R´ecapitulatif

Ce chapitre fournit un aper¸cu de la m´ethode des bases r´eduites (RB) dans son cadre id´eal, celui des probl`emes elliptiques lin´eaires coercifs d´ecrits en§3.1. Leur approximation de r´ef´erence est de type Ritz-Galerkine et une d´ecomposition affine existe pour s´eparer les variables et les param`etres.

Le rappel en§3.2des grandes ´etapes de la m´ethode permet de pr´eciser les notions fon-damentales qui seront importantes ult´erieurement, comme la d´ecomposition hors ligne–en ligne, l’algorithme glouton, l’´epaisseur de Kolmogorov et l’estimateur d’erreur a posteriori. L’´elaboration de ce dernier ainsi que son calcul pratique sont abord´es en §3.3.

Par la mˆeme occasion, nous montrons en quoi l’´equation en pression (2.39) peut se ramener `a ce cadre abstrait, du moins au niveau continu et sans d´ecomposition affine. Nous expliquons ´egalement pourquoi la m´ethode RB pr´esent´ee ne peut pas ˆetre appliqu´ee telle quelle au probl`eme pos´e au chapitre §2.

Chapitre 3. Introduction `a la m´ethode des bases r´eduites en formulation primale

3.1 Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es

Les probl`emes qui nous int´eressent sont les EDPs elliptiques lin´eaires dont l’op´erateur est sym´etrique, coercif et d´epend d’un param`etre. L’hypoth`ese de sym´etrie ne restreint en aucune fa¸con l’usage de la m´ethode RB, mais rend sa pr´esentation plus agr´eable grˆace `a la notion d’´energie.

3.1.1 Formulation primale abstraite

Soit Q un espace de Hilbert dont on d´esigne par (·, ·)Q ou (·, ·) le produit scalaire et par k · kQ ou k · k la norme. Appelons ⌅ ⇢ R^P l’ensemble o`u ´evoluent les param`etres, chacun ayant P 1 composantes. Le probl`eme est alors caract´eris´e par la donn´ee, en chaque param`etre ⇠ 2 ⌅,

• d’une forme bilin´eaire a(·, ·; ⇠) : Q ⇥ Q ! R sym´etrique, continue et coercive, c’est-`a-dire qu’il existe deux r´eels a(⇠) et ↵a(⇠) strictement positifs tels que

a(p, q; ⇠) = a(q, p; ⇠), (3.1a)

a(p, q; ⇠) a(⇠)kpkQkqkQ, (3.1b)

a(q, q; ⇠) ↵_a(⇠)kqk²Q, (3.1c)

pour tout (p, q)2 Q ⇥ Q ;

• d’une forme lin´eaire b(·; ⇠) : Q ! R continue, c’est-`a-dire qu’il existe une constante

b(⇠) telle que

b(q) b(⇠)kqkQ, (3.2)

pour tout q 2 Q.

L’objet de notre probl`eme est de trouver, pour chaque param`etre ⇠ 2 ⌅, un vecteur p(⇠)2 Q v´erifiant

a(p(⇠), q; ⇠) = b(q; ⇠), 8q 2 Q. (3.3)

En vertu du lemme de Lax-Milgram, ce probl`eme est bien pos´e : on peut ´etablir l’existence, l’unicit´e et la continuit´e de la solution au sens suivant.

Th´eor`eme 3.1. Sous les hypoth`eses (3.1)–(3.2), le probl`eme (3.3) admet une unique so-lution. Celle-ci v´erifie de surcroˆıt l’estimation de stabilit´e

kp(⇠)kQ  _↵¹

a(⇠)kb(·; ⇠)kQ0  _↵^b(⇠)

a(⇠)^{. (3.4)}

D´emonstration. VoirPatera and Rozza [2006] par exemple.

Une autre mani`ere de pr´esenter le probl`eme (3.3) consiste `a voir cette ´equation comme la condition d’optimalit´e de la minimisation d’une fonctionnelle sur Q, en l’occurrence

p(⇠) = arg min

q2QE(q; ⇠), (3.5)

o`u

E(q; ⇠) = ¹

2^{a(q, q; ⇠) b(q; ⇠) (3.6)}

repr´esente une ´energie. Sous les hypoth`eses (3.1)–(3.2), l’´energie E est une fonctionnelle continue strictement convexe sur Q, d’o`u l’existence et l’unicit´e du minimum.

