Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Montrer que la formule f(x) = R∞

0 e^−txsin(t³x)dt d´efinit une fonction de classeC^∞ sur ]0,∞[.

Exercice 2. Pourx >0, on posef(x) :=R∞ 0

cost

1+t² e^−xtdt. Montrer quef est de classe C² sur ]0,∞[, et solution d’une ´equation diff´erentielle “int´eressante” `a d´eterminer.

Exercice 3. Le but de l’exercice est de calculer l’int´egraleI :=R

Re^−t2/2dt.

(1) Pour x ∈ R, on pose f(x) := R∞ 0

e−x2(1+t2)/2

1+t² dt. Montrer que f est de classe C¹ surR, et qu’on a f⁰(x) = −J e^−x2/2, o`u J =R∞

0 e^−t2/2dt.

(2) En d´eduire la valeur de J, puis celle de I.

Exercice 4. Dans cet exercice, on donne une m´ethode pour calculer, pour tout α >0, la valeur de l’int´egrale

I_α = Z

R

e^−αt2dt .

(1) On d´efinit f :R⁺→R par f(x) = Z ∞

0

e^−xt2 1 +t² dt.

(a) Justifier la d´efinition, et montrer que f est continue sur R⁺. (b) Calculer f(0) et d´eterminer lim_x→∞f(x).

(c) Montrer quefest d´erivable sur ]0,∞[ et v´erifie une ´equation diff´erentielle du type f⁰(x)−f(x) = ^√c_x, o`u c est une constante qu’on exprimera en fonction de I₁.

(d) R´esoudre l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente, puis calculerI₁. (2) Calculer I_α pour tout α >0.

Exercice 5. (R´egularit´e d’une transform´ee de Fourier)

Soit f :R→C une fonction int´egrable, et soit ˆf sa transform´ee de Fourier, fˆ(x) =

Z

R

f(t)e^−ixtdt . (1) Montrer que la fonction ˆf est continue.

(2) Soit r∈N^∗. On suppose que la fonction t7→t^rf(t) est int´egrable sur R. (a) Montrer que t^kf(t) est int´egrable sur R pour toutk ∈ {1, . . . , r}.

1

(b) Montrer que ˆf est de classeC^r, et donner une formule pour ses d´eriv´ees.

Exercice 6. (transform´ee de Fourier de la gaussienne)

Soit g : R → R la fonction d´efinie par g(t) = e^−t2/2. Le but de l’exercice est de d´eterminer la transform´ee de Fourier de g.

(1) Justifier que g est int´egrable sur R et que ˆg est de classe C¹ sur R. (2) Montrer que ˆg est solution de l’´equation diff´erentielle y⁰(x) =−xy(x).

(3) D´eterminer ˆg.

Exercice 7. Le but de l’exercice est de d´eterminer la transform´ee de Fourier de la fonction f :R→R d´efinie par f(t) = _1+t¹2.

(1) Pour n ∈ N^∗, on d´efinit g_n : R → R par g_n(x) = Rn

−n e^−itx

1+t² dt. Montrer que lesg_n sont de classe C¹, et que la suite (g_n⁰) converge uniform´ement sur tout intervalle [a,∞[,a >0.

(2) D´eduire de (1) que la fonction ˆf est de classe C¹ sur ]0,∞[, et donner une formule pour ˆf⁰(x). Montrer ensuite que pour tout x >0, on a

fˆ⁰(x) = Z

R

−iu

u²+x² e^−iudu .

(3) Montrer que ˆfest deux fois d´erivable sur ]0,∞[ et y v´erifie l’´equation diff´erentielle fˆ⁰⁰ = ˆf.

(4) Montrer qu’on a ˆf(x) = πe^−|x| pour tout x∈R.

Exercice 8. Pour x≥0, on poseF(x) =R∞ 0

1−e^−t2x t² dt.

(1) Justifier la d´efinition, et montrer que F est continue `a droite en 0.

(2) Montrer que F est d´erivable sur ]0,∞[ et calculer F⁰(x) pour x >0.

(3) Calculer F(x) pour tout x≥0.

Exercice 9. En utilisant le th´eor`eme de d´erivation des int´egrales `a param`etres, montrer que pour tout λ > 0, on a R∞

0

e^−x−e^−λx

x dx = logλ. En d´eduire, pour a, b >0, la valeur de l’int´egraleI(a, b) :=R∞

0

e^−ax−e^−bx

x dx.

