Enonc´e noD233 (Diophante) Carr´es en cascade
Sur les cˆot´esAB,BCetACd’un triangleABC, on construit respectivement les carr´es int´erieursABDE,BCF GetACHI dont les centres sont les points J,K etL. On d´esigne parM,N etP les milieux des segmentsBC,DH et EI. Le point Qest le sym´etrique de N par rapport `a EI.
D´emontrer que les quadrilat`eres J M LP,BN CK etEN IQ sont tous trois des carr´es.
Nota : le carr´eABDE (et alii) est dit int´erieur si les trois pointsC,DetE sont du mˆeme cˆot´e par rapport `a AB.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille dans le plan complexe, en notanta, b, . . . , qles affixes des points A, B, . . . , Q; i ´etant l’affixe du point I, je note u pour √
−1, tel que la multiplication par u exprime une rotation de π/2 dans le sens direct. Le triangleABC est lui-mˆeme suppos´e de sens direct.
Les d´efinitions de l’´enonc´e se traduisent par les relations
d=b−u(a−b) =−ua+ (1 +u)b,e=a+d−b= (1−u)a+ub, et de mˆeme f =ub+ (1 +u)c,g= (1−u)b+uc,h=ua+ (1−u)c,i= (1 +u)a−uc.
Ensuitej = (a+d)/2 = (1−u)a/2 + (1 +u)b/2,k= (1−u)b/2 + (1 +u)c/2, l= (1 +u)a/2 + (1−u)c/2,
m= (b+c)/2,n= (d+h)/2 = (1 +u=b/2 + (1−u)c/2, p= (e+i)/2 = a+i(b−c)/2.
On voit que
(1−u)a/2 +ub/2−c/2 =p−l=j−m=−u(l−m),
ce qui montre que J M LP est un parall´elogramme, et que J M L est un triangle isoc`ele rectangle enM; es deux propri´et´es font deJ M LP un carr´e.
On a de mˆeme (1−u)(b−c)/2 =b−n=c−k =u(c−n), donc BN CK est un parall´elogramme, et BN C est un triangle isoc`ele rectangle en N; BN CK est un carr´e.
Enfin i−n= (1 +u)(2a−b−c)/2 =u(e−n), le triangle EN I est isoc`ele rectangle enN;EI est la diagonale d’un carr´e ayant pour autres sommets N etQ, sym´etrique de N par rapport `a EI.
1