3.1. Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es

La fonctionnelle d’´energie E(·; ⇠) est `a ne pas confondre avec une notion voisine, appel´ee norme d’´energie, not´ee|||·||| ou |||·|||_⇠ et d´efinie par

|||q|||_⇠=p

a(q, q; ⇠) (3.7)

pour tout q2 Q. Les propri´et´es de continuit´e et de coercivit´e de a(·, ·; ⇠) ´enonc´ees en (3.1)

impliquent que p

↵a(⇠)kqkQ |||q|||_⇠^p a(⇠)kqkQ,

pour tout q2 Q, ce qui montre que les deux normes |||·|||_⇠etk·kQsont ´equivalentes. Il faut toutefois noter que |||·|||⇠ d´epend du param`etre ⇠ et son coˆut d’´evaluation pratique est `a prendre en compte lorsque le param`etre varie. L’avantage th´eorique de la norme d’´energie est que, vis-`a-vis d’elle, la continuit´e et la coercivit´e de a(·, ·; ⇠) s’´ecrivent

a(p, q) |||p|||⇠|||q|||⇠, (3.8a)

a(q, q) |||q|||²_⇠, (3.8b)

pour tout (p, q) 2 Q ⇥ Q, la premi`ere in´egalit´e n’´etant autre que Cauchy-Schwarz et la seconde in´egalit´e ´etant en fait une ´egalit´e. Autrement dit, les constantes de continuit´e et de coercivit´e de a(·, ·; ⇠) sont ⌧optimales dans la norme d’´energie.

Reprenons le probl`eme en pression (2.14)

div( (sⁿ)krpⁿ⁺¹) = 0 dans ⌦, (3.9a)

pⁿ⁺¹= p_D sur _D, (3.9b)

rpn+1· n = 0 sur _N, (3.9c)

qui d´ecoule de la discr´etisation IMPIMS en temps de §2.2.1 du mod`ele (2.3)–(2.4), et demandons-nous s’il peut s’inscrire dans le cadre abstrait (3.3). Rappelons que nous envi-sageons (3.9) sur un seul pas de temps, de n `a n + 1, en supposant sⁿ connu. Rappelons aussi que la d´ependance param´etrique du probl`eme se fait par l’interm´ediaire de (sn)k selon les deux modes de param´etrisations sp´ecifi´es en§2.1.2. `A ce stade, il est important de souligner qu’en raison de l’´evolution temporelle sous-jacente, la d´ependance param´etrique de ce probl`eme est plus⌧subtile que celle des probl`emes mod`eles dans la litt´erature. Par exemple, si l’on fait d´ependre la carte de perm´eabilit´e k du param`etre ⇠, cette d´ependance a↵ecte aussi le champ de saturation s `a tous les instants pr´ec´edant n via le couplage avec l’´equation de transport. Ainsi, le param`etre ⇠ impacte (3.9) `a travers non seulement la perm´eabilit´e k mais aussi tout l’historique des mobilit´es (sn).

Commen¸cons par supposer que la donn´ee de Dirichlet est suffisamment r´eguli`ere, `a savoir p_D2 H^1/2( _D). Il existe alors une fonction p2 H¹(⌦) telle que

p = p_D sur _D, (3.10a)

rp · n = 0 sur _N, (3.10b)

au sens de la trace. Par la d´ecomposition

pⁿ⁺¹= p + p,

le probl`eme (3.9) ´equivaut `a la recherche de la partie homog`ene p v´erifiant

div( (sⁿ)krp) = div( (sn)krp) dans ⌦, (3.11a)

p = 0 sur _D, (3.11b)

Chapitre 3. Introduction `a la m´ethode des bases r´eduites en formulation primale

Le produit (sⁿ)k sera d´esormais not´e{ k}. Sur l’espace de Hilbert

Q = q2 H¹(⌦)| q_{| D} = 0 (3.12)

muni de la norme H¹ habituelle kqk²Q=

Z

⌦|rq|²+ Z

⌦|q|², on d´efinit les formes bilin´eaire et lin´eaire

a(p, q; ⇠) = Z ⌦{ k}(⇠)rp · rq, (3.13a) b(q; ⇠) = Z ⌦{ k}(⇠)rp · rq. (3.13b)

