E441. Et il n'en reste que deux
Solution proposée par Frédéric Chevallier
PB n° 1 : l’avantage est à celui qui joue le premier.
Il ne peut espérer que gagner + 1. En effet, le premier va jouer 6 fois ( et donc éliminer 54 numéros), le second va jouer 5 fois et éliminer 45 numéros.
La stratégie du second est d’éliminer les numéros les plus élevés. Il va donc retirer les nombres compris entre 57 et 101. Il va donc rester les numéros compris entre 1 et 56.
La stratégie du premier est de retirer les numéros de telle sorte qu’il reste le plus petit possible. Il enlève 54, puis 53 , puis ... jusqu’à 2. Il reste 1 et il gagne 56-1-54 = 1.
Toute tentative du second d’enlever des numéros plus faible se traduit par le fait qu’il laisse des numéros plus élevés dont va tirer parti le premier.
PB n° 2 : c’est le joueur qui commence qui gagne.
La stratégie consiste à faire en sorte, à partir d’un certain rang, que la somme résiduelle reste congrue à 0 modulo 5.
Il y a sur le tapis : 5 nombres = 0 (5) ; 6 nombres = 1 (5) ; 6 nombre = 2 (5) ; 5 nombres = 2 (5) et 5 nombre = 4 (5).
La somme initiale = 3 (5) - (ce qui veut dire congrue à 3 modulo 5).
Le premier joueur va veiller à éliminer les 3 nombres qu’il ne peut lier à trois autres pour que la somme des deux soit = 0 (5), à savoir un multiple de 5 , un nombre =1 (5) et un nombre = 2 (5).
En fonction du déroulement du jeu, il prendre ensuite soin de faire en sorte qu’il y ait toujours parité entre les nombres = 0 (5), les nombres =1 et 4 (5) et les nombres =2 et 3 (5).
