D187. Euler et Fermat se donnent rendez-vous
Dans un triangleABCl’angle enAvaut 79,95° et le point sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°, est aligné avec le centre de gravité et l’orthocentre.
Calculer les angles enBetC.
Solution de Claude Felloneau Réponse
Le triangleABCest isocèle. On a donc deux possibilités : – Les angles enBetCsont égaux et mesurent 50,025°.
– Les angles enBetCont pour mesures 79,95° et 20,1°.
SoientG le centre de gravité du triangleABC,H son orthocentre etO le centre de son cercle circonscrit. Les pointsO,G,Happartiennent à la droite d’Euler∆du triangleABC (qui existe puisque le triangleABCn’est pas équilatéral).
Comme les angles du triangle ABC ont des mesures inférieures à 120°, le pointF sous lequel on voit les trois côtés sous le même angle de 120° est le point de Fermat (ou de Torricelli) du triangleABC. En posantm=F A+F B+F C, on a les propriétés suivantes qui sont classiques :
– Pour tout pointMdu plan distinct deF,M A+MB+MC>m
– Si on construit extérieurement au triangle ABC les triangles équilatéraux ABC1, BC A1etC AB1, alors les droites (A A1), (BB1) et (CC1) sont concourantes enFet on am=A A1=BB1=CC1.
1. Le triangleABCest isocèle car le point de Fermat d’un triangle scalène n’appartient pas à la droite d’Euler.
Preuve
On suppose queABCest un triangle scalène et queFappartient à∆.
b C
b
B
bA
b
O
bb
H
bF
bA1
Le triangleABCn’étant pas isocèle, la droite (A A1) n’est pas orthogonale à (BC) et H6=O.
Par la projection sur (A A1) dans la direction orthogonale à (BC),Hse projette enA, FenFetOenA1, donc H F
HO = AF A A1
. AinsiAF=mH F HO.
En raisonnant de façon analogue avec les sommetsBetC, on en déduit que AF=BF=C F, doncF=O.
OrF∈(A A1) doncAappartient à la droite (O A1) qui est la médiatrice de [BC]. Ce qui est impossible puisqueAB6=AC.
2. Si triangleABCest isocèle, la droite∆est l’axe de symétrie du triangle et est confon- due avec l’une des droites (A A1), (BB1) et (CC1). DoncFappartient∆.
– Si le triangleABC est isocèle enA, les angles enBetC sont égaux et mesurent 50,025°.
– Si le triangleABCest isocèle enB, ˆC=Aˆ=79, 95° et ˆB=180°−2×79, 95°=20, 1°.
– De même, si le triangleABCest isocèle enC, ˆB=Aˆ=79, 95° et ˆB=20, 1°.
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