D1 8 7 : Euler et Fermat se donnent rendez-vous
Dans un triangle ABC l’angle en A vaut 79,95° et le point sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°, est aligné avec le centre de gravité et l’orthocentre.
Calculer les angles en B et C.
Le système de coordonnées trilinéaires associe au centre de gravité, à l’orthocentre et au point de Fermat les vecteurs (1/sinA, ...) (1/cosA, ...) (1/sin(A+π/3), ...) ou encore G=(sinBsinC, ...) H=(cosBcosC, ...) F=(sin(B+π/3)sin(C+π/3), ...).
Les trois points sont alignés si et seulement si les vecteurs F, G et H sont liés. Or, 2sinBsinC=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)+cosA,
2sin(B+π/3)sin(C+π/3)=cos(B-C)-cos(B+C+2π/3)=cos(B-C)-cos(A+π/3), donc 2sin(B+π/3)sin(C+π/3)=cos(B-C)-(cosA+√3sinA)/2; enfin,
2cosBcosC=cos(B+C)+cos(B-C)= cos(B-C)-cosA.
Donc, F, G et H sont liés, si les vecteurs (sinA,...) (cosA, ...) (cos(B-C), ...) le sont aussi, donc si leur déterminant est nul.
Comme cos(B-C)(sinBcosC-sinC cosB)=cos(B-C)sin(B-C)=sin(2(B-C))/2, on arrive à sin(2(B-C))+sin(2(C-A))+sin(2(A-B))=0. Par symétrie, on peut toujours supposer A≥B≥C, et poser p=2(A-B), q=2(B-C) donc sin(p+q)=sinp+sinq, ou encore
sinp(1-cosq)+sinq(1-cosp)=0 avec sinp≥0 et sinq≥0; si p et q ne sont pas nuls, le premier membre est strictement positif; donc p ou q est nul, c’est à dire que A=B ou B=C: le triangle ABC est donc isocèle.
Si A=79,95°, nous avons donc les possibilités B=79,95°, C=20,10° (ou l’inverse) ou B=C=50,025°.