Proposition 3.1. Si la param´etrisation de la perm´eabilit´e satisfait

0 < k_m k(x; ⇠)  kM (3.14)

pour tout (x, ⇠)2 ⌦ ⇥ ⌅, ou si la param´etrisation de la viscosit´e de l’eau satisfait

0 < µ_m  µw(⇠) µM (3.15)

pour tout ⇠ 2 ⌅, alors les conditions (3.1)–(3.2) sur a(·, ·; ⇠) et b(·; ⇠) sont v´erifi´ees uni-form´ement, i.e., avec des constantes de continuit´e et de coercivit´e ind´ependantes de ⇠. D´emonstration. Dans la premi`ere param´etrisation, on a

(s) = ^krw(s) µ_w ⁺ kro(1 s) µ_o  ¹ µ_w ⁺ 1 µ_o ^{=: M}

car les perm´eabilit´es relatives de type Brooks-Corey (2.31) sont born´ees sup´erieurement par 1. Il s’ensuit que { k}(⇠)  Mk_M, d’o`u la continuit´e uniforme de a(·, ·; ⇠) et b(·; ⇠).

D’autre part, comme k_rw(·) et kro(1 ·) sont positifs et ne s’annulent pas en un mˆeme point, la fonction s 7! (s) est strictement positive sur [0, 1]. En invoquant la continuit´e sur un compact, on d´eduit l’existence d’un minorant _m > 0 pour (·). Par cons´equent, { k}(⇠) mk_m > 0. On en tire, avec l’aide de l’in´egalit´e de Poincar´e, la coercivit´e uniforme de a(·, ·; ⇠). La preuve est analogue pour la deuxi`eme param´etrisation.

Sous les hypoth`eses (3.14)–(3.15), le Th´eor`eme3.1 assure l’existence et l’unicit´e de la solution p(⇠). Celle-ci r´ealise le minimum de

p(⇠) = arg min

q2Q

1

2^{a(q, q; ⇠) b(q; ⇠).} Ici, au lieu de prendre

1 2^{a(q, q; ⇠) b(q; ⇠) =} 1 2 Z ⌦{ k}(⇠)|rq|²+ Z ⌦{ k}(⇠)rp · rq comme fonctionnelle d’´energie, il est loisible de lui ajouter la constante ¹₂R

⌦{ k}(⇠)|rp|2

afin d’obtenir un carr´e parfait

E(q; ⇠) = ¹ 2

Z

⌦{ k}(⇠)|r(p + q)|², (3.16)

que nous retenons comme d´efinition de la fonctionnelle d’´energie sur Q. Quant `a la norme d’´energie, son carr´e vaut

|||q|||²⇠= Z

3.1. Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es

3.1.2 Approximation variationnelle ⌧haute fid´elit´e

Revenons au probl`eme abstrait (3.3). Pour tout ⇠ 2 ⌅, au lieu de minimiser la fonction-nelle d’´energie E(·; ⇠) sur tout l’espace Q de dimension infinie, comme indiqu´e en (3.5), on peut se contenter de la minimiser sur un sous-espace Q^N ⇢ Q de dimension finie N. La condition d’optimalit´e de la minimisation approch´ee

p^N(⇠) = arg min

q2QNE(q; ⇠) (3.18)

s’´ecrit simplement

a(p^N(⇠), q; ⇠) = b(q; ⇠), 8q 2 Q^N. (3.19) Toute solution p^N(⇠)2 Q^N de (3.19) est alors appel´ee approximation de Ritz-Galerkine ou approximation variationnelle conforme de la solution exacte p(⇠). Cette strat´egie d’ap-proximation est le fondement des m´ethodes d’´el´ements finis conformes [Ern and Guermond,

2004], dans lesquelles le sous-espace Q^N est associ´e `a un maillage.

En bases r´eduites, une ´eventuelle solution p^N(⇠) est aussi appel´ee approximation haute fid´elit´e ou approximation de r´ef´erence de la solution exacte p(⇠). En e↵et,N est en g´en´eral assez grand, suffisamment grand pour qu’on puisse consid´erer p^N(⇠) comme une solution num´erique⌧satisfaisante . C’est ensuite par rapport `a p<sup>N</sup>(⇠) seule — sans nul souci de la solution exacte p(⇠) — que seront compar´ees d’autres approximations suppl´ementaires. L’existence, l’unicit´e et la continuit´e par rapport au second-membre de la solution p<sup>N</sup>(⇠) du probl`eme (3.19) d´ecoulent imm´ediatement du Th´eor`eme 3.1 (Lax-Milgram), appliqu´e `a Q^N avec les mˆemes constantes de continuit´e et de coercivit´e que sur Q. Le r´esultat suivant, connu comme le lemme de C´ea, exprime la qualit´e de l’approximation de Ritz-Galerkine en fonction de celle de la projection hilbertienne.

