Alignement ` a pente moiti´ e
Soit le triangleABC, son point de LemoineLetMa,Mb,Mcles milieux des cˆot´esBC,CA,AB.
La m´ediatrice de BC coupe AC en D et AB en D0. Les parall`eles `a BC passant par DetD0 coupent respectivementAB enE etAC enE0.
Montrer que les pointsMa,E,E0etLsont align´es et que cette droite est aussi l’axe radical des cercles (BMaMb) et (CMaMc).
Justifier le titre de l’exercice.
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Solution synth´ etique (avec l’aide de Jean-Louis Aym´ e)
1/Ma, E etE0 sont align´es :
L’´egalit´eBMa =MaC, le parall´elismeBC//ED//E0D0 et le th´eor`eme de Thal`es appliqu´e d’abord `aBMaD0, puis `a CMaE0 entrainent :
ED
BMa = DD0
D0Ma = ED MaC
2/ Le point de Lemoine :
A0 est un point sur la m´ediatrice deBC, A0C coupeD0E0enB0 :
⇒ X =AA0∩BB0appartient `aEMa.
Ma,XetE0sont align´es en vertu du th´eor`eme de Pappus appliqu´e `a l’hexagone D0B0BCAA0D0 construit sur les droitesBAD0 etA0CB0.
LorsqueA0B0C0est le triangle tangentiel deABC,Xest le point de Lemoine deABC.
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3/ La pente (d´emonstration de Trajan Lalesco) :
La sym´ediane BL est le lieu des points dont les distances aux cˆot´es BC et AB sont dans le rapport des hauteurs issues de C et de A, soit aussi sin(A)/sin(b C).b
La tangente enBau cercle circonscrit poss`ede la mˆeme propri´et´e : A\0BC =Ab etABC\0= Cb ⇒ rapport des distances aux cˆot´es=sin(A)/sin(b C).b Donc le faisceau de droites (BC, BA, BA0, BL) est harmonique.
Par report sur la droiteAA0, il en est de mˆeme du faisceau (MaB, MaA, MaA0, MaL) et, comme la hauteurAHaest parall`ele `a MaA0, l’intersection de MaL avec la hauteur AHa est au milieu du segment. La pente de MaL par rapport `a BC est la moiti´e de celle de la m´edianeMaA, d’o`u le titre de l’exercice.
L’´enonc´e traditionnel est : la droite qui joint le milieu d’un cˆot´e au point de Lemoine coupe la hauteur issue du sommet oppos´e en son milieu.
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4/
L’axe radical :
U est la 2`eme intersection deMbMc avecΓb V est la 2`eme intersection deMbMc avecΓc
A00 est le sym´etrique de Apar rapport `aBC, J =AA00∩MbMc
Sur Γb : BU M\b =π−M\bMaB=CBA\ Sur Γc : M\cV C =π−M\cMaC =ACB\
A00U V est semblable `a ABC, donc homoth´etique deA00BC (centreA00, rap- port 3/2)
J U = 3/2BHa J Mc = 1/2BHa J V = 3/2HaC J Mb = 1/2HaC
J a mˆeme puissance par rapport `a Γb etΓc ⇒J ∈MaT Or J est le milieu deAHa, donc l’axe radical passe parL.
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