E441. Et il n'en reste que deux
Pb n°1: Zig et Puce effacent à tour de rôle 9 nombres de la suite des entiers naturels 1, 2, 3, ...., 101 jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux. On désigne par d la différence positive entre ces deux nombres.
Si d > 54, Zig, qui joue le premier, reçoit (d – 54) euros de la part de Puce.
Si d = 54, match nul et
Si d < 54 Zig verse (54 – d) euros à Puce.
A votre avis, qui a l'avantage ?
Pb n°2: Zig et Puce effacent à tour de rôle un nombre de la séquence 1, 2, ...., 27 jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux. Puce qui joue le premier est le vainqueur si la somme des deux nombres restants est divisible par 5. A contrario, c’est Zig qui est le vainqueur.
Lequel des deux joueurs a une stratégie gagnante ?
Solution proposée par Paul Voyer Pb N° 1 :
Zig joue 6 fois, il prendra 54 nombres, Puce 5 fois, il prendra 45 nombres.
Zig a intérêt à réduire d'aussi peu que possible l'écart entre les nombres restants.
Il prendra donc toujours les 9 "centraux", soit au premier tour les nombres 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55.
Puce a intérêt à réduire au maximum cet écart.
Il prendra donc toujours les extrémités, réduisant chaque fois l'écart maxi-mini d'au moins 9, soit au premier tour 1, 2, 3, 4, 101, 100, 99, 98 et 97 (choix sans importance entre 5 et 97).
Au deuxième tour, Zig "voit" la plage de 42 nombres 5 à 46 et la plage de 41 nombres de 56 à 96.
Il prendra les nombres centraux 43, 44, 45, 46, 56, 57, 58, 59, et (42 ou 60).
C'est dans ce choix entre 42 et 60 que réside sa stratégie.
Il peut soit rééquilibrer les plages en prenant 42, soit augmenter le déséquilibre en prenant 60.
S'il choisit de rééquilibrer à chaque fois, le scénario sera le suivant :
Au deuxième tour, Puce voit les 37 nombres 5 à 41, et les 37 de 60 à 96.
Il prendra 5, 6, 7, 8, 92, 93, 94, 95, 96, choix sans importance entre 9 et 92.
Au troisième tour, Zig voit les 33 nombres 9 à 41 et les 32 de 60 à 91.
Il prendra 37, 38, 39, 40, 41, 60, 61, 62, 63.
Puce voit les 28 nombres 9 à 36 et les 28 de 64 à 91.
Il prendra 9, 10, 11, 12, 87, 88, 89, 90, 91, choix sans importance entre 13 et 87
Au quatrième tour, Zig voit les 24 nombres 13 à 36 et les 23 de 64 à 86.
Il prendra 32, 33, 34, 35, 36, 64, 65, 66, 67
Puce voit les 19 nombres 13 à 31 et les 19 de 68 à 86.
Il prendra 13, 14, 15, 16, 82, 83, 84, 85, 86, choix sans importance entre 17 et 82 Au cinquième tour, Zig voit les 15 nombres 17 à 31 et les 14 de 68 à 81.
Il prendra 27, 28, 29, 30, 31, 68, 69, 70, 71
Puce voit les 10 nombres 17 à 26 et les 10 de 72 à 81.
Il prendra 17, 18, 19, 20, 77, 78, 79, 80, 81, choix sans importance entre 21 et 77
Au sixième tour, Zig voit les 6 nombres 21 à 26 et les 5 de 76 à 76 En prenant les 9 centraux, il laisse 21 et 76, d=76-21=55, il gagne 1 euro.
Zig a une stratégie gagnante.
Solution Pb N° 2 :
Pour simplifier, nous raisonnerons dans la suite sur les nombres modulo 5, disons qu'au départ il y a 6 nombres "1", 6 nombres "2", 5 nombres "3", 5 nombres "4" et 5 nombres "5", soit 27 nombres, dont la somme modulo 5 est 3.
Il existe 3 types de nombres :
- le nombre 5, qui est neutre modulo 5 (joker), il y en 5 au départ.
- les nombres 1 et 2, qui doivent être associés à 4 et 3 respectivement pour faire 5, il y en a 6 au départ,
- les nombres 3 et 4, qui doivent être associés à 2 et 1 respectivement pour faire 5, il y en a 5 au départ,
Puce joue 13 fois et commence.
Zig jouera 12 fois.
Puce a la stratégie gagnante suivante :
Puce prend "1". (ou "2", la suite serait similaire) Il reste alors 26 nombres, que l'on peut appairer :
5 couples 1-4 5 couples 2-3 2 couples 5-5
le dernier "2" et un "5"
- Tant que Zig prend dans un couple, Puce répondra en prenant le complément dans le couple, conservant la structure en couples avec un couple de moins.
- Si Zig prend le dernier "2", il ne reste plus de "3", Puce a gagné en prenant "5" (il en reste au moins un) car il ne laissera plus que des couples (1-4) et (5-5) valant 0 modulo 5, et Puce laissera à son dernier coup l'un de ces couples.
- Si Zig prend le dernier "5", Puce a gagné en prenant "2" (il en reste au moins un) car il ne laissera que des couples valant 0 modulo 5, et Puce laissera à son dernier coup l'un de ces couples.