Th´eor`eme 3.2. Pour tout param`etre ⇠ 2 ⌅ et tout sous-espace Q^N ⇢ Q, on a kp^N(⇠) p(⇠)kQ^p a(⇠)/↵a(⇠) min

q2QNkq p(⇠)kQ, (3.20a) p^N(⇠) p(⇠) _⇠= min

q2QN q p(⇠) _⇠. (3.20b)

D´emonstration. VoirPatera and Rozza [2006]. La constantep

a(⇠)/↵_a(⇠) au second-membre de (3.20a) ne d´epend pas deN. De ce fait, l’in´egalit´e (3.20a) relie lin´eairement l’erreur d’approximation de la m´ethode `a celle de la ⌧meilleure approximation via la projection hilbertienne sur Q<sup>N</sup>. En ´el´ements finis, il ne reste plus qu’`a demander que les espaces Q^N successifs poss`edent une propri´et´e d’approximabilit´e pour que l’erreur de projection tende vers 0 quand N tend vers l’infini. L’approximation de Ritz-Galerkine jouit d’autres propri´et´es en rapport avec l’´energie, que r´esume l’´enonc´e suivant. Soient

E(⇠) = E(p(⇠); ⇠) E^N(⇠) = E(p^N(⇠); ⇠)

les niveaux d’´energie correspondant `a la solution exacte et `a la solution approch´ee. Proposition 3.2. Pour tout sous-espace Q^N ⇢ Q, on a

E^N(⇠) E(⇠) = ¹

2 ^{pN(⇠) p(⇠)}

2

Chapitre 3. Introduction `a la m´ethode des bases r´eduites en formulation primale

Pour deux sous-espaces imbriqu´es Q^N1 ⇢ Q^N2 ⇢ Q donnant les approximations respec-tives p^N1(⇠) et p^N2(⇠), on a

E(⇠) E^N2(⇠) E^N1(⇠). (3.22)

D´emonstration. Les in´egalit´es (3.22) sont une cons´equence directe du principe de mi-nimisation d’´energie (3.5) et (3.18) : minimiser sur un ensemble plus grand conduit `a une valeur plus petite. Pour prouver l’´egalit´e (3.21), on remarque que comme la fonctionnelle d’´energie est quadratique, elle co¨ıncide avec son d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2. En omettant le param`etre ⇠ pour all´eger l’´ecriture, on a ainsi

E^N E =hrE(p), p^N piQ0⇥Q+¹

2hr²E(p)· (p^N p), p^N piQ0⇥Q

= a(p, p^N p) b(p^N p) + ¹

2^{a(pN p, pN p).}

Par la formulation variationnelle (3.3) appliqu´ee `a q = p^N p, les deux premiers termes du second-membre s’´eliminent. Le terme restant n’est autre que ¹₂ p^N p ².

D´etaillons le calcul e↵ectif de la solution de r´ef´erence. Pour cela, soit{ I}, 1  I N, une base de Q^N. On y d´ecompose p^N(⇠) en

p^N(⇠) = N X

J =1

p^N_J(⇠) _J

et on encapsule l’ensemble des coefficients p^N_J(⇠) dans le veteur

p^N(⇠) = 0 B B B @ p^N₁ p^N₂ .. . p^N_N 1 C C C A^{(⇠)2 RN.}

Proposition 3.3. Le vecteur p^N(⇠) est solution du syst`eme lin´eaire N ⇥N

A^N(⇠)p^N(⇠) = b^N(⇠), (3.23)

o`u la matrice de rigidit´e A^N(⇠) et le vecteur second-membre b^N(⇠) ont pour ´el´ements

A^N_IJ(⇠) = a( _J, _I; ⇠), (3.24a)

b^N_I (⇠) = b( _I; ⇠), (3.24b)

pour tout (I, J ) 2 {1, . . . ,N}2.

D´emonstration. Voir [Ciarlet,2002].

