a 1 , ..., a n sontstritementpositifs. 0nnote [a 0 , a 1 , ..., a n ] lerationnel

Mots lés: Frationsontinues,réseaux,onvexité.

Lejuryn'exigepasuneompréhension exhaustivedutexte. Vousêteslaissé(e)

libre d'organiservotre disussion omme vousl'entendez. Il vous est onseillé

de mettreen lumièrevosonnaissanesàpartirdul onduteuronstitué par

letexte. Lejurydemandequeladisussionsoitaompagnéed'exemplestraités

sur ordinateur. Ilestsouhaitablequevousorganisiezvotreprésentation omme

si le jury n'avait pas onnaissane du texte. Le jury aura néanmoins le texte

sousles yeuxpendantvotreexposé.

Détermination du onvexe intérieurd'un polygone en géométrie disrète

1. Introdution

L'implémentation informatiqued'objetsgéométriquesimposeleursapproxima-

tions pardes objetsdisrets (ne ontenant qu'un nombre ni de points). Par

exemple,pourreprésenterleplaneulidien,unegrille

[ − a, a] × [ − b, b] ∩ Z ²

^sera

utilisée. Cesobjetsdisretsn'ontpaslesmêmespropriétésqueleurshomologues

ontinus et'est le but de lagéométrie disrète d'étudier théoriquement leurs

spéiités. Onprésenteiilaméthodeutiliséepourdéterminerlessommetsdu

onvexeintérieurd'unpolygonedisret.

2. Développementd'un réel en frationsontinues

Dénition : Soit

(a 0 , a 1 , ..., a n )

^{une familled'entiers de ardinal}

n + 1

^{, où}

a 1 , ..., a n

^{sontstritementpositifs. 0nnote}

[a 0 , a 1 , ..., a n ]

^lerationnel

[a 0 , a 1 , ..., a n ] = a 0 + 1 a 1 + _a ¹

2

+

a ¹ 3 +...

= a 0 + 1 [a 1 , ..., a n ] .

Untelrationnelest appelé unefrationontinue nie.

Proposition1 Soit

(a i ) i∈N

^{une familleinnie d'entiersoùles}

a i

^sontstrite-

ment positifs, dés que

i > 1

^{. Alors la suite}

([a 0 , a 1 , ..., a n ]) i∈N

^{onverge dans}

R .

Dénition: Soit

(a i ) i∈N

^{unefamilleinnied'entiersoùles}

a i

^{sontstritement}

positifs, désque

i > 1

^etsoit

x

^{lalimite delasuite}

([a 0 , a 1 , ..., a n ]) n∈N

^{On dit}

x [a 0 , a 1 , a 2 , ...]

Théorème 1 Toutnombreréeladmetundéveloppementenfrationsontinues.

On montre plus préisément qu'un tel développement est unique sauf lorsque

le nombre est rationnel. Dans e as, il admet deux développements en fra-

tionsontinues, l'un ourt

[a 0 , a 1 , ..., a n ]

^ave

a n > 1

^{, l'autre long alors égalà}

[a 0 , a 1 , ..., a n − 1, 1]

^.

L'algorithme pour déterminer le développement en frations ontinues (DFC)

d'unréel

x

^{peutsedérire}informellementdelafaçon suivante:

Développementenfrationsontinuesdurationnel

x a 0 := E(x)

y := E( _x−a ¹

0

) z := _x−a ¹

₀

− E( _x−a ¹

₀

)

DFC

(x) := [a 0 , y,

^DFC

( ¹ _z )]

Pour déterminer les frations rationnelles orrespondant aux réduites qui

approhentunefrationrationnelle

a

b

^(ave

a

^et

b

^{premiersentreeux),onpeut}

utiliserl'algorithmmesuivant:

Listedesfrationsrationnellesréduitesdurationnel

x = ^a _b

po:=0;q0:=1;

p1:=1 ;q1:=0;

Liste:=[(p0,q0),(p1,q1)℄;

u:=a; v:=b;r:=1;

♯

Initialisation Tant que

(r 6 = 0)

