A341. Abondance et déficience
Tout entier naturel n dont la somme de ses diviseurs σ(n), y compris 1 et lui-même, est strictement supérieure à 2n est appelé abondant. Il est déficient quand σ(n) < 2n.(1)
Q1 Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver un couple d’entiers naturels consécutifs (n, n+1) qui sont abondants l’un et l’autre.[**]
Q2 Démontrer que quel que soit l’entier k fixé à l’avance, on sait trouver k entiers naturels consécutifs qui sont tous abondants.[****]
Q3. Trouver la plus longue suite de nombres entiers consécutifs qui sont tous déficients.[**]
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité de suites de cinq entiers naturels consécutifs déficients.[***]
(1) Nota pour mémoire: quand σ(n) = 2n, n est appelé nombre parfait.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Le plus petit couple d'entiers naturels abondants consécutifs est : 5775 = 3x5²x7x11
S =1+3+5+7+11+15+21+25+33+35+55+75+77+105+165+175+231+275+385 +525+825+1155+1925+5775 = 11904 > 11550
5776 = 24x19²
S = 31(1+19+361) = 11811 > 11552 C'est bien le plus petit (OEIS).
Q2
http://www.renyi.hu/~p_erdos/1935-03.pdf (Paul Erdös) Q3
Tous les multiples de 6 (parfait) sont abondants.
On sait que 6 est un nombre parfait… il n’est donc pas abondant.
Soit n = 6k un multiple de 6, avec k > 1.
n est divisible par 1 et par n mais aussi par 2, donc par n/2, par 3, donc par n/3, par 6, donc par n/6 (qui n’est pas égal à 1 car n > 6) : n, n/2, n/3, n/6 et 1 sont deux à deux distincts.
On a donc :
σ(n)= n + n/2 + n/3 + n/6 + 1 = 2n + 1 > 2n.
n est bien un nombre abondant.
Une suite de nombres entiers déficients consécutifs n'aura donc jamais plus de 5 éléments.
Q4
Il existe une infinité de telles suites. Sinon, la densité des abondants (incluant les parfaits) serait supérieure à 1/3, or d'après Marc Deleglise elle est inférieure à 1/4.
