP] T em p s [j ou r]
(c) S´election des jeux de param`etre e⇠N via la norme du r´esidu.
Figure 6.2: Construction de l’espace r´eduit en temps pour le test de la viscosit´e en eau via l’algorithme RB avec param`etre augment´e.
Chapitre 6. R´eduction de la collection en temps des probl`emes en pression 1 10 20 30 40 50 10 2 10 1 100 101
Dimension de la base r´eduite
E rr eu r en n or m e ` 1(e⌅ ap p ) Erreur exacte Norme duale du r´esidu
(a) ´Evolution de l’erreur d’approximation (exacte et estim´ee).
10 200 400 600 800 1,000 500 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 Perm´eabilit´e [mD] T em p s [j ou r]
(b) S´election des jeux de param`etre e⇠Nvia l’erreur exacte. 10 200 400 600 800 1,000 500 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 Perm´eabilit´e [mD] T em p s [j ou r]
(c) S´election des jeux de param`etre e⇠N via la norme du r´esidu.
Figure 6.3: Construction de l’espace r´eduit en temps pour le test du champ de perm´eabilit´e via l’algorithme RB avec param`etre augment´e.
6.2. Construction d’un espace r´eduit avec le temps comme param`etre additionnel
un ensemble de 1000 valeurs permet un contrˆole de l’erreur au centi`eme. On constate une d´ecroissance exponentielle de l’erreur, mˆeme si la convergence est beaucoup plus lente par rapport au cas stationnaire en raison de la param´etrisation complexe due `a la d´ependance temporelle.
Le recours `a la norme duale du r´esidu en lieu et place de la borne (6.11) est justifi´e par le coˆut prohibitif de la constante de coercivit´e ↵N,n(⇠). Par cons´equent, la proc´edure de construction de la base n’est plus certifi´ee, comme on peut l’observer sur la Figure 6.2a. Cependant, on remarque une ´evolution quasi-identique entre l’erreur exacte et cette norme duale du r´esidu. Le mˆeme comportement est not´e pour la param´etrisation du champ de perm´eabilit´e (voir Figure 6.3a).
Sur les Figures 6.2b–6.2c et6.3b, la r´epartition des param`etres s´electionn´es `a chaque it´eration par l’Algorithme6.1est pr´esent´ee. Le rayon du cercle d´epeint sur ces Figures est d´efini de la fa¸con suivante : plus un param`etre est s´electionn´e tardivement par le proc´ed´e, plus important sera le rayon du cercle associ´e. Pour le test de la viscosit´e en eau, nous observons qu’au cours des premi`eres it´erations (l`a o`u la d´ecroissance de l’erreur est la plus marqu´ee), l’algorithme a tendance `a s´electionner les param`etres extrˆemes de l’espace discret e⌅app.
Dans cette premi`ere approche, nous avons voulu tester la r´eductibilit´e du probl`eme en pression. Ceci est confirm´ee par les r´esultats num´eriques. Bien qu’utile pour tester et valider le potentiel de r´eduction du probl`eme, cette m´ethode rencontre n´eanmoins quelques diffi-cult´es pour obtenir, efficacement, une bonne base. Tout d’abord, l’ensemble form´e par la variation temporelle et param´etrique des solutions peut ˆetre complexe et, par cons´equent, une base de grande dimension peut ˆetre n´ecessaire. En outre, une quantit´e importante d’information est perdue tout au long de cette proc´edure. En e↵et, en pratique, pour ob-tenir l’´el´ement pN,nN(⇠N) (permettant de calculer la nouvelle fonction de base `a l’it´eration N), il faut calculer toute la trajectoire pN,n(⇠n), 1 n nN, pour ne garder finalement que le dernier ´el´ement.
6.2.3 Approche POD
Nous allons dans cette section comparer les performances de la m´ethode de r´eduction en temps `a l’aide de la technique RB pr´ec´edemment introduite avec une m´ethode historique pour la r´eduction de probl`eme en temps, `a savoir la POD. Ce sera ´egalement l’occasion pour nous d’introduire quelques ´el´ements qui nous seront utiles en §6.3, lorsque nous d´evelopperons une construction tenant compte plus finement des sp´ecificit´es du mod`ele.
Contrairement `a l’approche classique pour laquelle la base POD est d´etermin´ee via un probl`eme aux valeurs propres coˆuteux ou tout simplement impossible `a r´ealiser dans notre cas en raison de la grande dimension N, on se propose de calculer la base `a partir de la matrice de Gram des solutions qui est en pratique de plus faible dimension. Cette reformulation est quelques fois r´ef´erenc´ee sous le nom de la m´ethode des instantan´es, notamment en th´eorie du contrˆole.
