E559. Remonter à la source
Une suite S0 est définie par les six entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6. On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus aussi longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs.
Parmi les trois suites S1 : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840}
et S3 : {27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S0.
Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Solution proposée par Paul Voyer
a et b sont les racines entières de x²-Sx+P=0.
D'où les impossibilités si S et P ne donnent pas a et b entiers.
L'étude rétrograde sur tableur montre que S2 est la suite recherchée :
a et b 1 2 3 4 5 6
2 et 5 1 7 3 4 10 6
3 et 4 1 7 7 12 10 6
1 et 6 7 7 7 12 10 6
10 et 12 7 7 7 22 120 6
6 et 22 7 7 7 28 120 132
7 et 28 7 7 35 196 120 132
7 et 35 42 7 245 196 120 132
7 et 196 42 203 245 1372 120 132
120 et 132 42 203 245 1372 252 15840