Reprenons le probl`eme en pression (3.9) et posons-nous la question de savoir si le sch´ema de r´ef´erence pr´esent´e en §2.2.2 peut s’interpr´eter comme ´etant l’approximation de Ritz-Galerkine du probl`eme variationnel continu (3.3) sur l’espace (3.12) avec les d´efinitions (3.13) pour a(·, ·; ⇠) et b(·; ⇠). Il s’agit plus pr´ecis´ement de savoir si, modulo la translation par p pour traiter la condition de Dirichlet p_D, la matrice Aⁿ de (2.27) peut co¨ıncider avec une matrice A^N de (3.24a) pour un certain choix de fonctions de base. La r´eponse est malheureusement n´egative. Il est connu qu’en g´en´eral, le sch´ema volume fini TPFA (2.19)–(2.23) ne peut pas ˆetre compris comme une m´ethode d’´el´ement fini telle que

3.1. Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es

d´ecrite par la Proposition 3.3. Le seul cas o`u cela s’av`ere possible se produit lorsque : (i) le maillage VF est r´egulier rectangulaire ; et (ii) les coefficients { k} sont uniformes en espace. Dans ce cas, le maillage EF est compos´e de triangles rectangles dont les sommets sont les centres des mailles VF et sur lesquels il faut utiliser les ´el´ements P1. Lorsque { k} est variable, toute la difficult´e pour un sch´ema EF est de retomber sur la moyenne harmonique (2.23a) participant au flux VF sur les faces.

L’impossibilit´e de penser le sch´ema de r´ef´erence en terme d’approximation de Ritz-Galerkine dans le cas g´en´eral ferme apparemment la porte `a tout espoir d’une application directe de la m´ethode RB traditionnelle. Cela ´etant, nous poursuivons l’expos´e de cette m´ethode RB dans le cadre abstrait afin de poser les jalons th´eoriques n´ecessaires aux chapitres qui vont suivre.

3.1.3 D´ependance affine et r´egularit´e param´etrique

Jusqu’`a pr´esent, nous n’avons requis aucune condition ni sur l’ensemble des param`etres ⌅⇢ RP, ni sur le comportement des formes a et b vis-`a-vis du param`etre ⇠2 ⌅. Nous allons maintenant ´enum´erer plusieurs hypoth`eses, qui selon le probl`eme pourront ˆetre satisfaites ou non, concernant la d´ependance param´etrique en vue de l’efficacit´e et de la pertinence de la m´ethode.

D´efinition 3.1. On dit que la forme bilin´eaire a admet une param´etrisation affine (ou est `a variables s´epar´ees) s’il existe des fonctions ✓^a_d(·) : ⌅ ! R pour d = 1, . . . , Da avec Da2 N⇤ et des formes bilin´eaires a_d(·, ·) : Q ⇥ Q ! R ind´ependantes de ⇠ telles que

a(p, q; ⇠) =

Da

X

d=1

✓_d^a(⇠) a_d(p, q), 8(p, q, ⇠) 2 Q ⇥ Q ⇥ ⌅. (3.25)

De mˆeme, on dit que la forme lin´eaire b admet une param´etrisation affine (ou est `a va-riables s´epar´ees) s’il existe des fonctions ✓_d^b(·) : ⌅ ! R pour d = 1, ..., Db avec D_b 2 N⇤ et des formes lin´eaires b_d(·) : Q ! R ind´ependantes de ⇠ telles que

b(q; ⇠) =

Db

X

d=1

✓^b_d(⇠) b_d(q), 8(q, ⇠) 2 Q ⇥ ⌅. (3.26)

En injectant (3.25)–(3.26) dans les ´egalit´es (3.24), on obtient les d´ecompositions A^N = Da X d=1 ✓_d^a(⇠)A^N_d , b^N = Db X d=1 ✓_d^b(⇠)b^N_d , (3.27)

de la matrice et du second-membre du syst`eme (3.23), avec [A^N_d ]_IJ = ad( _J, _I), 1 d  Da,

[b^N_d ]_I = b_d( _I), 1 d  Db,

pour tout (I, J ) 2 {1, . . . ,N}2. L’assemblage de ce syst`eme et sa r´esolution ⌧fine , i.e. sans aucune intervention des bases r´eduites, sont donn´es par l’Algorithme 3.1. `A ce stade, la param´etrisation affine ne semble apporter aucun gain, dans la mesure o`u l’on doit toujours travailler avec des matricesN ⇥N.

