Sismo
F. Chambat, ENS Lyon Version du 9 décembre 2011
Principe de Fermat
Où l’on montre comment obtenir l’équation du rai à partir du principe de Fermat.
Rappel de calcul des variations : l’intégraleI =Rτ1
τ0 L(τ, ~x(τ),~x(τ˙ ))dτ, où Lest appelé Lagrangien, eststationnaire1ssi les équations d’Euler-Lagrange sont vérifiées :
∂L
∂~x = d dτ
∂L
∂~x˙
. (1)
~˙
xsignifie d~dτx, dérivée par rapport au paramètre décrivant la courbe. Ce pa- ramètre est, dans cette version, supposé fixe (càd indépendant de toute per- turbation de trajectoire) aux extrémités de la courbe.
Principe de Fermat : entre deux points donnés, un rai sismique (ou un rayon lumineux), courbe définie par la perpendiculaire aux fronts d’onde, suit le trajet qui rend stationnaire le temps de parcoursR
rain ds.
Pour trouver l’équation du rai il faut donc appliquer le calcul de varia- tions à cette intégrale. Soitτ un paramètre décrivant la courbe, elle s’écrit :
I = Z
rai
n ds= Z smax
0
n(τ, ~x(τ),~x(τ˙ ))ds= Z
n(~x(τ))ds. (2) Le paramètre τ ne peut être égal à scar il doit être fixe aux extrémités de la courbe ce qui n’est pas le cas de l’abscisse curvilignes. Il faut faire appa- raître ce paramètre. Par définition on ads=√
d~x·d~xou, plus précisément, ds/dτ =p
~˙
x·~x˙ et donc : I =
Z τ1
τ0
n(~x(τ))
p~x˙·~x dτ.˙ (3)
Il suffit alors d’écrire les équations d’Euler-Lagrange avec L = n(~x(τ))( ˙~x·
~˙
x)1/2. Cela donne : ( ˙~x·~x)˙ 1/2 ∂n
∂~x = d dτ n
~˙ x ( ˙~x·~x)˙ 1/2
!
. (4)
De nouveau avecds/dτ =p
~˙
x·~x˙ on obtient :
∂n
∂~x = d ds
nd~x
ds
. (5)
Cette relation permet de tracer un rai~x=~x(s)connaissantn(~x).
1Et nonminimaleouextrémale. Un point selle p. ex. est stationnaire mais n’est ni minimal ni extrémal.Stationnairesignifie que toute perturbation de l’intégrale est au moins du second ordre en perturbation de paramètres, en terme de fonction cela signifie que les dérivées premières sont nulles.
