E.A.D.M. 2010 − 2011
S1 U.E. Renforcements Mathématiques Algèbre linéaire
Cours et T.D. de Jean-Marie MORVAN Exercices sur la réduction des endomorphismes
24 septembre 2010
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel de dimension impaire surR, et f un endomorphisme de E. Montrer que f a au moins une valeur propre.
Exercice 2 Montrer que la matrice
A =
0 −1 0
4 4 0
−2 −1 2
n'est diagonalisable ni dansR ni dans C.
Exercice 3 Soit a un nombre réel. Pour quelles valeurs de a la matrice
B =
3− 2a 1− a 1
−2 + 4a 2a −2 3− 2a 3− a 5
. est-elle diagonalisable ?
Exercice 4 On considère l'endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la base canonique est
A =
3 1 1
−2 0 −2
3 3 5
.
1
1. Calculer le polynôme caractéristique Pf de f et les valeurs propres de f.
2. Montrer que f est diagonalisable et déterminer une base de vecteurs propres.
3. Véri er que Pf(f ) = 0 et en déduire l'inverse de f.
4. Calculer, pour tout n ∈Z, la matrice de fn dans la base canonique.
Exercice 5 Soit E le R-espace vectoriel des matrices carrées symétriques réelles d'ordre 21 et
B =
( α 1 1 0
)
un élément de E, où α est un nombre réel.
1. Soit M ∈ E. Montrer que BM + MB est une matrice carrée symé- trique.
2. Soit ϕ : E → E l'application dé nie en posant pour tout M ∈ E, ϕ(M ) = BM + M B.
Montrer que ϕ est un endomorphisme de E.
3. Calculer la matrice A de ϕ dans la base
B =
{( 1 0 0 0
) ,
( 0 1 1 0
) ,
( 0 0 0 1
)}
.
4. Calculer le polynôme caractéristique Pϕ de ϕ.
5. Montrer que ϕ est diagonalisable.
6. Pour quelles valeurs de α l'endomorphisme ϕ est-il bijectif ?
Exercice 6 Soient f, g deux endomorphismes deR3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement A et B, où
A =
4 1 −2
0 3 0
−1 −1 5
, B =
−1 2 −4
0 −3 0
−2 −2 1
.
1. On rappelle que E est un espace vectoriel surRde dimension 3, dont une base est constitué des trois matrices
B =
{( 1 0 0 0
) ,
( 0 1 1 0
) ,
( 0 0 0 1
)}
.
2
1. Montrer que f ◦ g = g ◦ f.
2. Montrer que f et g sont diagonalisables.
3. Montrer qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres com- muns à f et g.
4. Montrer que f ◦ g est diagonalisable.
5. Construire un polynôme Q ∈R[X] de degré 1 tel que Q(f) = g.
Exercice 7 Résoudre dans M2(C) l'équation
Z2 =
( 0 −1 1 0
)
. (1)
On pourra commencer par diagonaliser la matrice A =
( 0 −1 1 0
) .
Exercice 8 A la matrice A =
( 2 1 1 2
)
on associe l'endomorphisme
ϕA:M2(R)−→ M2(R) dé ni en posant pour tout B ∈ M2(R),
ϕA(B) = AB− BA.
1. Calculer la matrice A de ϕA dans la base B=
{( 1 0 0 0
) ,
( 0 1 0 0
) ,
( 0 0 1 0
) ,
( 0 0 0 1
)}
. 2. Calculer le polynôme caractéristique Pϕ de ϕA.
3. Montrer que ϕA est diagonalisable.
4. Quelle relations peut-on observer entre les valeurs propres de A et celles de ϕA?
Exercice 9 Soit B une matrice diagonalisable de Mn(K)où K = Rou C. Montrer que l'endomorphisme
ϕB:Mn(K)−→ Mn(K), dé ni en posant pour tout A ∈ Mn(K),
ϕB(A) = AB− BA est diagonalisable.
3
Exercice 10 Soient α1, ..., αn n nombres réels. On suppose qu'il existe i ∈ {1, ..., n − 1} tel que αi ̸= 0. Soit f l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique (e1, ..., en) est
0 0 · · · 0 α1
0 0 · · · 0 α2 ... ... ··· ... ...
0 0 · · · 0 αn−1 α1 α2 · · · αn−1 αn
(2)
1. Montrer que M est diagonalisable.
2. Soit
x = α1e1+ ... + αn−1en−1. Montrer que x et en engendrent l'image de f.
3. Montrer que le rang de M est 2.
4. Montrer que le plan Q engendré par x et en est stable par f.2 5. Montrer que la restriction de f à Q est diagonalisable.
6. Diagonaliser M.
Exercice 11 Déterminer dans M2(C) les matrices symétriques qui ne sont pas diagonalisables.
2. On rappelle qu'un plan (ou plus généralement un sous-espace vectoriel) Q est stable par un endomorphisme f si f(Q) ⊂ Q.
4
