Volumes finis consistants et sym´etriques

Le sch´ema TPFA (2.19)–(2.24) pour la r´esolution de l’´equation en pression

div( (sⁿ)krpn+1) = 0 (2.39)

donne des r´esultats tout `a fait satisfaisants quand le maillage satisfait la condition d’or-thogonalit´e de la Remarque 2.1, en particulier sur une grille rectangulaire cart´esienne. En maillage non-structur´e d´eform´e, son d´efaut de consistance n’empˆeche pas les p´etroliers de continuer `a l’utiliser. Ce d´efaut n’est pas non plus un obstacle `a la construction de bases r´eduites que nous proposons au chapitre §5.

Il est cependant l´egitime de se demander s’il existe de ⌧meilleures m´ethodes pour (2.39) sous les contraintes suivantes :

1. ˆEtre de type Volumes Finis. Cette contrainte se justifie par la pr´ef´erence marqu´ee des praticiens pour les volumes finis, dont l’existence d’un volume de contrˆole et des flux permet de r´ealiser un bilan de conservation discret des saturations phasiques. IFPEN y a d’ailleurs beaucoup investi ces derni`eres ann´ees [Ag´elas,2009], [Guichard,

2011], [Yousef,2013].

2. ˆEtre consistant, au sens de lin´eairement exact pour tout maillage. Lin´eairement exact signifie que le sch´ema retrouve bien la solution exacte si celle-ci est affine en espace. Cette contrainte vise `a surmonter la non-consistance de TPFA en maillage quelconque. Elle est indispensable pour la convergence.

3. Avoir une matrice sym´etrique d´efinie positive (en pr´esence de condition de Dirichlet sur une partie du bord) pour le syst`eme lin´eaire `a r´esoudre. Jointe `a la consis-tance, cette propri´et´e est une aide pr´ecieuse — bien que non n´ecessaire — pour la convergence. Elle a aussi la faveur des ing´enieurs de par la garantie que la matrice est inversible. Dans notre cas, cette contrainte tient ´egalement `a la sp´ecificit´e de la m´ethode de bases r´eduites que nous d´eveloppons au chapitre §5. En e↵et, une matrice sym´etrique coercive permet de d´efinir naturellement une norme d’´energie associ´ee. Mˆeme s’il existe dans la litt´erature des m´ethodes RB pour les probl`emes non-sym´etriques pourvus d’une formulation variationnelle faiblement coercive (ou inf-sup stable), ce n’est pas le cadre dans lequel nous nous pla¸cons volontiers, vu la sym´etrie du probl`eme de d´epart.

M´ethodes MPFA-O, VAG, DDFV

La m´ethode MPFA (Multi-Point Flux Approximation), introduite par Aavatsmark et al. [1996], fut l’une des premi`eres tentatives pour assurer la consistance en maillage g´en´eral. Chaque flux num´erique F_K, est en r´ealit´e la somme de deux demi-flux Fs

K, o`u s est un sommet de K appartenant `a , comme l’illustre la Figure2.13. La d´efinition des demi-flux F_K,^s passe par la reconstruction sur chaque triangle T_K^s = {x^s, x_K, x^s₀} d’un gradient local2 r^sKp = ¹ 2|Ts K| ⇥ (p^s p_K)(x^s0 x_K)^?+ (p^s0 p_K)(x^s x_K)^?⇤ , (2.40) o`u xs et xs

0 sont des points librement choisis respectivement sur et ⁰, les deux arˆetes de FK issues de s. En e↵ectuant un tour complet autour du sommet s (d’o`u la lettre

⌧O ) et demandant la conservativit´e locale des demi-flux pour deux mailles voisines,

2.4. Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es

on obtient un syst`eme lin´eaire local dont la r´esolution permet d’exprimer les inconnues suppl´ementaires p<sup>s</sup> en fonction des inconnues principales p<sub>K</sub>. Il ne reste plus qu’`a monter le syst`eme des bilans de flux sur chaque maille par rapport aux inconnues principales. En g´en´eral, la matrice du syst`eme lin´eaire global n’est pas sym´etrique. Il y a toutefois deux configurations qui garantissent que la matrice est sym´etrique d´efinie positive : (i) en maillage parall´elogramme, avec xs = x le milieu de l’arˆete ; (ii) en maillage triangulaire, avec x^s strictement entre s et x [Ag´elas et al.,2010]. Notons qu’en maillage rectangulaire, MPFA-O co¨ıncide avec TPFA. Signalons enfin qu’il existe diverses variantes -U, -L, -G de MPFA o`u l’on ne fait pas le tour complet de chaque sommet.