^faire

Effetuer la division eulidienne de

u

^par

v

^u:=vx+r

p:=p1x+p0

q:=q1x +q0

Liste:=

[

^éléments

Liste, (p, q)]

p0:=p1;q0:=q1;

p1:=p; q1:=q:

u:=v;

v:=r;

fin faire

retourner Liste

3. Pointillésde Bezout

Proposition2 Soit

D

^{une droite du plan eulidien ; lesassertions suivantes}

sont équivalentes:

i)

D

^{admet une innitéde pointsde}

Z ²

^;

ii)

D

^{passepardeux pointsde}

Z ²

^.

iii)

D

^{admetuneéquation}

ax + by + c = 0

^ave

a, b, c

^entiersetpgd

(a, b) = 1

^.

Soient

A

^et

B

^{deuxpointsdistintsde}

Z ²

^{. Onnote}

D AB

^{ladroitepassantpar}

A

^{et par}

B

^et

ax + by = c = 0

^{une équation de}

D AB

^ave

a, b, c

^{entiers et}

pgd

(a, b) = 1

^{(on peut remarquer qu'il existe deux telles équations opposées}

l'unedel'autre). Si

M = (u, v) ∈ Z ²

^{,ladistane de}

M

^à

D AB

^est

d(M, D AB ) = au + bv + c

√ a ² + b ² .

Lespointsde

Z ²

^{quinesont passur}

D AB

^{maisleplusprèspossible sontdon}

lespoints

M = (u, v)

^telsque

au + bv + c = ± 1

^.

Dénition : Soient

A

^et

B

^{deux points distints de}

Z ²

^{. On note}

D AB

^la

droitepassantpar

A

^etpar

B

^et

ax +by+c = 0

^{uneéquationde}

D AB

^ave

a, b, c

entiersetpgd

(a, b) = 1

^{. Lespoints}

M = (u, v)

^de

Z ²

^telsque

au + bv + c = ± 1

sontappeléspointillésde Bezout deladroite

D AB

^.

Dénition : Soient

A

^et

B

^{deux points distintsde}

Z ²

^{. On ditque}

B

^est

visibledepuis

A

^silesegment

]A, B[

^{neontientauunpointde}

Z ²

^.

Proposition3 Soient

A

^et

B

^{deux points distints de}

Z ²

^{; on note}

(c, d)

^les

oordonnéesduveteur

AB ~

^{;lesassertionssuivantes sont}équivalentes: i)

B

^{estvisibledepuis}

A

^;

ii) pgd

(c, d) = 1

^;

iii) il existe une matrieà oeientsentiers et de déterminantégal à

1

^dont

lapremièreligne estégale à

(c, d)

^.

Remarque : Plus généralement, le nombre de points de

Z ² ∩ [A, B]

^est

1 +

^pgd

(c, d)

^.

4. Entonnoirde Klein

Soit

x

^{unrationnelstritementpositifetsoient}

a

^et

b

^{deuxentiersnaturelspre-}

miersentreeuxtelsque

x = ^a _b

^{;ononsidèrele}développementenfrationon- tinueourt de

x

^,

[a 0 , ..., a n ]

^{. Pour}

i

^dans

{ 0, ..., n }

^,soient

p i

^et

q i

^deuxentiers

[a 0 , ..., a i ] = ( ^p

ⁱ

) I, J, M 0 , ..., M n

Théorème 2 Laligne polygonale

I, M 0 , M 2 , M 4 , ..., M _2E(

ⁿ

2

) , M

^{est onave et}

situéeaudessousdeladroite

D OM

^{,lalignepolygonale}

J, M 1 , M 3 , M 5 , ..., M _2E(

ⁿ⁻¹

2

)+1 , M

est onvexe et situéeau dessus de la droite

D OM

^{. Larégion du plan délimitée}

paresdeux lignesetlesdeux axesneontientpasd'autrepointàoordonnées

entières. Les points

O, I, J, M 0 , M 1 , ..., M n = M

^{sontses pointsextremaux.}

Dénition : La région ainsi délimitée est appelée entonnoir de Klein du

segment

[O, M ]