Dans la D´efinition 3.1, les constantes Da, D_b sont de pr´ef´erence petites (typiquement entre 1 et 100), car la complexit´e de la m´ethode RB d´epend explicitement de celles-ci. Nous

Chapitre 3. Introduction `a la m´ethode des bases r´eduites en formulation primale

Algorithm 3.1 Assemblage et r´esolution du probl`eme (3.23) sous l’hypoth`ese d’une pa-ram´etrisation affine pour a et b.

1: procedure p^N(⇠) = R´esoudreSyst`emeEF(A^N_d , b^N_d , ✓^a_d, ✓^b_d, ⇠)

2: A^N(⇠) = 0, b^N(⇠) = 0 3: for d = 1 : Da do 4: A^N(⇠) A^N(⇠) + ✓^a_d(⇠)A_d^N 5: end for 6: for d = 1 : D_b do 7: b^N(⇠) b^N(⇠) + ✓_d^b(⇠)b^N_d 8: end for

9: R´esoudre le syst`eme lin´eaire A^N(⇠)p^N(⇠) = b^N(⇠)

10: end procedure

supposons en outre que les fonctions scalaires ✓^a_d, ✓_d^b peuvent ˆetre ´evalu´ees rapidement. L’avantage essentiel d’une param´etrisation affine pour les formes a et b avec D_a, D_b petits et ✓a

d, ✓b

d peu coˆuteux est qu’elle permet une acc´el´eration d´ecisive de l’´etape⌧en ligne , comme ce sera expliqu´e `a la section §3.2.2 o`u l’on discutera de la d´ecomposition hors ligne–en ligne. Bien entendu, c’est une hypoth`ese fort restrictive qui n’est d’ailleurs pas v´erifi´ee par notre probl`eme en pression.

L’hypoth`ese de la param´etrisation affine vise `a assurer l’efficacit´e en temps de calcul de la m´ethode RB. D’autres hypoth`eses, que nous allons ´emettre ci-dessous, touchent au fondement mˆeme de la m´ethode RB et visent `a garantir sa pertinence. La validit´e de la m´ethode RB repose en e↵et sur le postulat que l’ensemble des solutions de r´ef´erence

U^N = p^N(⇠)2 Q^N, ⇠2 ⌅ (3.28)

n’occupe pas tout l’espace Q^N, mais incarne une vari´et´e de bien plus faible dimension (cf. Figure3.1). C’est cela qui justifie la r´eduction de la dimension du sous-espace o`u l’on cherche la solution, comme on le verra `a la section §3.2.1. Un ph´enom`ene analogue peut d´ej`a survenir au niveau continu, si l’ensemble des solutions exactes

U = p(⇠)2 Q, ⇠ 2 ⌅ (3.29)

est une vari´et´e de dimension finie au lieu d’occuper tout l’espace de dimension infinie Q.

Figure 3.1: Exemple d’espace UN induit par la d´ependance param´etrique des solutions p^N(⇠) du probl`eme (3.19).

Il est naturellement difficile de satisfaire `a coup sˆur le postulat de la faible dimension pour UN, car cela d´epend beaucoup du probl`eme consid´er´e. N´eanmoins, on peut adopter

3.1. Probl`emes elliptiques lin´eaires param´etr´es

des hypoth`eses g´en´eriques pour rendre l’ensembleU<sup>N</sup> compact dans Q<sup>N</sup>. Pour commencer, on suppose que l’ensemble des param`etres ⌅ est un compact dansRP et que sa dimension est elle-mˆeme petite, `a savoir P ⌧ N. Ensuite, on s’assure que l’application ⇠ 7! p^N(⇠) est continue en imposant une certaine r´egularit´e param´etrique sur les formes bilin´eaire a et lin´eaire b.

D´efinition 3.2. On dit que la forme bilin´eaire param´etr´ee a est lipschitzienne par rapport `

a ⇠ uniform´ement en (p, q) s’il existe une constante Lip(a) > 0 telle que

|a(p, q; ⇠) a(p, q; ⇠⁰)|  Lip(a)kpkQkqkQk⇠ ⇠⁰k, 8(⇠, ⇠⁰, p, q)2 ⌅²⇥ Q². De mˆeme, on dit que la forme lin´eaire param´etr´ee b est lipschitzienne par rapport `a ⇠ uniform´ement en q s’il existe une constante Lip(b) > 0 telle que

|b(q; ⇠) b(q; ⇠⁰)|  Lip(b)kqkQk⇠ ⇠⁰k, 8(⇠, ⇠⁰, q)2 ⌅²⇥ Q.