Dans la m´ethode VAG (Vertex Approximated Gradient), due `a Eymard et al. [2012a] etEymard et al.[2012b], on reconstruit sur chaque triangle Ts

K, ={xK, x , s} avec s 2 et 2FK un gradient local analogue au pr´ec´edent, `a savoir

rs K, p = ¹ 2|Ts K, | ⇥ (ps pK)(x xK)^?+ (p pK)(s xK)^?⇤ . (2.41)

Grˆace `a une interpolation entre deux sommets de chaque , on ´elimine les inconnues aux arˆetes p et obtient ainsi une expression ders

K, p en fonction de p_Ket des p_saux sommets de la maille K. Pour chaque jeu de degr´es de libert´e p compos´e de valeurs aux mailles{pK} et de valeurs aux nœuds {ps}, on assemble les valeurs r^sK, p pour d´efinir un gradient rNp constant par triangle sur tout le domaine. Il reste alors `a ´ecrire une formulation variationnelle discr`ete (comme en ´el´ements finis), ce qui revient aussi `a minimiser l’´energie E_N(p) = ¹₂R

⌦ kkr_Npk2 sous la contrainte des conditions de bord. Il en d´ecoule deux s´eries d’´equations. La premi`ere comporte des bilans sur les mailles, avec une notion de flux

⌧diagonal . La seconde comporte des relations exprimant la conservativit´e locale de ces flux diagonaux. Par construction, la matrice obtenue est sym´etrique.

L’id´ee de base de la m´ethode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), pr´econis´ee par

Hermeline[2003], est de privil´egier les⌧diamants . Si K et L sont deux mailles adjacentes par l’arˆete commune = ss⁰, on peut d´efinir sur le diamant D^s,s_K,L⁰ = {xK, s, xL, s⁰} le gradient local r^s,s_K,L⁰p = ¹ 2|D^s,s_K,L⁰| ⇥ (p_L p_K)(s s⁰)^?+ (p_s0 ps)(x_L x_K)^?⇤ (2.42)

en pla¸cant les inconnues suppl´ementaires p_saux sommets, comme l’indique la Figure2.14. Ce gradient local permet de calculer les flux `a travers l’arˆete primale = ss<sup>0</sup> tout comme celui `a travers l’arˆete duale x_Kx_Len fonction des inconnues. Pour avoir autant d’´equations que d’inconnues, on impose ensuite deux s´eries de bilans de flux : sur les mailles primales et sur les mailles duales. La raison profonde pour laquelle la matrice est sym´etrique est qu’il est possible de reformuler le sch´ema `a l’aide d’op´erateurs de divergence et de gradient discrets v´erifiant des relations de dualit´e de Green au niveau discret [Domelevo and Omnes,

2005], [Andreianov et al.,2007], d’o`u la d´enomination de la m´ethode. Famille HMM (Hybrid Mimetic Mixed)

Au milieu des ann´ees 2000, il y avait trois cat´egories de m´ethodes apparemment dis-tinctes, avec des communaut´es s´epar´ees : hybride, mim´etique et mixte. Droniou et al.

[2010] ont ´etabli l’existence d’une correspondance alg´ebrique entre ces trois cat´egories. De par cette ´equivalence, toute avanc´ee dans l’analyse de l’une d’entre elles se transpose automatiquement aux deux autres.

Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux

Figure 2.13: R´egion d’interaction autour d’un sommet pour la m´ethode MPFA-O.

2.4. Mod`eles et sch´emas plus ´elabor´es

La m´ethode hybride (Hybrid Finite Volume) deEymard et al. [2010] tire son nom de l’analogie avec les ´el´ements finis hybrides, o`u l’on raccorde faiblement les fonctions de base sur les arˆetes. En prescrivant des inconnues auxiliaires p sur les arˆetes, on commence par reconstruire un gradient local sur chaque cellule par la formule lin´eairement exacte

rKp = ¹ |K|

X

2FK

| |(p p_K)n_K, . (2.43)

Malheureusement, si la maille K n’est pas un triangle, la formule n’est pas⌧coercive : rKp peut s’annuler alors que les valeurs p_K et{p } 2FK ne sont pas identiques entre elles. Pour r´ecup´erer la coercivit´e du prob`eme, il y a deux possibilit´es :

1. Calculer un gradient stabilis´e sur chaque demi-diamant

rK, p =rKp + e_K, (p)n_K, (2.44a) o`u eK, (p) = p 2 d_K, ⇥ p pK rKp· (x xK)⇤ (2.44b) est l’erreur de consistance. On termine comme dans VAG en d´efinissant un gra-dient global r_Np constant par demi-diamant et en minimisant l’´energie E_N(p) =

1 2

R

⌦ kkr_Npk2 par rapport aux degr´es de libert´e.

2. Minimiser par rapport aux degr´es de libert´e la fonctionnelle p´enalis´ee E_N(p) = ¹ 2 X K2M |K|( k)KkrKpk²+¹ 2 X K2M eK(p)^TDKeK(p) (2.45)

o`u e<sub>K</sub>(p) ={eK, (p)} <sub>2F</sub>K et D<sub>K</sub> une matrice sym´etrique d´efinie positive exprimant un produit scalaire local `a la maille.

Afin de diminuer le nombre d’inconnues, il peut ˆetre int´eressant [Eymard et al., 2010] d’´eliminer certaines innconnues aux arˆetes par des interpolations, ce qui conduit `a la m´ethode SUSHI (Scheme Using Stabilization and Hybrid Interfaces). On perd alors la notion de flux aux arˆetes concern´ees.

