Construction simultan´ee des bases RB et DEIM

5.3 R´ecapitulatif . . . 128 Tirant les enseignements (synth´etis´es en§4.4) de l’exp´erience avec la formulation mixte, on d´ecide de ⌧sauter le pas dans ce chapitre, o`u l’on prend comme point de d´epart le niveau de r´ef´erence pour concevoir une m´ethode de r´eduction pour le probl`eme en pression sur un maillage g´en´eral. La solution base r´eduite est en e↵et propos´ee comme une approximation de Ritz-Galerkine de la solution de r´ef´erence au moyen d’une forme bilin´eaire d´efinie directement au niveau discret. La rupture du lien variationnel avec le niveau continu n’a aucune incidence sur l’analyse a priori et l’estimation a posteriori de l’erreur entre la solution de r´ef´erence et la solution base r´eduite.

Contrairement au chapitre §4 o`u les questions d’efficacit´e ont ´et´e d´elib´erement mises de cˆot´e, on met l’accent ici sur la recherche d’une strat´egie hors ligne–en ligne alors mˆeme que le probl`eme n’admet pas de param´etrisation affine. Pour cela, on fait appel `a la tech-nique DEIM (Discrete Empirical Interpolation Method ), qu’on applique `a l’ensemble des transmissivit´es aux faces (pour le sch´ema de d´epart) ou `a celui des mobilit´es aux mailles (dans une variante du sch´ema). En vue d’une plus grande coh´erence et d’une meilleure efficacit´e de la m´ethode, on pr´econise l’unification des deux algorithmes glouton pour la partie RB et pour la partie DEIM en un seul.

Chapitre 5. R´eduction de l’´equation en pression via une approche discr`ete directe

5.1 A la recherche d’une approche plus directe^`

Nous caract´erisons en§5.1.1le sch´ema de r´ef´erence comme la solution d’un probl`eme de minimisation dont la fonctionnelle, quadratique et convexe, est li´ee au maillage. En restreignant la minimisation `a un sous-espace, nous obtenons en §5.1.2 la solution base r´eduite. L’impl´ementation de celle-ci s’appuie sur les outils standards que sont l’algorithme glouton et l’estimateur a posteriori, d´etaill´es en §5.1.3.

5.1.1 Cadre variationnel discret de r´ef´erence

Commen¸cons par une l´eg`ere r´e´ecriture — qui omet la d´ependance temporelle mais insiste sur la d´ependance param´etrique — du sch´ema VF-TPFA de r´ef´erence que nous avons d´ecrit en §2.2.2. Soit (M,F) un maillage du domaine polygonal ⌦ au sens de la D´efinition 2.1. Sur chaque maille K 2 M, les donn´ees param´etr´ees (·; ⇠), k(·; ⇠) ont les valeurs constantes _K(⇠), k_K(⇠).

D´esignons parN =|M| le nombre de cellules du maillage et par p^N(⇠) ={pK^N(⇠)}K2M

l’ensemble des degr´es de libert´e de la solution de r´ef´erence, qui est en l’occurrence constitu´e de valeurs constantes par cellules. Le bilan local (2.19) avec la formule (2.21) pour le flux num´erique F_K, permet de relier la pression d’une maille K 2 M fix´ee avec celles de ses voisines par X 2FK =K|L ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) p_L^N(⇠)) + X 2FK ⇢ D ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) p_D, ) = 0, (5.1)

o`u FK est l’ensemble des arˆetes de K. La premi`ere somme porte sur les arˆetes int´erieures, la seconde sur les ´eventuelles arˆetes de bord Dirichlet de @K. Les transmissivit´es ⌧ (⇠) sont d´efinies par (2.22), que nous retranscrivons en

⌧ (⇠) ={ k} (⇠)^{| |}_d . (5.2)

Si = _D\ @K est une arˆete de bord Dirichlet, alors { k} (⇠) et d sont donn´ees par (2.24), `a savoir

{ k} (⇠) = { k}K(⇠), (5.3a)

d = d_K, . (5.3b)

Si = K|L est une arˆete int´erieure, il y a deux possibilit´es :

• Dans le sch´ema VF-TPFA de d´epart, on prend la moyenne harmonique pond´er´ee des { k} de part et d’autre de l’arˆete comme le stipule (2.23), ce qui donne

{ k} (⇠) = ^{{ k}K(⇠){ k}L(⇠) d}

{ k}K(⇠) d_L, +{ k}L(⇠) d_K, ^{, (5.4a)}

d = d_K, + d_L, . (5.4b)

C’est cette version⌧historique du sch´ema qui admet une interpr´etation en termes d’´el´ements finis mixtesP0–RT0 condens´es lorsque le maillage est rectangulaire uni-forme, comme nous l’avons vu au chapitre §4.

