D1963 – La saga de l’angle de 60° (9ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Démontrer que dans un triangle acutangle ABC, la somme des distances du point de Fermat(1)
aux trois sommets est égale au double de la médiane AM issue du sommet A si et seulement si l’angle en A vaut 60°.
(1) Du point de Fermat d’un triangle, on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°.
Solution par Patrick Gordon
Notons F le point de Fermat. En développant le carré de (FA + FB + FC) et en tenant compte de ce que les cosinus des angles AFB, etc. valent – 1/2, on montre aisément que :
(FA + FB + FC)² = (a²+b²+c²) / 2 + 3/2 (FA.FB + FB.FC + FC.FA) Par ailleurs, le théorème d'Apollonius sur la médiane nous enseigne que :
4 AM² = 2(b²+c²) – a².
Or, d'après le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) : a² = b²+c² – 2bc cos A.
Donc :
4 AM² = b²+c² + 2bc cos A.
Pour que (FA + FB + FC) = 2AM, c’est-à-dire pour que (FA + FB + FC)² = 4AM², il faut et il suffit donc (en exprimant a² en fonction de b, c et cos A) que :
b²+c² – bc cos A + 3/2 (FA.FB + FB.FC + FC.FA) = b²+c² + 2bc cos A Donc que :
½ (FA.FB + FB.FC + FC.FA) = bc cos A
Mais, en multipliant ½ FA.FB par le sinus de 2π/3, c’est-à-dire par √3/2, on obtient l'aire du triangle AFB (et de même pour BFC et CFA). Le premier membre donnera donc l'aire du triangle ABC.
Il faut et suffit donc que :
aire de ABC = bc cos A √3/2 Or l'aire de ABC n'est autre que ½ bc sinA.
Il faut et suffit donc que :
½ bc sinA = bc cos A √3/2
C'est à dire tan A = √3. Le triangle ABC étant acutangle, cela implique que l'angle A vaut 60°.