^.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 5 10 15 20 25

4. Raordde Klein

Soient

A, B

^{deux points distints de}

Z ²

^{, non alignés ave l'origine}

O

^{et tous}

deuxvisiblesdepuis

0

^{. Soit}

E

^{l'ensembledespointsdistintsde}

O

^dans

Z ²

^et

dansl'enveloppeonvexedespoints

O, A, B

^. L'enveloppeonvexede

E

^dans

R ²

estunpolygoneonvexedontlespointsextrémauxsont

A, B

^{etunesuitenie}

depoints

M 1 , ..., M n

^.

Dénition : La ligne polygonale

A, M 1 , ..., M n , B

^{est appelée raord de}

Kleinde

O, A, B

^.

Dansleasoù

A = I = (1, 0)

^etoù

B = (u, v)

^ave

u

^et

v

^{stritementpositifs,}

etteligne polygonaleest lebordonavede l'entonnoir de Kleindu segment

[O, B]

^{. Les points}

M 1 , ..., M n

^seonstruisent en alulant les réduitesd'ordre pairdurationnel

d c

^.

Unraord de Klein, dans leas général, sealule en utilsant une matrie à

oeientsentiersetdedéterminantégalà

1

^{quienvoielepoint}

A

^surlepoint

I

^(silepoint

O

^{n'estpasl'origine,ons'yramènepar}translation).

5. Polygone onvexe intérieur

Dénition : Unpolygone onvexe

P

^{dontlessommetssontdans}

Z ²

^{est dit}

minimal sil'intérieurde

P

^et

Z ²

^{neserenontrentpas}

(

^Int

( P ) ∩ Z ² = ∅

^.

Notation : Soit

P

^{unpolygone onvexe desommetslespoints}

A 0 , ..., A n−1

àoordonnéesentières. Onsupposeque

n > 3

^,les

A i

^{sonttousdistintsetnon}

alignés, defaçonà assurerque

P

^{n'estpasunpolygone aplati. Ona numéroté}

lessommetsdanslesenstrigonométriquediretenpartantde

A 0

^;depluspar

ommodité,lanumérotationest faitemodulo

n

^.

Soit

i ∈ { 0, ..., n − 2 } .

^Soient

a i x + b i y + c i = 0

^{l'équation deladroite}

D A

i

A

i+1

ave

a i , b i , c i

^entiers,pgd

(a i , b i ) = 1

^etlepolygone

P

^{ontenudansledemi-plan}

d'inéquation

a i x +b i y + c i > 0

^{. Onremarquequ'alorsleveteurdeoordonnées}

(a i , b i )

^{normalàladroite}

D A

i

A

i+1^{tournedanslesensdiretlorsque}

i

^augmente.

Théorème 3 Soit

P

^{un polygone onvexe de sommets les points}

A 0 , ..., A n−1

à oordonnées entières. On suppose que

P

^{n'est pas un polygone aplati (en}

partiulier

n > 3

^{). Pour}

i ∈ { 0, ..., n − 2 }

^,soit

a i x+ b i y +c i = 0

^{l'équationdela}

droite

D A

i

A

i+1 ^ave

a i , b i , c i

^{entiers, pgd}

(a i , b i ) = 1

^{et lepolygone}

P

^ontenu

dans le demi-plan d'inéquation

a i x + b i y + c i > 0

^{; on note}

B ¹ i

^{le pointillé de}

Bezout traede la droite déquation

a i x + b i y + c i = 1

^sur

Z ²

^{. Les assertions}

suivantes sont équivalentes:

1.

P

^{n'estpasminimal}

2. ilexiste un indie

i

^dans

{ 0, ..., n − 2 }

^telque

B i ¹ ∩ P

^{estnon vide,}

3. pourtoutindie

i

^dans

{ 0, ..., n − 2 }

^,

B ¹ i ∩ P

^{estnon vide.}

Soient

A i−1 , A i , A i+1

^{troispointsonséutifsdupolygonesupposénonmin-}

imal. Déterminonslespointsde

(

^Int

( P ) ∩ Z ²

^{lesplusprohesde}

A i

^.

