A341 - Abondance et déficience

Tout entier naturel n dont la somme de ses diviseurs σ(n) est strictement supérieure à 2n est appelé abondant. Il est déficient quand σ(n) < 2n.(1).

Q₁ Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver un couple d’entiers naturels consécutifs (n, n+1) qui sont abondants l’un et l’autre.[**]

Q₂ Démontrer que quel que soit l’entier k fixé à l’avance, on sait trouver k entiers naturels consécutifs qui sont tous abondants.[****]

Q₃ Trouver la plus longue suite de nombres entiers consécutifs qui sont tous déficients.[**]

Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité de suites de cinq entiers naturels consécutifs déficients.[***]

(1) Nota pour mémoire: quand σ(n) = 2n, n est appelé nombre parfait.

Nous appellerons ratio le rapport de la somme des diviseurs au nombre, et noterons r(n)=σ(n)/n. Si p est premier, r(p)=1+1/p et pour toute puissance de ce nombre,

r(p^m)<p/(p-1)=1/(1-1/p) ; r((2)=3/2, r(3)=4/3, r(4)=7/4, r(5)=6/5, r(6)=r(2)*r(3)=2, ...

la fonction r est multiplicative : si a et b sont premiers entre eux, r(ab)=r(a)r(b) ; le nombre est dit déficient si r<2, parfait si r=2, et abondant si r>2. Tout multiple d’un nombre abondant ou parfait est abondant.

La primorielle du k-ième nombre premier pk est le produit des k premiers nombres premiers pk#=2*3*...*pk. Le ratio de cette primorielle est égal au produit ∏(1+1/pi) : ce produit est divergent, comme la série 1/pi , et on peut constituer une suite de produits de nombres premiers consécutifs tels que le ratio de leur produit soit supérieur ou égal à 2 : n1=2*3=6, n2=5*7*11*13*17*19*23*29*31=33426748355, n3=37*... , etc... Les

éléments de cette suite sont abondants et premiers entre eux.

Q1 : n2 est égal à 5 modulo 6, donc n2 et n2+1 sont abondants et consécutifs.

Q2 : Plus généralement, d’après le théorème «des restes chinois», il existe un entier x égal à 0 modulo n1, à -1 modulo n2, etc... Donc x est divisible par n1, x+1 par n2, etc... On peut constituer une suite aussi longue que désirée de nombres consécutifs abondants.

Q3 : 6 étant parfait et tous ses multiples abondants, il est impossible d’avoir plus de 5 nombres consécutifs déficients.

Q4 : Considérons le nombre 1800Pk où Pk=7*...*pk ,=pk#/30. Posons 1800Pk+1=ak , 1800Pk+2=2bk , 1800Pk+3=3ck , 1800Pk+4=4dk , 1800Pk+5=5ek : ak, bk, ck, dk et ek ne sont divisibles par aucun nombre premier inférieur à pk. Dès que k est assez grand, tous ces nombres sont inférieurs à pk+1*...*p2k, donc leur décomposition a au plus k facteurs premiers supérieurs à pk. Le ratio de ces facteurs est majoré par 1/(1-1/pi), et le ratio de chacun de ces nombres est majoré par ∏1/(1-1/pi) où i va de k+1 à 2k ; or ce produit tend vers 1 , puisque ∑1/pi<k/pk (où k<i≤2k) tend vers zéro. On peut donc trouver une infinité de valeurs de k telles que r(ak)<2, r(bk)<4/3, r(ck)<3/2, r(dk)<8/7, r(ek)<5/3, donc tels que les cinq valeurs consécutives suivant 1800Pk soient déficientes.

A341 - Abondance et déficience