5.1. `A la recherche d’une approche plus directe

• Dans une variante propre `a certaines circonstances, on prend le produit entre la moyenne harmonique pond´er´ee des k et la moyenne arithm´etique des comme l’indique (2.26), ce qui donne

{ k} (⇠) = ^{K(⇠) + L(⇠)}

2 · ^kKkLd

k_Kd_L, + k_Ld_K, ^{, (5.5a)}

d = d_K, + d_L, . (5.5b)

Cette version ⌧alternative n’est employ´ee que si le param`etre ⇠ est la viscosit´e de l’eau (cf.§2.1.2), ce qui a↵ecte la mobilit´e mais pas la perm´eabilit´e k.

La version utilis´ee du sch´ema VF-TPFA n’a aucune r´epercussion sur la mise au point de la m´ethode dans la premi`ere partie§5.1, o`u seules les transmissivit´es ⌧ (⇠) interviennent. C’est dans la seconde partie§5.2, quand on fera appel `a l’interpolation empirique, que la version du sch´ema exercera une influence.

Soit

Q^N =RM

l’espace vectoriel des fonctions deMdansR. Un ´el´ement g´en´erique de QN est de la forme q = {qK}K2M. Il peut ˆetre identifi´e avec sa repr´esentation vectorielle q 2 R^N dont les composantes sont les q_K rang´es dans un certain ordre. On a bien entendu p^N(⇠)2 Q^N. En multipliant le bilan (5.1) par qK puis en sommant sur les mailles K, on obtient

X K2M X 2FK =K|L ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) p_L^N(⇠))q_K+ X K2M X 2FK ⇢ D ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) p_D, )q_K = 0.

On r´eorganise la somme au premier-membre en examinant les contributions par arˆete. Chaque arˆete int´erieure y apparaˆıt deux fois, l’une comme K|L et l’autre comme L|K, mais avec la mˆeme transmissivit´e ⌧ de par les d´efinitions (5.2)–(5.5). En tant que K|L, elle est associ´ee au terme ⌧ (p_K^N p_L^N)q_K. En tant que L|K, elle apporte ⌧ (p_L^N p_K^N)q_L. Par factorisation, il vient que

X 2F =K|L ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) p_L^N(⇠))(qK qL) + X 2F ⇢ D\@K ⌧ (⇠)(p_K^N(⇠) pD, )qK = 0.

En passant les termes de Dirichlet au second-membre, on obtient

a^N(p^N(⇠), q; ⇠) = b^N(q; ⇠), 8q 2 Q^N, (5.6) avec (l’exposantN rappelle la d´ependance par rapport au maillage)

a^N(p, q; ⇠) = X 2F =K|L ⌧ (⇠)(p_K p_L)(q_K q_L) + X 2F ⇢ D\@K ⌧ (⇠)p_Kq_K, (5.7a) b^N(q; ⇠) = X 2F ⇢ D\@K ⌧ (⇠)pD, qK. (5.7b)

La formulation variationnelle discr`ete (5.6)–(5.7) peut ˆetre encore vue comme la condition d’optimalit´e du probl`eme de minimisation

p^N(⇠) = arg min

Chapitre 5. R´eduction de l’´equation en pression via une approche discr`ete directe o`u E^N(q; ⇠) = ¹ 2 X 2F =K|L ⌧ (⇠)|qK q_L|²+¹ 2 X 2F ⇢ D\@K ⌧ (⇠)|qK p_D, |² (5.9)

repr´esente la fonctionnelle d’´energie d´efinie sur Q^N.

Pour appliquer le lemme de Lax-Milgram et conclure `a l’existence et l’unicit´e de la solution de (5.6), il faut pouvoir parler de la continuit´e/coercivit´e des formes (5.7). Il est donc n´ecessaire de munir l’espace Q^N d’une structure hilbertienne. Soitk · k_RN une norme euclidienne pour le moment arbitraire surRN et posonskqk_QN =kqk_RN pour en faire une norme sur Q^N. On ´ecrira aussik · k_N pour abr´eger. Voici deux exemples :

1. La norme `²(M), dont le carr´e vaut

kqk²_N = X

K2M

|K||qK|² (5.10)

et qui est induite par la norme L²(⌦) depuis le niveau continu. 2. La norme d’´energie, dont le carr´e vaut

|||q|||²_⇠,N = a^N(q, q; ⇠) (5.11) et qui n’est pas induite par une norme fonctionnelle au niveau continu.

Pour une normek · k_N fix´ee, on consid`ere les constantes de continuit´e et de coercivit´e ↵^N_a(⇠) = inf q2QN\{0} a^N(q, q; ⇠) kqk2 N (5.12a) N a(⇠) = sup p2QN\{0} sup q2QN\{0} a^N(p, q; ⇠) kpk_Nkqk_N^{. (5.12b)}

Ces constantes existent grˆace `a la finitude dimensionnelle. Pour la coercivit´e, on est certain que ↵<sup>N</sup><sub>a</sub>(⇠) > 0 car la forme bilin´eaire a<sup>N</sup>(·, ·; ⇠) est sym´etrique d´efinie positive. La positivit´e vient de celle des transmissivit´es ⌧ (⇠). Le caract`ere d´efini vient du fait que le bord Dirichlet contient au moins une arˆete et de la connexit´e du maillage. Ces constantes sont par ailleurs sensibles au choix de la norme. La norme d’´energie (5.11), qui d´epend du param`etre et qui est donc ch`ere `a ´evaluer, est la⌧meilleure car elle assure ↵<sup>N</sup><sub>a</sub>(⇠) = <sub>a</sub><sup>N</sup>(⇠) = 1. La norme (5.10), qui ne d´epend pas du param`etre et qui est donc peu coˆuteuse, s’av`ere inadapt´ee au probl`eme comme l’attestent les r´esultats du chapitre§4. Un compromis raisonnable est |||·|||⇠⇤,N pour un param`etre ⇠^⇤ 2 ⌅ fix´e.

Soit p^N(⇠)2 R^N la repr´esentation vectorielle de p^N(⇠). Ses composantes p^N_I (⇠), 1  I  N, ne sont autres que les p_K^N(⇠) rang´es dans un ordre pr´e´etabli. On note K(I) la maille qui correspond au num´ero I selon cet ordre.

Proposition 5.1. Le vecteur p^N(⇠) est solution du syst`eme lin´eaire N ⇥N

A^N(⇠)p^N(⇠) = b^N(⇠), (5.13)

o`u la matrice de r´ef´erence A^N(⇠) et le vecteur second-membre b^N(⇠) ont pour ´el´ements A^N_IJ = a^N(1_{K(J )}, 1_K(I); ⇠), (5.14a)

b_I^N = b^N(1_{K(J )}; ⇠), (5.14b)

pour 1 I, J N, la notation 1K d´esignant l’´el´ement de Q^N qui envoie la maille K sur 1 et les autres mailles sur 0.

5.1. `A la recherche d’une approche plus directe D´emonstration. On d´ecompose p^N(⇠) = N X J =1 p_K(^N_{J )}(⇠)1_{K(J )} et prend q = 1_K(I) dans (5.6)–(5.7). 5.1.2 Approximation ⌧ bas coˆut

Le travail pr´ealable de reformulation en §5.1.1 permet de suivre la mˆeme d´emarche qu’en§3.2et§4.2pour aboutir `a des r´esultats de mˆeme nature sur la r´eduction en pression. En ce qui concerne la non-conservativit´e locale de la m´ethode RB qui nuit au transport conservatif de la saturation, une r´eflexion g´en´eralisant celle de§4.2.3est propos´ee. R´eduction de la pression par Ritz-Galerkine

Soit N⌧N. On consi`ere le sous-espace

Q^N:= Vect p^N(⇠₁), . . . , p^N(⇠_N) (5.15) engendr´e par les instantan´es p^N(⇠_I), 1  I  N, qui sont les solutions de (5.6) pour ⇠2 {⇠1, . . . , ⇠_N} ⇢ ⌅ et qui sont suppos´es lin´eairement ind´ependants. Le mode de s´election des param`etres ⇠_I, 1 I  N, sera explicit´e plus tard.

Pour tout nouveau ⇠ 2 ⌅, au lieu de minimiser l’´energie E^N sur Q^N pour obtenir p^N(⇠) comme l’indique (5.8), on se contente de la minimiser sur Q^N⇢ Q^N. La condition d’optimalit´e de la minimisation approch´ee

p^N(⇠) = arg min

q2QNE^N(q; ⇠) (5.16)

s’´ecrit

a^N(p^N(⇠), q; ⇠) = b^N(q; ⇠), 8q 2 Q^N. (5.17) L’existence, l’unicit´e et la continuit´e par rapport au second-membre de la solution base r´eduite p^N(⇠) d´ecoulent ´egalement de Lax-Milgram. Quant `a l’erreur d’approximation, elle est contrˆol´ee par une in´egalit´e de type C´ea.

Th´eor`eme 5.1. Pour tout param`etre ⇠ 2 ⌅ et tout sous-espace QN⇢ Q^N, on a

kp^N(⇠) p^N(⇠)k_N  q N a (⇠)/↵N a(⇠) min q2QNkq p^N(⇠)k_N, (5.18a) p^N(⇠) p^N(⇠) _⇠,N = min q2QN q p^N(⇠) _⇠,N. (5.18b)

D´emonstration. Voir Th´eor`eme 3.4. D´efinissons les niveaux d’´energie

E^N= E^N(p^N(⇠); ⇠) et E^N= E^N(p^N(⇠); ⇠)

correspondant `a la solution de r´ef´erence et `a la solution base r´eduite. On a le principe de d´ecroissance suivant.

Chapitre 5. R´eduction de l’´equation en pression via une approche discr`ete directe

Proposition 5.2. Pour tout sous-espace Q^N⇢ Q^N, on a

E^N(⇠) E^N(⇠) = ¹ 2 ^p

N(⇠) p^N(⇠) ²_⇠,N. (5.19)

Pour deux sous-espaces imbriqu´es Q^N1 ⇢ Q^N2 ⇢ Q^N donnant les approximations respec-tives pN1(⇠) et pN2(⇠), on a

E^N(⇠) E^N2(⇠) E^N1(⇠). (5.20) D´emonstration. Voir Proposition3.4.

Pour le calcul alg´ebrique d’une solution base r´eduite `a Q^N connu, on commence par orthonormaliser — via la proc´edure de Gram-Schmidt et relativement au produit scalaire sur Q^N — les instantan´es p_I^N(⇠), 1 I  N. On obtient alors une base orthonorm´ee {'I}, 1 I  N, appel´ee la base r´eduite. On y d´ecompose pN(⇠) en

p^N(⇠) =

N

X

J=1

p^N_J(⇠)'_J

et on encapsule l’ensemble des coordonn´ees g´en´eralis´ees p^N_J(⇠) dans le vecteur

p^N(⇠) = 0 B B B @ pN 1 p^N₂ .. . p^N_N 1 C C C A^{(⇠)2 R} N.

Proposition 5.3. Le vecteur p^N(⇠) est solution du syst`eme lin´eaire N⇥ N

A^N(⇠)p^N(⇠) = b^N(⇠), (5.21)

o`u la matrice r´eduite A^N(⇠) et le vecteur second-membre b^N(⇠) ont pour ´el´ements

A^N_IJ(⇠) = a^N('J, 'I; ⇠), (5.22a)

b^N_I (⇠) = b^N('_I; ⇠), (5.22b)

pour tout (I, J)2 {1, . . . , N}². La matrice A^N(⇠) est sym´etrique d´efinie positive.

D´emonstration. Voir Proposition3.5. La matrice A^N(⇠) est sym´etrique d´efinie positive car elle repr´esente, d’apr`es (5.22a), la restriction au sous-espace QN de la forme bilin´eaire sym´etrique coercive a^N(·, ·; ⇠).