Exercice 10. Le but de l’exercice est de calculerI_n :=R∞ 0

dt

(1+t²)ⁿ pour toutn ∈N^∗. (1) Pourλ >0, on posef(λ) := R∞

0 dt

λ+t²·Montrer que la fonctionf est de classe C^∞ sur ]0,∞[ et trouver une relation entre I_n etf⁽ⁿ⁻¹⁾(1).

(2) Calculer directement f(λ) en utilisant un changement de variable.

(3) Calculer I_n pour toutn ∈N^∗.

Exercice 11. Calculer f(α) = R∞

0 e^−αtdt pour α > 0, et en d´eduire la valeur de I_n=R∞

0 tⁿe^−tdt pour toutn ∈N. Exercice 12. On rappelle queR

Re^−t2/2dt=√

2π. Calculerf(x) =R

Re^−xt2/2dt pour x >0, et en d´eduire la valeur de I_k :=R

Rt^2ke^−t2/2dt pour tout k∈N. Exercice 13. Montrer que pour tout c≥0, on a

Z ∞

0

e^−c/x2e^−x2/2dx= rπ

2e⁻

√ 2c.

Exercice 14. Calculer F(t) = R+∞

0

log(1+t²x²)

1+x² dx pour tout t∈R. Exercice 15. Calculer l’int´egraleI :=R1

0 x−1

logxdxen consid´erant la fonctionf d´efinie sur ]0,∞[ par f(α) := R1

0 x^α−1

logx dx.

Exercice 16. (fonction Gamma, 1) Pour x >0, on pose

Γ(x) = Z ∞

0

t^x−1e^−tdt . (1) Justifier la d´efinition.

(2) Montrer que la fonction Γ est de classe C^∞ sur ]0,∞[.

(3) D´eterminer limx→0⁺Γ(x).

(4) Montrer que la fonction log Γ est convexe.

(5) Trouver une relation entre Γ(x+1) et Γ(x), et en d´eduire la valeur de Γ(n+1) pourn ∈N.

Exercice 17. (fonction Gamma, 2)

On garde les notations de l’Exercice 16. Le but de l’exercice est de montrer que pour tout x >0, on a

Γ(x) = lim

n→∞

n!n^x

x(x+ 1). . .(x+n)· (1) Pour n ∈ N et x > 0, on pose J_n(x) = R1

0 u^x−1(1−u)ⁿdu. Trouver une relation entreJn(x) et Jn−1(x+ 1) pourn ≥1, et en d´eduire Jn(x) pour tout n∈N.

(2) Pourn ∈Net x >0, calculer l’int´egrale Rn

0 t^x−1 1−_n^tn

dt.

(3) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 18. (fonction Gamma, 3)

On garde les notations de l’Exercice 16. Le but de l’exercice est d’´etablir laformule de Stirling, qui donne un ´equivalent de Γ(x+ 1) quand x→ ∞ :

Γ(x+ 1)∼x^xe^−x√ 2πx .

(1) Montrer que pour tout x > 0, on a Γ(x+ 1) = x^xe^−x√ x R

Rg(x, u)du, o`u g(x, u) = 0 si√

x≤ −uetg(x, u) = exp

xlog 1 + ^√u_x

−u√ x

si√

x >−u.

(2) Pouru >0, d´eterminer sup_x≥1g(x, u); et pouru <0, d´eterminer sup_x>0g(x, u).

(3) D´emontrer la formule de Stirling.

Exercice 19. Soitg : [0, c[→Cune fonction bor´elienne continue en 0, avecg(0) 6= 0.

(1) On suppose qu’on a Rc

0 e^−λu|g(u)|du <∞ pourλ >0 assez grand.

(a) Montrer que pour tout δ ∈]0, c[, on a Rb

δ e^−λug(u)du = o ¹_λ

quand λ → ∞.

(b) D´eterminer un ´equivalent de Rc

0 e^−λug(u)du quand λ→ ∞.

(2) On suppose qu’on a Rc

0 e^−λu2|g(u)|du <∞ pourλ >0 assez grand.

(a) Montrer que pour tout δ ∈]0, c[, on a Rc

δ e^−λu2g(u)du = o √1

λ

quand λ → ∞.

(b) D´eterminer un ´equivalent de Rc

0 e^−λu2g(u)du quand λ→ ∞.

Exercice 20. (m´ethode de Laplace )

Soientϕ: [a, b[→Rune fonction de classeC¹etf : [a, b[→Cune fonction bor´elienne.

On suppose que la fonction t 7→ e^−λϕ(t)f(t) est int´egrable sur [a, b[ pourλ > 0 assez grand, et on pose

F(λ) = Z b

a

e^−λϕ(t)f(t)dt .

