E559. Remonter à la source
Une suite S0 est définie par les six entiers 1,2,3,4,5,6 . On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus aussi longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs. Parmi les trois suites S1 : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} et S3 :{27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S0.Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Solution proposée par David Amar
Il est souvent plus facile dans ce genre de problèmes de partir de la fin. Considérons un ensemble, on sait que deux nombres sont la somme et le produit de 2 nombres précédemment dans la liste, qu’ils
remplacent.
On peut savoir si 2 nombres sont effectivement la somme et le produit de deux autres en résolvant l’équation du second degré
On remarque ainsi que pour , seuls les paires et peuvent avoir un antécédent dans notre petit jeu ; mais quel que soit celui qu’on décompose en premier, il ne reste que l’autre comme possibilité et on arrive tout de suite à un cas impossible.
On procède de même pour . C’est un poil plus long, mais pas trop quand même. On arrive vite (à la 4ème opération) à un autre cas impossible.
Reste donc comme seule possibilité restante. Essayons alors de reconstituer les étapes. Cela se fait assez vite, car il se trouve que l’ordre des opérations sont assez souvent interchangeable.
On trouve : (1,2,3,4,5,6) (1,3,4,6,7,10) (1,6,7,7,10,12) (6,7,7,7,10,12) (6,7,7,7,22,120) (7,7,7,28,120,132) (7,7,35,120,132,196) (7,42,120,132,196,245) (42,120,132,203,245,1372) (42,203,245,252,1372,15840)
