E441. Et il n'en reste que deux
Pb n°1: Zig et Puce effacent à tour de rôle 9 nombres de la suite des entiers naturels
1,2,3,....,101 jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux.On désigne par d la différence positive entre ces deux nombres. Si d > 54, Zig qui joue le premier reçoit d - 54 euros de la part de Puce. Si d = 54, match nul et si d < 54 Zig verse 54 - d euros à Puce. A votre avis, qui a l'avantage ?
Pn n°2: Zig et Puce effacent à tour de rôle un nombre de la séquence 1,2,....,27 jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux. Puce qui joue le premier est le vainqueur si la somme des deux nombres restants est divisible par 5. A contrario, c’est Zig qui est le vainqueur. Lequel des deux joueurs a une stratégie gagnante ?
Solution proposée par Antoine Vanney
Pb n°1 :
Il y a 11 coups à jouer, 6 pour Zig et 5 pour Puce. Notons que si Puce commence et joue 6 coups, il élimine 54 numéros, donc il est sûr de gagner en éliminant par exemple les 54 plus grands. Zig commençant, Puce en élimine 45, l’écart maximum est donc 56-1=55 (si Puce élimine les 45 plus grands).
Zig peut s’assurer d’atteindre un écart de 55 et donc de gagner 1.
Pour cela, il ne doit pas toucher aux extrêmes, c'est-à-dire les 45 plus petits et 45 plus grands, ce qui servirait Puce. Il commence donc par éliminer 47 à 55 ce qui en conserve 46 inférieurs et 46 supérieurs. Ensuite quelle que soit la stratégie de Puce, Zig réagit en enlevant 9 nombres
« au milieu » afin de conserver toujours un écart d’au moins 55 entre les nombres de droite et ceux de gauche.
Par exemple, si Puce enlève de 93 à 101, Zig enlève 38 à 46 ce qui conserve une différence de 55 entre 37 et 92 et entre 1 et 56.
Puce ne peut pas éviter de laisser un nombre à gauche et un à droite, ce qui assure – avec cette stratégie – d’avoir un écart de 55. Par exemple si Puce enlève les 45 plus grands, il restera à la fin 1 et 56.
Pb n°2 :
Il y a 25 coups à jouer, dont 13 pour Puce et 12 pour Zig. Notons que si Zig commence, il joue aussi le dernier coup. Dans ce cas, il est sûr de gagner, si les 3 nombres qui restent ne sont pas des multiples de 5, ce qu’il peut facilement éviter en en enlevant au préalable 3 parmi les 5. Si Zig commence, il est donc sûr de gagner.
Dans le cas qui nous intéresse, Zig peut gagner si, lorsqu’il reste 4 nombres, on ne peut pas les ranger en 2 paires dont la somme est un multiple de 5 et de la même façon, lorsqu’il reste 2n nombres, on ne peut pas les ranger en n paires dont la somme est un multiple de 5.
Au début, on peut constituer 12 paires parmi 27 nombres, ce qui n’est pas suffisant pour Puce.
Par exemple : (1,4),(2,3),(5,10),(6,9),(7,8),(10,15),…(21,24),(22,23) et il reste 3 nombres isolés 25, 26 et 27.
Il existe cependant une stratégie gagnante pour Puce, qui commence par éliminer 26, ce qui ne diminue pas le nombre de paires. A chaque fois que Zig élimine un nombre, Puce élimine l’autre nombre de la paire. Et à chaque coup, Zig doit chercher à détruire une paire (par exemple, il n’enlèvera pas 7, 17 ou 27 avant d’avoir ôté 4 nombres parmi 3,8,13,18,23, car alors Puce enlève 25 et ces 2 coups n’ont détruit aucune paire). Or à un moment donné Zig sera obligé d’enlever un multiple de 5 (pour ne pas se retrouver par exemple dans la situation 5,10,15,20,25,27), dans ce cas Puce répond en enlevant 27 et Zig n’a pas réussi à détruire une paire. Il reste donc 2n nombres avec n paires et Puce s’est assuré la victoire.