•

^{Le point}

A i

^est l'intersetion des droites

a i+1 x + b i+1 y + c i+1 = 0

^et

a i−1 x + b i−1 y + c i−1 = 0

^.

•

^{LespointsdupointillédeBezout}

B ¹ i−1

^véient

a i−1 x + b i−1 y + c i−1 = 1

^.

Si on hoisit deux entiers

u

^et

v

^{tels que}

a i−1 u + b i−1 v = 1

^{, alors les}

points du pointillé de Bezout

B i− ¹ 1

^{sont les points}

M k

^{de oordonnées}

(respetivement)

(u k , v k ) = (u(1 − c i−1 ) + kb i−1 , v(1 − c i−1 ) − ka i−1 )

^,pour

k ∈ Z

^.

•

^{On herhe à minimiser parmi es points les plus prohes de la droite}

d'équation

a i x + b i y + c i = 0

^.

d(M k , D A

i

A

i+1

) = ^a

ⁱ

^u √

^k

^+b _a

2ⁱ

^v

^k

^+c

ⁱ

i

+b

²i

=

= √ ¹

a

²i

+b

²i

((1 − c i−1 )(a i u + b i v) + k(a i b i−1 − a i−1 b i ) + c i

=

ave

β > 0

(pourquoi?). Donettedistaneestminimalepour

k

^telque

k = F ( α

β − 1) = F ( (1 − c i−1 )(a i u + b i v) + c i − 1 a i−1 b i − a i b i−1

).

Ce pointestnoté

P i

^.

•

^{De même, onherheà à minimiser parmies pointslesplusprohes de}

ladroited'équation

a i x + b i y + c i = 0

^onobtient

l = E( α

β − 1) = E( (1 − c i−1 )(a i u + b i v) + c i

a i−1 b i − a i b i−1

).

Ce pointestnoté

Q i

^.

Onobtientainsideuxpoints(éventuellementonfondus).

On peut alors dérire de façon très informelle unalgorithme qui détermine la

liste des sommets du onvexe intérieur d'un polygone onvexe non mimimal

dans

Z ²

^.

Sommetsduonvexeintérieur

Entrée : Sommetsdupolygone

A 0 , ..., A n−1

Vérierquelepolygone n'estpasminimal

Vérierquelessommetssontorretementnumérotés(orientation)

Pourhaquetriplet

(A i−1 , A i , A i+1

^{alulerlesdeuxpoints}

P i , Q i

Si

P i 6 = Q i

^,remplaer

A i

^{parunraorddeKleinde}

(P i , A i , Q i )

Si

P i = Q i

^,remplaer

A i

^par

Q i

Suggestions de développements

Soulignonsqu'ils'agitd'unmenuàlaarteetquevouspourrezhoisird'étudier

ertainspoints,pastous,pasnéessairementdansl'ordreetd'unefaçonplusou

moins fouillée. Vous pouvez aussi vousposer d'autres questions que elles in-

diquéesplusbas. Ilesttrèsvivementonseilléquevosinvestigations omportent

une partie traitée sur ordinateur et, si possible,des représentations graphiques

de vosrésultats.

•

^{Onpourrajustierlesrésultatsintroduitsdansletextesans}démonstration

•

^{Onpourraexpliquerpréisémentommentlethéorème}

2

^{peutêtreadapté}

pourdéterminerl'entonnoirdeKleind'unsegment

[AB]

^ave

A

^et

B

^dans

Z ²

^et

A

^visiblede

B

^.

•

^{On pourra établir des gures de haune des situations dérites par le}

texte:

PointillésdeBezoutd'unedroitepassantpardeuxpointsde

Z ²

^.

EntonnoirdeKleind'unsegment

[OM ]

^ave

M

^visiblede

O

^.

UnexemplederaorddeKlein

•

^{Unalgorithmequidéterminesiunpolygone diretestminimal.}

•

^{Unalgorithmequidétermineleonvexeintérieur d'unpolygone disret.}