D 188 Euler et Fermat font la ronde

(1)

D 188 Euler et Fermat font la ronde Solution proposée par Pierre Renfer

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b,c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

1) Coordonnées du centre du cercle d’Euler

Soient O le centre du cercle circonscrit et H l’orthocentre.

Le centre du cercle d’Euler  est le milieu de [OH].

On connaît les coordonnées de O et H :

2 2 2 2

a( a b c ) O b(a b c )

c(a b c )

  

 

 

2 2 2 2 2 2

( a b c )(a b c ) H ( a b c )( a b c )

( a b c )(a b c )

    

     

     

Les sommes des coordonnées de chacun de ces deux points sont égales :

C’est la somme : (a b c)           ( a b c)(a b c)(a b c) 16 S  ², où S est l’aire du triangle.

On obtient donc les coordonnées de  par additions de celles de O et H :

2 2 2 2 2 2

a(b c )(b c ) b(c a )(c a ) c(a b )(a b )

  

   

  

2) Coordonnées des points de Fermat

Pour obtenir le premier point de Fermat F, on contruit sur [BC], [CA], [AB] les triangles équilatéraux BCA’, CAB’, ABC’ vers l’extérieur du triangle ABC.

Le point F est alors à l’intersection des trois droites (AA’), (BB’), (CC’).

Pour obtenir le second point de Fermat F’, on contruit sur [BC], [CA], [AB] les triangles équilatéraux BCA’’, CAB’’, ABC’’ vers l’intérieur du triangle ABC.

Le point F’ est alors à l’intersection des trois droites (AA’’), (BB’), (CC’’).

Les points A’ et A’’ sont sur la médiatrice  de [BC].

(2)

Le pied P de la hauteur issue de A a pour coordonnées ² ² ²

2 2 2

0

P a b c a b c

 

 

Donc le point à l’infini  de (AP) , qui est aussi celui de , a pour coordonnées :

2

2 2 2

2a a b c

a b c



  

  La droite  passe par le milieu de [BC] et par le point .

Un point M de  donc des coordonnées de la forme :

2

2 2 2

2a M a b c

a b c



   

   

Si le point M, de coordonnées (x, y, z) appartient au cercle de centre B, de rayon a : (x y z)BM x BA z BC  ^ ^ ^

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

(x y z)a (x y z)BM c x a z 2xz BA BC c x a z 2xzac cos A c x a z 2(a b c )xz

 

               

      

En remplaçant (x, y, z) par les coordonnées de M ci-dessus, on obtient :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4a  4a c a( a  b c ) 2a(a b c )( a   b c )

En simplifiant, on trouve : 3 ² (a b c)      ( a b c)(a b c)  (a b c) 16S   ² Les points A’ et A’’ ont donc pour coordonnées :

2

2 2 2

2a A' a b c 4S

3 a b c 4S

3



  

  

2

2 2 2

2a A'' a b c 4S

3 a b c 4S

3



  

  

On pose :

2 2 2

( a b c )3 4S (a b c )3 4S (a b c )3 4S

     

    

    



(3)

Alors les points A’, B’, C’ ont pour coordonnées :

2a 32

A'







B' 2b 3²







2

C'

2c 3





 Les droites (AA’), (BB’), CC’) ont pour équations respetives :

y z z x x y

  

  

  



Les coordonnée du point F, solutions du système, sont : F







En simplifiant par 2, on trouve les coordonnées :

4 2 2 2 2 2 2 2

a 2(b c ) a(b c ) 4a S 3 F b 2(c a ) b(c a ) 4b S 3 c 2(a b ) c(a b ) 4c S 3

    

On trouve de façon analogue les coordonnées de F’ :

4 2 2 2 2 2 2 2

a 2(b c ) a(b c ) 4a S 3 F' b 2(c a ) b(c a ) 4b S 3 c 2(a b ) c(a b ) 4c S 3

    

3) Cocyclicité des quatre points

Une équation de cercle est de la forme : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0  

Il s’agit de prouver l’existence de trois constantes u, v, w telles que l’équation soit satisfaite par les coordonnées des quatre points.

En écrivant que l’équation est vérifiée par les coordonnées de O, on obtient la relation (1) :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a( a b c )u b(a  b c )v c(a  b c )w  a b c

En écrivant que l’équation est vérifiée par les coordonnées de , on obtient la relation (2) :



² ² ² ² ^{2 2}

 

² ² ² ² ^{2 2}

 

² ² ² ² ^{2 2}



6 6 6 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

2 a(b c )(b c ) u 2 b(c a )(c a ) v 2 c(a b )(a b ) w a b c a b c a b b a b c c b c a a c

             

         

(4)

En écrivant que l’équation est vérifiée par les coordonnées de F et de F’, puis en additionnant et en soustrayant ces deux relations membre à membre obtient les relations (3) et (4) :



² ² ² ² ² ^{2 2}

 

² ² ² ² ² ^{2 2}

 

² ² ² ² ² ^{2 2}



6 6 6 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

3 a(a b c )(b c ) u 3 b(a b c )(c a ) v 3 c(a b c )(a b ) w 2a 2b 2c 3a b c 2a b 2b a 2b c 2c b 2c a 2a c

                

         

 

6 6 6 4 2 4 2 2 4 2 4 4 2 4 2 2 2 2

6 2 6 2 6 2 2 6 2 6 2 6

a b c 4a b 4a c 2a b 2a c b c c b 6a b c u a b c 4b c 4b a 2b c 2b a c a a c 6a b c v a b c 4c a 4c b 2c a 2c b a b b a 6a b c w 2a b 2b c 2c a 2a b 2b c 2c a 4a

          

           

       ^{4 4}b 4b c^{4 4}4c a^{4 4} 3a b c^{4 2 2}3b c a^{4 2 2}3c a b^{4 2 2}

Le système des quatre équations admet une solution (u, v, w) car on montre qu’est nul le déterminant 4x4 dont les trois premières colonnes contiennent les coefficients de u, v, w respectivement et dont la quatrième colonne contient les seconds membres.

Les quatre points O, , F, F’ sont donc cocycliques.