2.4 Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es
2.4.1 Capillarit´e et compressibilit´e
a l’inverse de ce qui se passe avec la perm´eabilit´e en §2.3.1, la sensibilit´e des r´esultats vis-`a-vis des variations du param`etre de viscosit´e est flagrante. Comme l’on pouvait s’y attendre (cf. Figure2.3de§2.1.2), un contraste de viscosit´e d´efavorable (µo/µw 1) rend l’´ecoulement instable en faisant surgir de nombreux ⌧doigts visqueux (Figure 2.10a). Lorsque µw tend vers µo, le front de d´eplacement se stabilise (Figure2.10b).
Les digitations visqueuses sont extrˆemement d´elicates `a simuler avec pr´ecision. En e↵et, s’agissant d’instabilit´es intrins`eques au mod`ele, on ne sait pas si ce qu’on obtient est bien la solution math´ematique ou du bruit num´erique amplifi´e justement par le caract`ere instable du mod`ele. De nombreuses ´etudes ont ´et´e consacr´ees (voir Koval [1963], Fayers [1988] pour le cas miscible Black-Oil etBarker and Fayers[1994],Rubin et al.[1993] pour le cas miscible compositionnel). Plus r´ecemment, l’emploi des m´ethodes de Galerkine Discontinu d’ordres ´elev´es par Li and Rivi`ere [2016] a permis d’obtenir des solutions suffisamment pr´ecises y compris sur maillage non-structur´e.
2.4 Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es
Le mod`ele diphasique de §2.1.1et le sch´ema VF de §2.2.2s’inscrivent chacun au sein d’une famille bien plus ´etendue. Sans pr´etendre `a l’exhaustivit´e, nous allons donner un aper¸cu de leurs richesses afin de mieux situer le probl`eme qui nous pr´eoccupe. Outre l’aspect ⌧culturel , la connaissance de ce catalogue de mod`eles et de sch´emas permet aussi d’entrevoir des perspectives `a notre travail.
2.4.1 Capillarit´e et compressibilit´e
Dans cette partie, nous nous focaliserons sur les ´equations int´erieures des mod`eles. Le lecteur int´eress´e par les conditions aux limites associ´ees peut consulter les ouvrages de r´ef´erence [Chavent and Ja↵r´e,1986], [Chen et al.,2006].
Incompressible
Le mod`ele (2.1) n’est qu’un cas tr`es sp´ecial du v´eritable mod`ele Dead Oil isotherme, qui s’´ecrit
@ts↵+ div v↵ = 0, (2.32a)
v↵ = µ↵1kr↵(s↵)K(rp↵ ⇢↵g), (2.32b)
so+ sw = 1, (2.32c)
po pw = pc(sw). (2.32d)
On voit apparaˆıtre de nouveaux termes destin´es `a rendre compte de nouveaux e↵ets phy-siques :
• La perm´eabilit´e est maintenant un tenseur K au lieu d’un scalaire k, ce qui permet de mod´eliser l’anisotropie du milieu. Le vecteur par lequel ce tenseur K est multipli´e dans la loi de Darcy-Muskat (2.32b) voit non seulement le gradient de pression mais aussi la gravit´e ⇢↵g, o`u ⇢↵ est la densit´e de la phase (suppos´ee constante uniforme car on est toujours en incompressible) et g le vecteur de pesanteur.
• Il y a maintenant deux pressions po et pw, une pour chaque phase, ce qui est physiquement plus coh´erent avec l’hypoth`ese d’un m´elange immiscible. L’´ecart entre la pression de l’huile (phase non-mouillante) et celle de l’eau (phase mouillante) est
Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux
(a) µw= 1 cP et µo= 100 cP (b) µw= µo= 100 cP
Figure 2.10: Profils de la saturation d’eau s(·, T ) au temps final sur la couche 85 du cas SPE10 pour deux valeurs de la viscosit´e d’eau µw.
(a) µw= 1 cP et µo= 100 cP (b) µw= µo= 100 cP
Figure 2.11: Profils de pression p(·, T ) au temps final sur la couche 85 du cas SPE10 pour deux valeurs de la viscosit´e d’eau µw.
