D1957 – Toujours sous le même angle [*** à la main]
On trace un point D sur le côté BC d’un triangle ABC. Les médiatrices de BD et DC rencontrent les droites [AB] et [AC] respectivement en E et F. Démontrer que lorsque D se déplace entre B et C, le segment EF est toujours vu sous le même angle à partir du centre O du cercle circonscrit à ABC.
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient M et N les milieux de BD et DC. Les cercles de centre E et de rayon EB = ED de centre F et de rayon FC = FD se coupent en G. On a BGD = BED/2 = BEM et
CGD = CFD/2 = CFN.
D’où BGC = BEM + DFN = 90° – ABC + 90° – ACB = 180° – ABC –
ACB = BAC. Le point G est sur le cercle circonscrit à ABC de centre O.
Il en résulte que G est à la fois le symétrique de B par rapport à OE et le symétrique de C par rapport à OF. D’où EOF = 180° – BGC = 180° – BAC = cte quand D se déplace sur BC.
