IIExercicesdecommande IEncorequelquesrelationsdansleplan G´eom´etrieeuclidienne(suite)

Universit´ e Claude Bernard–Lyon I

Licence 3 de Math´ ematiques : G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire Ann´ ee 2012–2013

G´ eom´ etrie euclidienne (suite)

I Encore quelques relations dans le plan

Soit ABC un triangle non aplati, on note a = BC, b = CA, c = AB ; A ̂ l’angle g´ eom´ etrique d´ efini par (

Ð→ ̂ AB, Ð→

AC), etc. ; enfin, R le rayon du cercle circonscrit au triangle.

1 ^○ Relation d’Al Kashi

Montrer que l’on a (tr` es facile ` a partir de Ð→

BC = Ð→ BA +

Ð→ AC) :

a ² = b ² + c ² − 2bc cos A. ̂ 2 ^○ Loi des sinus

Montrer que l’on a :

sin A ̂ a =

sin B ̂ b =

sin C ̂ c =

1 2R . II Exercices de commande

1 ^○ Principe de conjugaison et centre On se place dans R ³ affine euclidien orient´ e.

a) Soit D (resp. H) une droite (resp. un plan) de R ³ , et soit r _D (resp. s _H ) le demi-tour (resp. la r´ eflexion) autour de D (resp. de plan H). Soit f une isom´ etrie de R ³ . Montrer que f s _H f ⁻¹ = s _f(H) (resp. que f r D f ⁻¹ = r _f(D) ).

b) Soit f une isom´ etrie affine de R ³ . D´ emontrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) pour toute isom´ etrie (resp. isom´ etrie directe) g de R ³ , f g = gf ;

(ii) pour toute r´ eflexion (resp. tout demi-tour) g, f g = gs ; (iii) f = Id.

[Les implications (i) ⇒ (ii) et (iii) ⇒ (i) sont triviales ; on peut remarquer que (ii) ⇒ (i) r´ esulte d’un th´ eor` eme du cours ; enfin, pour (ii) ⇒ (iii), on remarquera que tout point est l’intersection de trois plans (resp. de deux droites) et qu’un plan (resp. une droite) est l’ensemble des points fixes d’une r´ eflexion (resp. d’un demi-tour).]

2 ^○ Ecriture ´

a) Soit ω = ^t ( a b c ) un vecteur unitaire de R ³ . Donner les coordonn´ ees du projet´ e orthogonal d’un vecteur v = ^t ( x y z ) sur la droite R ω. En d´ eduire les coordonn´ ees de l’image de v par la r´ eflexion d’hyperplan v ^⊥ et par le demi-tour d’axe R ω.

b) Donner les coordonn´ ees de l’image d’un point M = ( x, y, z ) par les r´ eflexions de plans d’´ equations y = z et x = z ; d´ ecrire la compos´ ee (dans chaque ordre possible).

3 ^○ D´ ecomposition

D´ ecomposer chacune des isom´ etries suivantes comme produits d’involutions (demi-tours ou r´ eflexions, selon si l’isom´ etrie est directe ou pas).

a) f ( x

y ) = ( ax + by

−bx + ay ) o` u a ² + b ² = 1, ab ≠ 0 ; b) f

⎛

⎜

⎝ x y z

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝ y z x

⎞

⎟

⎠

;

1

c) f

⎛

⎜

⎝ x y z

⎞

⎟

⎠

= 1 3

⎛

⎜

⎝

2x − 2y + z x + 2y + 2z

− 2x − y + 2z

⎞

⎟

⎠

;

d) f

⎛

⎜

⎝ x y z

⎞

⎟

⎠

= 1 3

⎛

⎜

⎝

2x − 2y + z x + 2y + 2z 2x + y − 2z

⎞

⎟

⎠ .

4 ^○ Reconnaissance

Donner la nature (rotation, r´ eflexion, compos´ ee d’une rotation et d’une r´ eflexion, etc.) et les

´

el´ ements caract´ eristiques (points fixes, angle...) des isom´ etries de la question pr´ ec´ edente.

III Sur les poly` edres r´ eguliers 1 <sup>○</sup> T´ etra` edre r´ egulier

a) Calculer la hauteur d’un t´ etra` edre r´ egulier de cˆ ot´ e a.

b) Calculer le rayon de la sph` ere circonscrite ` a un t´ etra` edre r´ egulier de cˆ ot´ e a.

c) On fixe un t´ etra` edre r´ egulier de cˆ ot´ e a et on consid` ere le t´ etra` edre dont les sommets sont les centres des faces : calculer la longueur de ses arˆ etes et son volume.

2 ^○ Icosa` edre r´ egulier

Soient a, b r´ eels, 0 < a < b. On consid` ere les points suivants de R ³ , qui forment trois rectangles : (±a, ±b, 0), (0, ±a, ±b), (±b, 0, ±a).

Trouver une relation entre a et b pour que ces points soient les sommets d’un icosa` edre r´ egulier.

3 ^○ Simplexe r´ egulier

a) Expliquer pourquoi on peut dire que – un segment est un 1-simplexe r´ egulier ;

– un triangle ´ equilat´ eral est un 2-simplexe r´ egulier ; – un t´ etra` edre r´ egulier est un 1-simplexe r´ egulier ;

b) On fixe un entiers n ∈ N ^∗ . Partant des exemples pr´ ec´ edents, d´ efinir ce qu’est un n-simplexe r´ egulier dans R ⁿ . Combien de sommets poss` ede-t-il ? de faces de dimension n − 1 ? de facettes de dimension k ?

c) Montrer l’existence d’un n-simplexe r´ egulier de deux fa¸ cons : – en

relevant

une hauteur depuis le centre d’un n − 1-simplexe ; – en consid´ erant l’enveloppe convexe de la base canonique de R ⁿ⁺¹ . d) Montrer que deux n-simplexes r´ eguliers sont semblables.

e) Reprendre les questions a et b du paragraphe 1 ^○ . Quelle est la limite du volume du n-simplexe de cˆ ot´ e 1 lorsque n tend vers l’infini ? du rayon de la sph` ere circonscrite ?

4 ^○ Caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e

Compl´ eter le tableau suivant, dans lequel on d´ esigne par S le nombre de sommets, A le nombre d’arˆ etes, F le nombre de faces d’un poly` edre.

nom S A F S − A + F

t´ etra` edre cube octa` edre dod´ eca` edre

icosa` edre

⋯

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