2.4. Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es
appel´e pression capillaire et est donn´e par une fonction empirique pcde la saturation d’eau sw. La pression capillaire pcest toujours d´ecroissante par rapport `a sw(Figure
2.12). Elle peut ˆetre tr`es raide, avoir des asymptotes verticales pour s2 {0, 1} ou {sm, sM}, voire y devenir multi-valu´ee [Canc`es and Pierre,2012], ce qui ne manque pas de poser des probl`emes de robustesse pour le calcul num´erique.
Figure 2.12: Pression capillaire pc en fonction de la saturation d’eau sw.
Comme avant, on peut d´efinir les mobilit´es phasiques
↵(s↵) = µ↵1kr↵(s↵) et la mobilit´e totale
(sw) = w(sw) + o(1 sw).
Comme avant, il est possible de⌧desserrer un peu le couplage entre s↵et p↵en transfor-mant les ´equations (2.32) en un syst`eme qui ressemble `a (2.3). Pour cela, il faut introduire les variables globales que sont la vitesse totale
v = vw+ vo, et la pression globale fictive
p = pw+ po 2 + Z s s⇤ o(1 &) w(&) 2 (&) p 0 c(&) d&, (2.33) d´efinie pour une saturation de r´ef´erence s⇤ convenable. Grˆace `a elles, le mod`ele (2.32) devient [Chavent and Ja↵r´e,1986]
v = (s)K(rp ⇢(s)g), (2.34a)
div v = 0, (2.34b)
@ts + div(f (s)v) = div(Kr}(s)) + divh(⇢o ⇢w) w(s) o(1 s)
(s) Kg
i
, (2.34c) o`u s = sw est la saturation de l’eau,
⇢(s) = w(s)⇢w+ o(1 s)⇢o (s)
Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux
est la densit´e totale, et
}(s) = Z s s⇤ w(&) o(1 &) (&) p 0 c(&) d&,
est la transform´ee de Kirchho↵. Cette derni`ere a d’une certaine fa¸con ⌧absorb´e la loi capillaire (2.32d). Le syst`eme (2.34) d’inconnues (s, p, v) peut ˆetre vu comme ´etant constitu´e d’une ´equation elliptique lin´eaire (`a s fix´e), `a savoir
div( (s)Krp) = div(⇢(s)Kg),
et d’une ´equation parabolique non-lin´eaire (`a v fix´e) que repr´esente (2.34c) et qui contient un op´erateur de transport non-lin´eaire. Remarquons que comme
}0(s) = 1(s) w(s) o(1 s)p0c(s) 0,
la pression capillaire exerce une action dissipative sur la saturation dans (2.34c). Il s’agit donc d’une ´equation de convection-di↵usion. L’existence de cette d´ecomposition elliptique-parabolique pour le syst`eme (2.32) permet donc d’envisager l’extension de la strat´egie de bases r´eduites pr´econis´ee.
Compressible
Pour gagner en pr´ecision sur les r´esultats, il faut prendre en compte les e↵ets de compressibilit´e. Consid´erons le mod`ele suivant, qui est le standard en la mati`ere :
@t(⇢↵s↵) + div(⇢↵v↵) = 0, (2.35a)
v↵ = µ↵1kr↵(s↵)K(rp↵ ⇢↵g), (2.35b)
so+ sw = 1, (2.35c)
po pw = pc(sw), (2.35d)
⇢↵ = ⇢↵(p↵). (2.35e)
Par rapport au mod`ele (2.32), les densit´es ⇢↵ sont `a pr´esent des fonctions suppos´ees connues des pressions p↵. Ces fonctions a priori non-constantes doivent ˆetre croissantes, i.e.,
⇢0↵(p↵) 0.
La variabilit´e des densit´es accentue notablement le couplage entre les saturations s↵
et les pressions p↵ via les bilans de masse (2.35a). On peut alors se demander s’il est encore possible de r´e´ecrire le syst`eme sous une forme semblable `a (2.34), faisant intervenir des grandeurs globales qui seraient moins coupl´ees entre elles. L’objectif est bien entendu de parvenir `a une d´ecomposition elliptique-parabolique comme pr´ec´edemment pour le cas incompressible. `A notre connaissance, cela n’est pas possible en g´en´eral, sauf sous des hypoth`eses particuli`eres, o`u l’on obtient une d´ecomposition parabolique-parabolique.