(1) On suppose qu’on a ϕ⁰(t)>0 pour tout t∈[a, b[, et que f est continue en a avecf(a)6= 0.

(a) Montrer que le changement de variable u=ϕ(t)−ϕ(a) permet d’´ecrire F(λ) =

Z c

0

e^−λug(u)du ,

o`u c est `a d´eterminer et g est une fonction continue sur [0, c[ telle que g(0) = _ϕ^f(a)0(a)·

(b) En d´eduire, `a l’aide de l’Exercice 19, qu’on a l’´equivalent suivant quand λ → ∞:

F(λ)∼ f(a) ϕ⁰(a)

e^−λϕ(a)

λ ·

(2) On suppose queϕest de classeC², avecϕ⁰(t)>0 pour toutt∈]a, b[,ϕ⁰(a) = 0 etϕ⁰⁰(a)>0. Enfin on suppose toujours quefest continue enaavecf(a)6= 0.

En utilisant le changement de variable u = p

ϕ(t)−ϕ(a), montrer qu’on a l’´equivalent suivant quand λ→ ∞:

F(λ)∼ rπ

2

f(a) pϕ⁰⁰(a)

e^−λϕ(a)

√λ ·

Exercice 21. Utiliser l’Exercice 20 pour donner un ´equivalent de R∞

x e^−t2dt quand x→ ∞.

Exercice 22. Utiliser l’Exercice 20 pour donner un ´equivalent de l’int´egrale de Wallis W_n=R^π₂

0 (cost)ⁿdt quand n → ∞.

Exercice 23. D´eterminer un ´equivalent de l’int´egrale I_n dans les cas suivants.

(1) I_n =R1

−1(1−t²)ⁿdt.

(2) I_n =R1

0[log(1 +x)]ⁿdt.

(3) I_n =Rπ

0 tⁿsint dt.

Exercice 24. Montrer que pourx >0, on a Γ(x+ 1) =x^x+1

Z ∞

0

e^{−x(u−logu)}du . En d´eduire la formule de Stirling : Γ(x+ 1)∼x^xe^−x√

2πxquand x→ ∞.

Exercice 25. (transform´ee de Laplace, 1)

Soit f : [0,∞[→ C une fonction bor´elienne. On suppose que que pour tout λ > 0, la fonction t 7→ e^−λtf(t) est int´egrable sur [0,∞[; et on d´efinit une fonction Lf : ]0,∞[→C par

Lf(λ) :=

Z ∞

0

f(t)e^−λtdt .

(On dit que Lf est la transform´ee de Laplace de la fonction f.)

(1) Montrer que pour tout ε >0 et pour tout k ∈ N, la fonction t 7→ t^kf(t)e^−εt est int´egrable sur [0,∞[.

(2) En d´eduire que la fonction Lf est de classe C^∞ sur ]0,∞[, et donner une formule pour ses d´eriv´ees.

Exercice 26. (transform´ee de Laplace, 2)

Soit f : [0,∞[→ C une fonction bor´elienne une fonction bor´elienne admettant une transform´ee de Laplace. Montrer que Lf(λ)→0 quand λ→ ∞.

Exercice 27. (transform´ee de Laplace, 3)

Soit f : [0,∞[→ C une fonction continue admettant une transform´ee de Laplace.

On suppose que I := R∞

0 f(t)dt existe en tant qu’int´egrale g´en´eralis´ee. Le but de l’exercice est de montrer que Lf(λ) tend vers I quand λ→0⁺.

(1) Pour x ≥ 0, on pose F(x) := Rx

0 f(t)dt. Montrer que pour tous λ > 0 et X ≥0, on aRX

0 f(t)e^−λtdt =F(X)e^−λX +λ RX

0 F(t)e^−λtdt.

(2) Montrer que pour toutλ >0, on aLf(λ) = R∞ 0 F ^u_λ

e^−udu.

(3) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 28. Le but de l’exercice est de calculer l’int´egrale I :=R∞ 0

sint t dt.

(1) Rappeler pourquoi I existe en tant qu’int´egrale g´en´eralis´ee.

(2) Soit f : [0,∞[→ R d´efinie par f(t) := ^sint_t (avec f(0) = 1). Justifier que f admet une transform´ee de Laplace, puis calculer (Lf)⁰(λ) pour tout λ >0.

(3) Calculer Lf(λ) pour tout λ >0.

(4) D´eterminer la valeur de I en utilisant l’Exercice 27.