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D1907> Rencontre germano-britannique

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Academic year: 2022

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D1907> Rencontre germano-britannique

Louis ROGLIANO

Un pointP du cercle circonscrit à un triangleABCse projette respectivement sur les droitesBC etACen deux pointsIetJ. La droiteIJcoupe la droiteABen un pointK. HaetHbsont les orthocentres des triangles AJ KetBIKtandis queLetM sont les milieux des segmentsAIetBJ. Démontrer que la droiteLM passe par le milieu deCKet qu’elle est perpendiculaire aux deux droitesIJetHaHb. Nota : les trois droitesIJ,HaHbet LMportent des noms qui justifient le titre du problème.

On aura reconnu les droites de Newton, Simpson et Steiner. Les deux premières sont évidentes dans l’énoncé. Montrons que HaHb est bien la droite de Steiner associée au point P du triangle ABC (voir figure).

Les quadrilatèresJ HaKP etIHbKP sont des parallélogrammes et il en résulte queHaHbest parallèle à la droite de SimpsonIJ K.

Soit Qle milieu deKJ alorsHa est l’homothétique deQdans l’homothétie de centreP de rapport2. HaHbest donc la droite de Steiner associée au pointP pour le triangleABC.

Il est d’autre part bien connu que la droite de Newton est perpendiculaire aux droites de Simpson et Steiner.

Voir par exemple: http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20droite%20de%20Newton.pdf

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