La premi`ere hypoth`ese, ´emise parChavent and Ja↵r´e[1986] pour forcer un d´ecouplage partiel des ´equations, est que les densit´es ⇢↵, au lieu de d´ependre chacune de la pression p↵ de sa phase propre, sont fonctions d’une mˆeme pression globale p. Autrement dit, on remplace (2.35e) par
⇢↵ = ⇢↵(p),
o`u p reste `a d´efinir. Physiquement, cela a un sens lorsque |pc| est petit, auquel cas po et pw sont proches et par construction p se trouve entre les deux. En introduisant la densit´e totale
⇢(s, p) = ⇢
2
w(p) w(s) + ⇢2o(p) o(s) ⇢w(p) w(s) + ⇢o(p) o(s),
2.4. Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es la mobilit´e totale (s, p) = (⇢w(p) w(s) + ⇢o(p) o(s)) 2 ⇢2 w(p) w(s) + ⇢2 o(p) o(s) , le flux fractionnaire f (s, p) = ⇢w(p) w(s) ⇢(s, p) (s, p), le facteur correctif ⌘(s, p) = 1 + Z s s⇤ @f @p(p, &)p 0 c(&) d&,
et en d´efinissant p par la relation implicite (avec p aux deux membres) p = pw+ po 2 + Z s s⇤ ⇢o o ⇢w w 2⇢ (&, p)p 0 c(&) d&, (2.36) on obtient apr`es manipulations alg´ebriques
v = (s, p)K(⌘(s, p)rp ⇢(s, p)g), (2.37a) @t(⇢w(p)s + ⇢o(p)(1 s)) + div(⇢(s, p)v) = 0, (2.37b) @t(⇢w(p)s) + div(f (s, p)⇢(s, p)v) = div(⌫(s, p)( p0c(s))Krs) + div(⌫(s, p)(⇢o ⇢w)(p)Kg), (2.37c) avec ⌫(s, p) = ⇢w w⇢o o ⇢ (s, p).
Ce syst`eme peut ˆetre vu comme ´etant constitu´e de deux ´equations paraboliques. La premi`ere, obtenue en injectant la loi de Darcy globale (2.37a) dans le bilan de masse totale (2.37b), donne l’´evolution de p `a s fix´e. La seconde, c’est-`a-dire (2.37c), est une ´equation de convection-di↵usion sur s `a p et ⇢v fix´es. Notons qu’`a cause de la d´ependance en p, il n’est plus possible de d´efinir la transform´ee de Kirchho↵.
La deuxi`eme hypoth`ese, sous laquelle se placent Amaziane et al. [2010], est que la pression capillaire s’annule en 1, c’est-`a-dire pc(s = 1) = 0, mais qu’on a bien d´ependance de chaque densit´e ⇢↵ par rapport `a la pression p↵ de sa phase. Dans ce cas, il est possible de d´efinir une pression globale p au moyen d’une ´equation int´egrale non-triviale (que nous ne transcrivons pas ici) et de prendre s, p comme inconnues primaires. Le r´esultat des transformations est formellement similaire au syst`eme (2.37). Plus pr´ecis´ement, on obtient un syst`eme de la forme
v = K(⌘rp ⇢g), (2.38a)
@t(⇢ws + ⇢o(1 s)) + div(⇢v) = 0, (2.38b)
@t(⇢ws) + div(f ⇢v) = div( ⌫p0cKrs) + div(⌫(⇢o ⇢w)Kg), (2.38c) dans laquelle toutes les quantit´es surlign´ees d´ependent de (s, p), y compris les densit´es ⇢↵. Manifestement, les ´equations de (2.38) sont plus fortement coupl´ees entre elles que celles de (2.37). La troisi`eme hypoth`ese, ´etudi´ee par Amaziane and Jurak[2008] quelque temps avant la parution de [Amaziane et al., 2010], est que la phase eau est incompressible. On aboutit `a une d´ecomposition du mˆeme type, `a ceci pr`es que ⇢w est une constante.
Nous n’avons ´evoqu´e ni le triphasique, ni le compositionnel, ni le thermique, ni le mis-cible, car cela d´epasserait de tr`es loin le cadre de notre m´emoire. Notre but est simplement de constater qu’avec la compressibilit´e, il convient de r´efl´echir `a une nouvelle approche pour la r´eduction de bases. Cela pose un cadre pour celle que nous allons d´eployer dans les chapitres suivants.
Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux