E441. Et il n'en reste que deux
Solution proposée par Philippe Bertran Pb n° 1
Zig commence en barrant les nombres 47 à 55. Il reste donc deux groupes de 46 nombres : 1 à 46 (groupe A) et 56 à 101 (groupe B), et chaque joueur a encore 5 coups à jouer en
commençant par Puce.
Au coup i, Puce barre xi nombres du groupe A et (9 – xi) nombres du groupe B. La stratégie gagnante pour Zig consiste à riposter en barrant les (9 – xi) plus grands nombres restants de A et les xi plus petits nombres restants de B.
A la fin de la partie, 45 nombres de A et 45 nombres de B auront été barrés. Il reste donc un nombre a de A et un nombre b de B.
Zig a barré (9 - x1) + (9 - x2) + … +(9 - x5) nombres de A, soit 45 – (x1 + x2 + ... + x5) nombres qui étaient toujours les plus grands de ceux qui restaient dans ce groupe. Le plus grand nombre non barré de A est donc au maximum 46 – [45 – (x1 + x2 + ... + x5)]. Par conséquent : 1 + (x1 + x2 + ... + x5) ≥ a (1)
De même, Zig a barré (x1 + x2 + ... + x5) nombres de B qui étaient toujours les plus petits de ceux qui restaient dans ce groupe. Le plus petit nombre non barré de B est donc au minimum 56 + (x1 + x2 + ... + x5). Par conséquent : b ≥ 56 + (x1 + x2 + ... + x5) (2)
En additionnant (1) et (2) membre à membre, on obtient b – a ≥ 55 .
Il en résulte qu’en appliquant cette stratégie, Zig est certain de gagner au moins un euro. La règle avantage donc Zig.
Pb n° 2
Parmi les nombres de 1 à 27, il y a :
5 nombres congrus à 0 (mod 5) qu’on appellera des 0 6 nombres congrus à 1 (mod 5) qu’on appellera des 1 6 nombres congrus à 2 (mod 5) qu’on appellera des 2 5 nombres congrus à 3 (mod 5) qu’on appellera des 3 5 nombres congrus à 4 (mod 5) qu’on appellera des 4
Puce gagnera s’il reste à la fin deux 0, ou un 1 et un 4, ou un 2 et un 3. Dans le cas contraire, c’est Zig qui gagnera. Nous allons montrer que Puce, qui commence et qui finit, a une stratégie gagnante. Pour cela, nous distinguerons trois phases de jeu.
1e phase
P barre un 1 et laisse donc à Zig : 5 0, 5 1, 6 2, 5 3 et 5 4.
2e phase
Après chaque coup de Zig, Puce barre le complément à 5 (par exemple, si Z barre un 2, Puce barre un 3, si Z barre un 0, Puce barre un 0). Il laisse donc à Zig : (2p + 1) 0, q 1, (r + 1) 2, r 3 et q 4.
Puce applique cette stratégie tant que cela lui permet de laisser à Zig au moins trois 0, un 1, un 2 et un 4 , c'est-à-dire tant que ça permet d’avoir p ≥ 1, q ≥ 1 et r ≥ 1 .
Quand cela n’est plus possible, ce qui peut donc arriver dans trois cas de figure, on entre dans la 3e phase.
3e phase 1er cas
La 2e phase se termine parce que Puce a laissé à Zig : 3 0, q 1, (r + 1) 2, r 3 et q 4 et que Zig a barré un 0. (Si Puce barrait un 0 en appliquant encore la stratégie du complément à 5, on arriverait à p = 0 , ce qui est contraire à l’exigence pour rester en 2e phase).
Alors, Puce barre un 2, ce qui laisse à Zig : 2 0, q 1, r 2, r 3 et q 4 ; il applique ensuite la stratégie du complément à 5 et est sûr d’arriver à deux 0, ou un 1 et un 4, ou un 2 et un 3 et donc de gagner.
2e cas
La 2e phase se termine parce que Puce a laissé à Zig : (2p + 1) 0, 1 1, (r + 1) 2, r 3 et 1 4 et que Zig a barré le dernier 1 (ou le dernier 4).
Alors Puce barre le dernier 4 (ou le dernier 1), ce qui laisse à Zig : (2p + 1) 0, (r + 1) 2 et r 3 . Si Zig barre un 0, Puce barre un 2, ce qui laisse à Zig : 2p 0, r 2 et r 3 . Puis Puce applique la stratégie du complément à 5 et est sûr d’arriver à deux 0, ou un 2 et un 3 et donc de gagner.
Si Zig barre un 2, Puce barre un 0 et l’on est ramené au cas précédent.
Si Zig barre un 3, Puce barre un 2 et on est ramené à une configuration analogue sauf si r = 1. Dans ce dernier cas, une fois que Zig a barré le dernier 3, Puce est face à
(2p + 1) 0 et deux 2 (p ≥ 1). Puce barre alors un des deux 2 et laisse Zig face à (2p + 1) 0 et un 2 . Si Zig barre un 0, Puce barre le 2 et réciproquement. Il ne reste alors que des 0 et Puce est sûr de gagner.
3e cas
La 2e phase se termine parce que Puce a laissé à Zig : (2p + 1) 0, q 1, 2 2, 1 3 et q 4 et que Zig a barré un des deux 2 ou le dernier 3.
Alors Puce barre le complément à 5 ce qui laisse à Zig : (2p + 1) 0, q 1, 1 2 et q 4 (p ≥ 1 et q ≥ 1).
Si Zig barre un 0, Puce barre le 2 et réciproquement, laissant à Zig : 2p 0, q 1 et q 4 ; ensuite, Puce applique la stratégie du complément à 5 et est sûr d’arriver à deux 0, ou un 1 et un 4 et donc de gagner.
Si Zig barre un 1, Puce barre un 4 et réciproquement et l’on est ramené à une configuration analogue sauf si q = 1. Dans ce dernier cas, Zig se trouve face à : (2p + 1) 0 et un 2 (avec p ≥ 1). Alors si Zig barre un 0, Puce barre le dernier 2 et réciproquement. Il ne reste alors que des 0 et Puce est sûr de gagner.
Donc dans tous les cas, Puce est sûr de pouvoir gagner.