Reprojection des flux pour la conservativit´e locale

De par la m´ethode d’approximation, la pression base r´eduite p^N(⇠) n’est associ´ee `a aucun bilan de conservation par maille. Autrement dit, on ne peut pas trouver de flux sortants aux arˆetes {FK, (⇠)}K2M, 2FK, qui s’expriment ⌧simplement en fonction des {pN

K(⇠)}K2M, et qui satisfont (2.19)–(2.20). Une autre fa¸con de dire cela est que si l’on applique les formules (2.21) pour calculer apr`es coup les⌧flux VF-TPFA

F_K,^N (⇠) = 8 > < > : ⌧ (⇠)(p^N_K(⇠) p^N_L(⇠)) si = K|L, ⌧ (⇠)(pN K(⇠) p_D, ) si ⇢ D\ @K, 0 si ⇢ N\ @K, (5.23)

5.1. `A la recherche d’une approche plus directe

la somme des flux sortants sur une maille n’a aucune raison d’ˆetre nulle, c’est-`a-dire X

2FK

F_K,^N (⇠)6= 0. (5.24)

D`es lors, le transport de la saturation (2.28)–(2.30), que nous r´e´ecrivons comme |K| K

sⁿ⁺¹_K (⇠) sⁿ_K(⇠)

tn + X

2FK

f (sⁿ⁺¹(⇠))F_K,^N (⇠) = 0, (5.25)

n’est plus conservatif et nous expose `a des probl`emes de violation du principe du maximum. Nous avons rencontr´e ce probl`eme en §4.2.3 dans le cadre de la formulation mixte. Le rem`ede propos´e ´etait un post-traitement qui consiste `a projeter la vitesse sur un espace r´eduit convenable (4.71). Nous allons transposer ce rem`ede au cadre primal discret de ce chapitre en travaillant avec les flux `a la place des vitesses.

Appelons M^F le sous-ensemble de M⇥F des couples (K, ) tels que soit une arˆete de K, c’est-`a-dire 2FK. Soit

G^N =RM^F

l’espace vectoriel des fonctions de M^F dans R. Un ´el´ement g´en´erique de GN est de la forme G = {GK, }K2M, 2FK. `A chaque solution de r´ef´erence p^N(⇠) = {pN

K(⇠)}K2M correspond un jeu de flux aux arˆetes

F^N(⇠) ={FK,^N (⇠)}K2M, 2FK 2 G0^N,

o`u G<sub>0</sub><sup>N</sup> d´esigne le sous-espace des jeux de flux num´eriques G2 G<sup>N</sup> v´erifiant les conditions (2.19)–(2.20), `a savoir

X

2FK

GK, = 0, 8K 2M (5.26a)

G_K, + G_K, = 0, 8 = K|L 2F. (5.26b)

On a vu plus haut que le jeu des flux

F^N(⇠) ={FK,^N (⇠)}K2M, 2FK 2 G^N

calcul´es a posteriori par (5.23) `a partir de la pression r´eduite p<sup>N</sup>(⇠) avec un param`etre ⇠2 ⌅ quelconque n’appartient a priori pas `a G0^N. Il est naturel d’envisager sa projection sur G₀^N, d´efinie par

b

F^N(⇠) = arg min

G2GN

0

kG F^N(⇠)kGN (5.27)

pour une certaine norme hilbertienne `a sp´ecifier sur G<sup>N</sup>. Comme pour (4.70), l’op´eration (5.27) fait intervenir un probl`eme de moindres carr´es lin´eaire sous contraintes lin´eaires dans l’espace des flux G^N, qui est de grande dimension. Il est plus ´economique de consid´erer la projection b F^N(⇠) = arg min G2GNkG F^N(⇠)kGN (5.28) sur le sous-espace G^N= Vect F^N(⇠1), . . . , F^N(⇠_N) (5.29) engendr´e par les instantan´es en flux correspondant aux mˆemes param`etres (⇠1, . . . , ⇠N) que ceux qui ont servi `a g´en´erer le sous-espace r´eduit en pression Q^N. Comme pour (4.71), `a

Chapitre 5. R´eduction de l’´equation en pression via une approche discr`ete directe

supposer que G^Nsoit de dimension N, l’op´eration (5.28) requiert la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire N⇥ N traduisant les conditions d’orthogonalit´e entre bF<sup>N</sup>(⇠) F<sup>N</sup>(⇠) et les F<sup>N</sup>(⇠<sub>I</sub>), 1 I  N. L’orthogonalit´e est bien entendu `a prendre au sens du produit scalaire associ´e `

a la norme prescrite sur G^N. Citons-en deux possibles : 1. La norme `2(F), dont le carr´e vaut

kGk²_GN = ¹ 2 X 2F =K|L |G ,K|²+|G ,L|² + X 2F ⇢ D\@K |G ,K|². (5.30)

La norme (5.30) ne d´epend pas du param`etre ⇠ et se prˆete bien `a une impl´ementation efficace. Elle a le d´efaut de ne pas ˆetre ⌧physique .

2. La norme d’´energie, dont le carr´e vaut |||G|||²_⇠,GN = ¹ 2 X 2F =K|L 1 ⌧ (⇠) |G ,K|²+|G ,L|² + X 2F ⇢ D\@K 1 ⌧ (⇠)|G ,K|². (5.31)

La norme d’´energie (5.31) sur G^N est la ⌧conjugu´ee de la norme d’´energie (5.11) sur Q^N au sens suivant : si q2 Q^N et G2 G^N sont reli´es par des relations de type (5.23), `a savoir GK, = 8 > < > : ⌧ (⇠)(q_K q_L) si = K|L, ⌧ (⇠)(q_K p_D, ) si ⇢ D\ @K, 0 si ⇢ N\ @K,

et si p_D, = 0, alors|||G|||_⇠,GN =|||q|||_⇠,QN. Cette norme est donc dot´ee d’un vrai sens physique. Elle a l’inconv´enient de d´ependre du param`etre ⇠, ce qui n’est pas favorable `

a l’impl´ementation efficace. Encore une fois, on peut se contenter d’un compromis en la consid´erant pour un param`etre ⇠^⇤ fix´e.

Apr`es l’´etape de projection (5.28), on e↵ectue le transport avec les flux corrig´es en r´esolvant le syst`eme en saturation, constitu´e des ´equations

|K| K

sⁿ⁺¹_K (⇠) sⁿ_K(⇠)

tn + X

2FK

f (sⁿ⁺¹(⇠)) bF_K,^N (⇠) = 0 (5.32)

pour toutes les mailles K 2M et des conditions aux limites en saturation. 5.1.3 Algorithme glouton, estimateur a posteriori

La s´election des param`etres ⇠<sub>I</sub>, 1  I  N, pour la d´efinition (5.15) du sous-espace Q<sup>N</sup> repose sur les mˆemes ingr´edients que dans l’Algorithme 3.4 : un algorithme glouton, un ensemble de param`etres d’apprentissage et un estimateur d’erreur a posteriori. Ces ingr´edients ne posent pas de difficult´e particuli`ere dans notre approche directe. Aussi, la description ci-dessous est-elle quasiment une r´ep´etition de §3.2.3–§3.3 et de §4.2.3–§4.2.4. Algorithme glouton

5.1. `A la recherche d’une approche plus directe

• d’une borne sup´erieure N(⇠) telle que

kp^N(⇠)[⇠₁, . . . , ⇠_N] p^N(⇠)kQN  ^N(⇠)[⇠₁, . . . , ⇠_N]

pour tout ⇠ 2 ⌅ et `a (⇠1, . . . , ⇠N) connus. Cette borne doit ˆetre calculable `a partir de p^N(⇠) ;

• d’un sous-ensemble d’apprentissage ⌅app ⇢ ⌅ de cardinal fini qui remplace l’espace des param`etres ⌅.

L’algorithme glouton faible construit une suite incr´ementale de param`etres qui ajoute un ´el´ement `a la fois `a la base, conform´ement `a

⇠_N+1 = arg max

⇠2⌅app

N(⇠)[⇠₁, . . . , ⇠_N], (5.33a)

Q^N+1 = Q^N RpN(⇠_N+1)[⇠₁, . . . , ⇠_N]. (5.33b) `

A chaque it´eration, l’´el´ement ins´er´e est le moins bien approch´e par la base r´eduite courante. En pratique, on peut se fixer une tol´erance " > 0 sur l’erreur. L’algorithme d´eterminera alors aussi N = N("_tol) pour satisfaire

max

⇠2⌅app

N(⇠)[⇠₁, . . . , ⇠_N] "tol.

Estimateur a posteriori

L’estimateur ^N(⇠) qui pilote l’algorithme glouton (5.33) ne contrˆole que l’erreur en pression. Il est fond´e sur la notion de r´esidu associ´e `a la solution RB.