Pour le mim´etique (Mimetic Finite Di↵erence), nous renvoyons le lecteur `a l’article de revue de Lipnikov et al. [2014] et `a Brezzi et al. [2005a], Brezzi et al. [2005b]. Le point saillant que nous souhaitons mentionner est que leur histoire a d´emarr´e d`es les ann´ees 1950, ind´ependamment de la naissance des Volumes Finis. L’objectif initial ´etait de bˆatir, `

a partir des degr´es de libert´e, des op´erateurs discrets (gradient, divergence, rotationnel, produit scalaire) qui v´erifient entre eux des relations de dualit´e comme les formules de Green. Contrairement `a DDFV, ces relations ne sont pas restreintes au niveau discret et peuvent faire intervenir des fonctions au niveau continu. La litt´erature mim´etique adopte des notations et des conventions assez di↵´erentes de celles du monde Volumes Finis.

`

A l’instar des ´el´ements finis mixtes, la m´ethode mixte (Mixed Finite Volume) de Dro-niou and Eymard [2006] prend comme inconnues auxiliaires les flux F_K, `a travers les arˆetes (en plus des valeurs p consid´er´ees en hybride). Les inconnues F<sub>K,</sub> sont soumises `

a la conservativit´e locale F_K, + F_L, = 0. Elles sont reli´ees aussi aux p p_K par une condition de raccordement de p , dans laquelle intervient le gradient local

rKp = ^{( k)} 1 K |K| X 2FK F_K, (x x_K) (2.46)

Chapitre 2. Simulation d’´ecoulement diphasique en milieu poreux

reconstruit sur chaque cellule. Cette formule est exacte si les valeurs de FK, proviennent des flux exacts d’une fonction affine p. Malheureusement, elle peut donner une valeur nulle pour le gradient sans que les F_K, soient identiquement nuls. Pour r´ecup´erer la coercivit´e, il y a deux possibilit´es de stabilisation, une ⌧forte et une⌧faible , les deux donnant lieu `a une ´energie discr`ete formellement semblable `a (2.45). Nous ne les d´etaillons pas ici. Formalisme GD (Gradient Discretization)

Encore plus r´ecemment, un cadre abstrait appel´e Gradient Discretization a ´et´e propos´e parDroniou et al.[2013] etDroniou et al.[2016] dans le but d’unifier conceptuellement un grand nombre de m´ethodes qui ne sont pas toutes n´ecessairement de type VF. Ce cadre th´eorique est muni d’une ⌧boˆıte `a outils d’analyse fonctionnelle discr`ete permettant de syst´ematiser la plupart des d´emonstrations qui, jusque l`a ´etaient sp´ecifiques `a chaque m´ethode. On y trouve notamment :

• les ´el´ements finis Pk conformes et non-conformes, sans et avec condensation de masse ;

• les ´el´ements finis mixtes RTk, sans et avec condensation de masse ;

• les volumes finis MPFA-O en maillage rectangulaire ou triangulaire avec un choix convenable des points xs;

• les m´ethodes VAG, DDF et HMM pour certains choix de stabilisation.

En langage intuitif, une m´ethode rel`eve du formalisme GD si l’on est capable de d´efinir un op´erateur r<sub>N</sub> qui `a chaque jeu de degr´es de libert´e (·) — dont l’emplacement sur le maillage et la signification sont `a pr´eciser — associe un gradient discretrNp(·) 2 [L<sup>2</sup>(⌦)]<sup>2</sup> repr´esentant une approximation locale derp, exacte si p est localement lin´eaire, telle que le sch´ema puisse s’interpr´eter comme la recherche du minimum de l’´energie discr`ete

E_N(·) = ¹₂ Z

⌦

kkr_Np(·)k²

sous la contrainte des conditions de bord. Il y a naturellement des conditions techniques g´en´eriques sur r_N pour assurer la convergence d’une telle m´ethode. Le caract`ere GD d’une m´ethode garantit que la matrice est sym´etrique d´efinie positive. C’est une condi-tion suffisante mais pas n´ecessaire. Le sch´ema TPFA, par exemple, est GD en maillage rectangulaire. On ne sait pourtant pas l’interpr´eter comme une m´ethode GD sur un autre maillage, alors que sa matrice reste sym´etrique d´efinie positive [Droniou et al.,2018].

Pour terminer, rappelons qu’il n’y a actuellement pas de sch´ema ⌧parfait pour l’´equation de di↵usion lin´eaire. Les m´ethodes VF consistantes et sym´etriques coercives ´evoqu´ees plus haut ont en commun un d´efaut : sauf sur des maillages particuliers, elles ne v´erifient en g´en´eral pas le principe du maximum, ce qui peut s’av´erer gˆenant dans certaines applications. Il est possible d’´elaborer des sch´emas VF ⌧monotones qui pr´eservent le principe du maximum, mais ils deviennent non-lin´eaires et perdent la sym´etrie [Lipnikov et al.,2007], [Le Potier,2009].

Chapitre 3

Introduction `a la m´ethode des

bases r´eduites en formulation

primale

Sommaire

3.1 Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es . . . 36