E 559 Remonter à la source
Une suite S0 est définie par les six entiers 1,2,3,4,5,6 . On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus aussi
longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs. Parmi les trois suites S1 : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} et S3 :{27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S0.Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source .
La somme S de deux entiers est toujours inférieure ou égale à leur produit P sauf si l'un des deux nombres est 1. Je prends pour S successivement chacun des 5 plus petits nombres de la suite, je le confronte à P qui est au contraire le plus grand nombre de la suite, jusqu'à trouver un couple (S,P) tel que Δ = S²– 4P soit carré parfait. (**)
Si l'équation x²– Sx+P=0 a des racines entières m et n je remplace S et P par m et n. Et je répète en boucle.
Partant de S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} S=252 et P=15840 sont remplacés par 120 et 132 Dans {42, 120, 132, 203, 245, 1372} S=203 et P=1372 sont remplacés par 7 et 196
Dans {7, 42, 120, 132, 196, 245} S=42 et P=245 sont remplacés par 7 et 35 Dans {7, 7, 35, 120, 132, 196} S=35 et P=196 sont remplacés par 7 et 28 Dans {7, 7, 7, 28, 120, 132} S=28 et P=132 sont remplacés par 6 et 22 Dans {6, 7, 7, 7, 22, 120} S=22 et P=120 sont remplacés par 10 et 12 Dans {6, 7, 7, 7, 10, 12} S= 7 et P= 12 sont remplacés par 3 et 4 Dans {3, 4, 6, 7, 7, 10} S= 7 et P= 10 sont remplacés par 2 et 5 Dans {2, 3, 4, 5, 6, 7} S= 6 et P= 7 sont remplacés par 1 et 6 On trouve la source S0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(**) Si aucun des 5 plus petits nombres de la suite ne s'adapte au 6ème nombre, on peut tenter de prendre pour S successivement chacun des 4 plus petits nombres pour l'adapter au 5ème, ou bien encore chacun des 3 plus petits pour l'adapter au 4éme, etc..
Si on part de S3 ={27, 60, 213, 324, 630, 1960},on ne trouve aucune valeur S convenable pour l'associer à 1960, mais on peut remplacer 213 et 630 par 3 et 210.
Dans {3, 27, 60, 210, 324, 1960} on ne trouve aucune valeur S convenable pour l'associer à 1960, mais on peut remplacer 60 et 324 par 6 et 54.
Dans {3, 6, 27, 54, 210, 1960} on ne peut plus remonter.
Si on part de S1 ={15, 50, 60, 125, 153, 900}, on peut remplacer S=60 et P=900 par 30 et 30 Dans {15, 30, 30, 50, 125, 153} on ne trouve aucune valeur S convenable pour l'associer à 153, mais on peut remplacer S=30 et P=125 par 5 et 25.
Dans {5, 15, 25, 30, 50, 153} aucune valeur S convenable pour l'associer à 153, mais on peut remplacer S=15 et P=50 par 5 et 10.
Dans {5, 5, 10, 25, 30, 153} S=10 et P=25 sont remplacés par 5 et 5 Dans {5, 5, 5, 5, 30, 153} on ne peut plus remonter.
Parmi les trois suites S1, S2 et S3 , seule S2 a pour source S0 .
