Enoncé E559 (Diophante) Remonter à la source
Une suite S0 est définie par les six entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6. On efface deux entiers quelconques aetb et on les remplace par leur sommea+bet leur produitab. En poursuivant le processus aussi longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs. Parmi les trois suites S1 : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} et S3 : {27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S0. Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) ConsidéronsS1: quelle que soit la façon de diviser 153 en somme ou en produit, le produit ou la somme ne figurent pas dansS1; ainsi 153 n’est pas le résultat de la dernière étape ; celle-ci peut correspondre à 60 = 30 + 30, 900 = 30×30, ou à 15 = 5 + 10, 50 = 5×10. D’où les antécédents possibles {5, 10, 60, 125, 153, 900} et {15, 30, 30, 50, 125, 153}.
La première solution offre comme seule possibilité 60 = 30 + 30, 900 = 30×30, la seconde donne les deux possibilités 15 = 5 + 10, 50 = 5×10 et 30 = 5 + 25, 125 = 5×25. D’où pour deux étapes avant S1 : {5, 10, 30, 30, 125, 153} et {5, 15, 25, 30, 50, 153}.
Pour 3 étapes avant S1 : {5, 5, 10, 25, 30, 153} : puis la seule possibilité est 5 + 5 = 10, 5×5 = 25, d’où pour 4 étapes avant S1 : {5, 5, 5, 5, 30, 153}. Je n’ai pas pu aller au-delà.
2) Pour la suite S3, des factorisations conduisent à associer 630 à 213 (provenant de 3 et 210), de même que 324 et 60 (provenant de 54 et 6).
Les décompositions de 27 et 1960 ne permettent de les associer à aucun des autres nombres. Il n’apparaît pas possible de remonter au-delà.
3) Pour la suite S2, des factorisations conduisent à associer les produits 15840, 1372, 245 respectivement aux sommes 252, 203, 42. Poursuivant, on peut dresser le tableau suivant, où chaque ligne donne la somme (à gauche) et le produit (à droite) des entiers inscrits dans les mêmes colonnes juste au-dessus. Neuf étapes, en partie interchangeables, conduisent deS0 àS2.
1 2 3 4 5 6
7 12
7 10
7 6
22 120
28 132
252 15840 35 196
42 245
203 1372
