Une suite S₀ est définie par les six entiers 1,2,3,4,5,6 . On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus aussi
longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs. Parmi les trois suites S₁ : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S₂ : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} et S₃ :{27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S₀. Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Pour remonter à la source, il faut trouver dans la suite engendrée deux éléments qui soient produit et somme de deux mêmes entiers. Ainsi dans la suite S2 , 15840=120*132, 252=120+132 ; 1372=7*196, 203=7+196 ; 245=7*35, 42=7+35 : la suite S2 est donc engendrée par {7, 7, 35, 120, 132, 196} ; comme 196=7*28, 35=7+28, on remonte à {7, 7, 7, 28, 120, 132} ; puis 132=6*22, 28=6+22 d’où {6, 7, 7, 7, 22, 120} ; puis 120=10*12, 22=10+12,
donc {6, 7, 7, 7, 10, 12} ; enfin 12=3*4, 7=3+4 ; 10=2*5, 7=2+5 ; 6=1*6, 7=1+6, ce qui fait remonter à la suite S0 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