Dans la D´efinition3.2, les constantes Lip(a) et Lip(b) ne d´ependent ni de ⇠ ni de (p, q). Le caract`ere lipschitzien des formes a et b entraˆıne celui de la solution de r´ef´erence p^N, comme le montre le Lemme suivant.

Lemme 3.1. Supposons que :

• les formes a et b sont lipschitziennes par rapport `a ⇠ uniform´ement en p et q ; • les constantes de continuit´e a(⇠), b(⇠) et celle de coercivit´e ↵a(⇠) sont uniform´ement

born´ees, c’est-`a-dire qu’il existe des nombres _a^⇤, ^⇤_b et ↵^⇤> 0 tels que

a(⇠) a^⇤, _b(⇠) b^⇤, ↵a(⇠) ↵^⇤, 8⇠ 2 ⌅. (3.30) Alors, la solution de r´ef´erence p^N(⇠) du probl`eme (3.19) est lipschitzienne par rapport `a ⇠. Autrement dit, il existe une constante Lip(p) > 0 telle que

kp^N(⇠) p^N(⇠⁰)kQ Lip(p)k⇠ ⇠⁰k, 8(⇠, ⇠⁰)2 ⌅². (3.31) Il en est de mˆeme avec la solution exacte p(⇠), avec la mˆeme constante Lip(p).

D´emonstration. Voir [Eftang et al.,2010].

Dans le Lemme3.1, la constante Lip(p) est ind´ependante de ⇠. Le caract`ere lipschitzien de la solution de r´ef´erence p<sup>N</sup>, combin´e `a d’autres hypoth`eses d´ej`a mentionn´ees, implique la compacit´e deU^N comme le pr´ecise le Th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3.3. Supposons que :

• l’ensemble des param`etres ⌅ est un compact de RP, avec P⌧N ;

• les formes a et b sont lipschitziennes par rapport `a ⇠ uniform´ement en p et q ; • les constantes de continuit´e a(⇠), _b(⇠) et celle de coercivit´e ↵_a(⇠) sont uniform´ement

born´ees au sens de (3.30).

Alors, la vari´et´e des solutions de r´ef´erenceUN est compacte dans Q^N. De mˆeme, la vari´et´e des solutions exactes U est compacte dans Q.

D´emonstration. La preuve est une cons´equence directe du r´esultat suivant : si u : X ! Y est une fonction continue d’un espace m´etrique compact X dans un espace m´etrique Y , alors u(X ) est un ensemble compact de Y . Ici, X = ⌅⇢ R^P est un sous-ensemble compact de RP et u : ⇠ 7! p^N(⇠) 2 Q^N = Y est une application continue en vertu du Lemme3.1. Il s’ensuit U^N = p^N(⌅) est compact dans Q^N. La d´emonstration pourU est analogue.

Chapitre 3. Introduction `a la m´ethode des bases r´eduites en formulation primale

Sous l’hypoth`ese de param´etrisation affine (D´efinition 3.1), imposer que les fonctions ✓^a_d(⇠) et ✓^b_d(⇠) soient lipschitziennes, i.e.

|✓d^a(⇠) ✓_d^a(⇠⁰)|  Lip(ad)k⇠ ⇠⁰k, 8(⇠, ⇠⁰, d)2 ⌅²⇥ {1, . . . , Da}, |✓d^b(⇠) ✓_d^b(⇠⁰)|  Lip(bd)k⇠ ⇠⁰k, 8(⇠, ⇠⁰, d)2 ⌅²⇥ {1, . . . , Db},

suffit pour garantir que les formes bilin´eaire a et lin´eaire b sont lipschitziennes par rap-port `a ⇠. Par ailleurs, si les fonctions ✓a

d et ✓b

d sont di↵´erentiables, on peut conclure `a la di↵´erentiabilit´e en ⇠ des ´el´ements deU<sup>N</sup> et deU [Quarteroni et al.,2016, Prop. 5.2]. Ainsi, la r´egularit´e des fonctions ✓<sup>a</sup><sub>d</sub> et ✓<sub>d</sub><sup>b</sup> par rapport au param`etre ⇠ se transf`ere aux ensembles UN etU.