Plus rigoureusement, soit e⌅app l’ensemble d’apprentissage d´efini `a la section §6.2.1. `
A partir de cet ensemble, on construit la matrice des instantann´es ou snapshots qu’on d´esigne par S. Cette matrice regroupe ainsi les solutions de r´ef´erences pN,n(⇠) pour toutes les valeurs du param`etre e⇠ contenues dans l’ensemble e⌅app. On consid`ere ensuite la matrice de corr´elation (ou matrice de Gram1 des solutions)
C = STGNS,
1. On rappelle que sous forme matricielle, la matrice de Gram du produit scalaire (·, ·)N, n⇤, ⇠⇤ associ´ee `
Chapitre 6. R´eduction de la collection en temps des probl`emes en pression
de dimension Card(e⌅app)⇥ Card(e⌅app), soit 1 000⇥ 1 000 pour l’ensemble de nos simula-tions. On r´esout ensuite le probl`eme aux valeurs propres
C I= I2 I, I = 1, . . . , Nmax, (6.15) afin de d´eterminer les di↵´erents vecteurs de base
'I= 1
I
S I I = 1, . . . , Nmax. (6.16)
6.2.4 R´esultats num´eriques
Dans l’optique d’une comparaison avec l’approche RB introduite `a la section pr´ec´edente, on choisit de ne calculer que les Nmax= 50 premiers modes POD 'I. De plus, `a la di↵´erence de l’approche POD ⌧standard , la construction de la base N, 1 N Nmax, est ef-fectu´ee de fa¸con it´erative : `a chaque it´eration N ! N + 1, on ajoute `a la base N d´ej`a construite le mode POD suivant donn´e par le vecteur 'N+1. Sur la Figure6.4, on pr´esente l’´evolution de l’erreur `2 sur e⌅app (norme pour laquelle la POD est optimale) en fonc-tion des it´erafonc-tions N et ce pour di↵´erents choix de la norme de l’´energie. On observe une d´ecroissance r´eguli`ere de cette erreur pour les deux param´etrisations.
Lorsque l’on consid`ere la norme `1 sur l’espace des param`etres, la convergence est beaucoup moins r´eguli`ere que dans le cas `2, avec en particulier une perte de la monotonie contrairement `a l’approche RB. Il est `a noter que ce comportement ´etait attendu puisque par d´efinition, la POD vise `a minimiser le carr´e de l’erreur moyenne de projection (donc l’erreur en norme `2sur e⌅app). Ainsi, ponctuellement de mauvaises approximations peuvent ˆetre autoris´ees avec la POD, comme l’illustre la Figure6.5.
6.3 Construction d’une base pour des trajectoires en temps
param´etr´ees
L’ensemble des pressions r´esultant de la variation temporelle et param´etrique des so-lutions est complexe et une quantit´e importante d’information semble perdue quand on met ces variations au mˆeme plan. On peut vouloir exploiter la structure particuli`ere de la collection des pressions mˆeme si on n’a pas d’´equation d’´evolution pour la d´ependance temporelle.
`
A cette fin, une m´ethode pour la construction d’une base r´eduite pour des trajectoires en temps est d´esormais classique pour les probl`emes paraboliques param´etr´es [Grepl,2005,
Grepl and Patera,2005]. Cette m´ethode consiste `a combiner une approche de type glouton pour la d´ependance param´etrique avec une m´ethode POD visant `a capturer la causalit´e temporelle. On se propose d’appliquer cette m´ethode `a notre probl`eme. La sous-section suivante a pour objet de d´etailler la construction de la base r´eduite via la m´ethode RB-POD `a notre cas particulier.
6.3.1 M´ethode RB-POD
L’id´ee majeure de cette m´ethodologie est de construire de mani`ere it´erative, `a l’aide d’un algorithme glouton similaire `a celui introduit parHaasdonk and Ohlberger[2008], un ensemble de param`etre ⌅` ={⇠1, . . . , ⇠`}, de dimension `, o`u ` repr´esente l’it´eration cou-rante de l’algorithme. `A chaque param`etre est associ´e un ensemble de pression pN,n+1(⇠`), 0 n N 1 (une trajectoire en temps). De cette trajectoire une r´eduction par POD est
6.3. Construction d’une base pour des trajectoires en temps param´etr´ees 1 10 20 30 40 50 10 2 10 1 100 101
Dimension de la base r´eduite
E rr eu r en n or m e ` 2(e⌅ ap p ) ⇠⇤= 1 , n⇤= 1 ⇠⇤= 100, n⇤= 1 ⇠⇤= 1 , n⇤= 200 ⇠⇤= 100, n⇤= 200
(a) Test de la viscosit´e de l’eau.
1 10 20 30 40 50 10 2
10 1
100
Dimension de la base r´eduite
E rr eu r en n or m e ` 2(e⌅ ap p ) ⇠⇤= 10 , n⇤= 1 ⇠⇤= 1000, n⇤= 1 ⇠⇤= 10 , n⇤= 100 ⇠⇤= 1000, n⇤= 100
(b) Test du champ de perm´eabilit´e. Figure 6.4: Convergence de l’algorithme POD `a param`etre augment´e dans la
⌧bonne norme param´etrique sur e⌅app. Influence du choix de la norme en espace.