D´efinition 5.1. On appelle r´esidu de p^N(⇠) sur Q^N la forme lin´eaire qui `a chaque vecteur q2 Q^N associe le nombre r´eel

Res_QN[p^N(⇠)](q; ⇠) = a^N(p^N(⇠), q; ⇠) b^N(q; ⇠). (5.34) Pour all´eger l’´ecriture, on le notera aussi Res^N[p^N] au lieu de Res_QN[p^N(⇠)]. Au passage, on notera que Res^N[p^N](1K; ⇠) mesure le d´efaut de conservativit´e de la solution sur la maille K, car c’est exactement la somme (5.24) des flux VF-TPFA calcul´es apr`es coup par (5.23). La continuit´e de la forme lin´eaire Res^N[p^N] permet de d´efinir sa norme duale par

kRes^N[p^N](·; ⇠)k_QN⁰ := sup

q2QN\{0}

Res^N[p^N](q; ⇠)

kqk_N ^{. (5.35)}

Cette norme duale est reli´ee `a la norme de l’erreur d’approximation e^N(⇠) = p^N(⇠) p^N(⇠)

par les in´egalit´es suivantes.

Proposition 5.4. Pour tout ⇠2 ⌅, on a 1

N

a (⇠)kRes^N[p^N](·; ⇠)k_QN0  ke^N(⇠)kQ ¹

↵N_a (⇠)kRes^N[p^N](·; ⇠)k_QN0. (5.36) D´emonstration. Analogue `a celle de la Proposition3.6, avec Res<sup>N</sup> `a la place de Res et a^N `a la place de a.

Chapitre 5. R´eduction de l’´equation en pression via une approche discr`ete directe

Les in´egalit´es (5.36) nous am`enent `a d´efinir l’estimateur a posteriori comme

N(⇠) = kRes^N[p^N](·; ⇠)k_QN0

↵N

a (⇠) ^(5.37)

et l’indice d’efficacit´e de l’estimateur le rapport ⌘^N(⇠) =

N(⇠) keN(⇠)k_N^.

D´etaillons le calcul explicite de l’estimateur en commen¸cant par son num´erateur, qui est la norme duale du r´esidu. Pour cela, on num´erote les mailles K 2Mdans un ordre pr´e´etabli, le mˆeme que celui de la Proposition5.1. On note K(I) la maille qui correspond au num´ero I, 1  I  N, selon cet ordre. Soit Z^N_N la matrice de passage N ⇥ N donnant les N vecteurs '_I de la base r´eduite dans la base des 1_K(I). Ses ´el´ements sont

[Z^N_N]_I,I= '_I;K(I).

Th´eor`eme 5.2. La norme duale du r´esidu (5.35) est ´egale `a

kRes^N[p^N](·; ⇠)k_QN0 = r^N(⇠)^T [G^N] ¹r^N(⇠) ^1/2, (5.38) o`u

• le vecteur r´esidu rN(⇠)2 R^N a pour composantes

r_I^N(⇠) = Res^N[p^N](1_K(I); ⇠) = a^N(p^N(⇠), 1_K(I); ⇠) b^N(1_K(I); ⇠) pour 1 I N, soit matriciellement

r^N(⇠) = A^N(⇠)Z^N_Np^N(⇠) b^N(⇠) ; (5.39) • la matrice G^N, de tailleN ⇥N, est la matrice de Gram du produit scalaire (·, ·)_N

dans la base de r´ef´erence, c’est-`a-dire

G^N_IJ = (1_K(I), 1_{K(J )})_N pour 1 I, J N.

D´emonstration. Analogue `a celle du Th´eor`eme3.7, avec Res^N `a la place de Res et a<sup>N</sup> `

a la place de a.

Lorsqu’on utilise la norme d’´energie |||·|||_⇠,N, la matrice de Gram G^N n’est autre que A^N(⇠). Avec la norme d’´energie |||·|||_⇠⇤,N pour un param`etre ⇠<sup>⇤</sup> fix´e, on a G<sup>N</sup> = A<sup>N</sup>(⇠<sup>⇤</sup>). L’avantage de travailler une norme d’´energie exacte ou approch´ee r´eside dans le fait que la constante de coercivit´e, au d´enominateur de l’estimateur d’erreur, est proche de 1. Cette assertion constitue un corollaire du Th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 5.3. On a

↵^N_a (⇠) = _min([G^N] ^1/2A^N(⇠)[G^N] ^1/2). (5.40) Autrement dit, la constante de coercivit´e ↵^N_a (⇠) est ´egale `a la plus petite valeur propre g´en´eralis´ee de la matrice de discr´etisation A<sup>N</sup>(⇠) au sens de la matrice de Gram G<sup>N</sup>. D´emonstration. Voir Th´eor`eme3.8.