3.2 Principe de la m´ethode RB

En adh´erant au paradigme de la r´egularit´e param´etrique de l’ensemble U^N et de sa faible dimension par rapport `a N, on peut raisonnablement esp´erer approcher chaque ´el´ement p^N(⇠)2UN par une combinaison lin´eaire de quelques ´el´ements de UN astucieu-sement choisis.

3.2.1 Approximation variationnelle ⌧bas coˆut

La m´ethode RB explore cette id´ee en proposant comme nouveau sous-espace d’ap-proximation

Q^N= Vect p^N(⇠₁), . . . , p^N(⇠_N) , (3.32) o`u les p<sup>N</sup>(⇠I) 2 Q<sup>N</sup>, 1  I  N, appel´ees instantan´es ou snapshots, sont les solutions de r´ef´erence pour N valeurs du param`etre {⇠1, . . . , ⇠_N} ⇢ ⌅. On suppose ´evidemment que ces instantan´es sont lin´eairement ind´ependants et que N⌧ N. Le mode de s´election des param`etres ⇠I, 1 I  N, sera explicit´e plus tard, `a la section §3.2.3.

Pour tout ⇠2 ⌅, au lieu de minimiser la fonctionnelle d’´energie E sur QN pour obtenir p^N(⇠), comme indiqu´e en (3.18), on peut se contenter de la minimiser sur le sous-espace Q^N ⇢ Q^N de dimension N⌧N. La condition d’optimalit´e de la minimisation approch´ee

p^N(⇠) = arg min

q2QNE(q; ⇠) (3.33)

s’´ecrit simplement

a(p^N(⇠), q; ⇠) = b(q; ⇠), 8q 2 Q^N. (3.34) Toute solution p^N(⇠) 2 QN de (3.34) est alors appel´ee approximation de Ritz-Galerkine ou approximation variationnelle base r´eduite ou approximation variationnelle bas coˆut de la solution de r´ef´erence p^N(⇠).

L’existence, l’unicit´e et la continuit´e par rapport au second-membre de la solution p^N(⇠) du probl`eme (3.34) d´ecoulent imm´ediatement du Th´eor`eme 3.1 (Lax-Milgram), appliqu´e `

a QN. Ici, dans l’application du Th´eor`eme 3.1 tout comme dans les ´enonc´es qui vont suivre, il est judicieux de remplacer les constantes de continuit´e et coercivit´e a(⇠), _b(⇠) et ↵_a(⇠) sur Q par leurs homologues _a^N(⇠), _b^N(⇠) et ↵^N_a (⇠) sur Q^N, d´efinies comme les

⌧meilleurs nombres possibles tels que

a(p, q; ⇠) a^N(⇠)kpkkqk, (3.35a)

a(q, q; ⇠) ↵^N_a (⇠)kqk², (3.35b)

3.2. Principe de la m´ethode RB

pour tout (p, q)2 Q^N⇥ Q^N. Ce n’est pas tellement parce que les constantes sur Q^N sont plus⌧resserr´ees que celles sur Q, `a savoir

sup (p,q)2(QN\{0})2 a(p, q; ⇠) kpkkqk ^{= aN(⇠) a(⇠) =}(p,q)2(Q\{0})^sup 2 a(p, q; ⇠) kpkkqk ^, inf q2QN\{0} a(q, q; ⇠) kqk2 = ↵^N_a (⇠) ↵_a(⇠) = inf q2Q\{0} a(q, q; ⇠) kqk2 sup q2QN\{0} b(q; ⇠) kqk ^{= bN(⇠) b(⇠) =}q2Q\{0}^sup b(q; ⇠) kqk ^.

La vraie raison pour le changement des constantes est que, en tant qu’approximation de p^N(⇠)2 Q^N, la solution base r´eduite p^N(⇠) ne doit voir que ce qui se passe dans Q^N, l`a o`u se trouve sa r´ef´erence. Elle n’a pas `a avoir des informations sur Q, car sa vocation n’est pas d’aller vers la solution exacte.

De mani`ere analogue au Th´eor`eme 3.2, l’erreur entre la solution base r´eduite et la

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