E441. Et il n’en reste que deux
Pb n°1
Une stratégie gagnante pour Zig est d’effacer les 9 nombres 47 à 55, inutiles puisque ne permettant pas d’obtenird > 55 avec les nombres en jeu. Il reste alors 46 paires {x, x+ 55} avec 1 6 x 6 46. Puce efface 0 6 p 6 4 paires complètes et 9−2ppaires à moitié. Zig efface alors l’autre moitié, et pautres paires complètes. Ainsi exactement 9 paires ont été entièrement effacées. Après avoir répété 5 fois cette stratégie, il reste nécessairement 46−9×5 = 1 paire de différence 55, favorable à Zig.
Pb n°2
En raisonnant modulo 5, toutes les classes d’équivalence ont 5 représentants (dans la suite on omettra « représentant » par souci de lisibilité), sauf 1 et 2 qui en ont un de plus.
Voici une stratégie gagnante pour Puce en effaçant d’abord 0.
Si Zig efface 3 (resp. 4), alors Puce efface 2 (resp. 1). Il reste toujours un 1 (resp.
2) de plus que 4 (resp. 3), ainsi que quatre 0. A un moment donné, Zig doit donc effacer pour la première fois 0, 1 ou 2. S’il s’agit de :
– 1 (resp. 2), alors Puce élimine 2 (resp. 1)
– 0, alors Puce élimine 1 ; lorsque Zig efface plus tard 0 (resp. 2) - il reste autant de 1 que 4, un 2 de plus que 3, et trois 0 - alors Puce élimine 2 (resp. 0)
Dans les 2 cas, il reste autant de 1 (resp. 2) que de 4 (resp. 3) et quatre (cas 1) ou deux (cas 2) 0. Ainsi le reste du temps Puce répond systématiquement l’opposé modulo 5, lui assurant ainsi la victoire finale.
1