5.1. `A la recherche d’une approche plus directe

5.1.4 R´esultats num´eriques

On rappelle que dans les deux param´etrisations ´etudi´ees dans cette th`ese, ⌅ est un intervalle de R. Comme en §4.3, l’ensemble ⌅<sub>app</sub> = {⇠1, . . . , ⇠<sub>Napp</sub>} ⇢ ⌅ des param`etres d’apprentissage est compos´e de Napp points ´equidistants de l’intervalle ⌅. On choisit pour les di↵´erents tests pr´esent´es dans cette section N_app = 100.

Sans estimateur

Dans un premier temps, au lieu de piloter l’algorithme glouton avec un estimateur d’erreur, on le met en œuvre avec l’erreur exacte. Le but de cette ´etude pr´eliminaire est de nous rassurer sur la convergence de la strat´egie de r´eduction dans le cas le plus favorable. Il est en e↵et `a craindre, au vu des indices d’efficacit´e observ´es en§4.3.2, que l’estimateur en norme d’´energie ne soit pas⌧apte `a traiter les probl`emes consid´er´es.

On pr´esente `a la Figure 5.1 l’´evolution de l’erreur d’approximation e<sup>N</sup>(⇠) <sub>N, ⇠⇤</sub> `a chaque it´eration de l’algorithme glouton pour di↵´erentes valeurs du param`etre ⇠<sup>⇤</sup> pour la param´etrisation de la viscosit´e de l’eau. Plus pr´ecis´ement, sur le panneau de gauche est affich´e le maximum sur ⌅app de l’erreur, ce qui correspond au crit`ere (5.33a) pour obtenir ⇠_N. Par ailleurs, une comparaison avec la m´ethode POD, connue pour fournir des sous-espaces optimaux (au sens de la vitesse de d´ecroissance de l’erreur par rapport `a la dimension du sous-espace de projection) pour la norme `²(⌅app, Q^N) montre l’optimalit´e de la m´ethode RB : on retrouve la mˆeme vitesse de d´ecroissance de l’erreur pour les deux modes de construction de l’espace r´eduit. Enfin, l’influence du param`etre ⇠^⇤ intervenant dans la norme de l’´energie est ´etudi´ee dans deux cas :

1. Le param`etre est adapt´e au probl`eme consid´er´e (⇠^⇤ = ⇠),

2. Le param`etre ⇠^⇤ est fix´e une fois pour toutes en d´ebut de simulation. On pose dans ce cas ⇠_min := min

⇠2⌅app

⇠ et ⇠_max:= max

⇠2⌅app

⇠.

Les r´esultats contenus dans la Figure5.1montrent que le choix de ⇠^⇤ n’influe pas dans la vitesse de d´ecroissance de l’erreur. Il semble cependant que le choix ⇠^⇤= ⇠maxsoit, dans ce cas particulier, plus int´eressant dans le sens o`u il permet d’ˆetre au plus pr`es de l’erreur dans la norme de l’´energie (i.e. pour ⇠^⇤ = ⇠).

Le mˆeme test pour la param´etrisation de la perm´eabilit´e par la m´ethode des points pilotes am`ene `a des r´esultats similaires comme le montre la Figure5.2. Notons toutefois la moindre influence du param`etre ⇠^⇤ sur l’´ecart entre l’erreur e^N(⇠) _{N, ⇠⇤} et e^N(⇠) _{N, ⇠}.

Avec estimateur

Dans un second temps, on revient au pilotage de l’algorithme glouton par un estimateur d’erreur, ce qui correspond `a son utilisation dans un contexte r´ealiste.

On pr´esente aux Figures 5.3et5.4, l’´evolution du maximum de l’estimation ^N(⇠) de l’erreur e^N(⇠) _{N, ⇠⇤}, ainsi que di↵´erentes approximations de cette estimation au cours it´eration de l’algorithme glouton pour di↵´erentes valeurs du param`etre ⇠^⇤ pour la

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