E10226. Une suite qui se mord la queue
Une suite de nombres r´eels un est d´efinie par la donn´ee de u0, u1 et la relation de r´ecurrence
un+1=|un| −un−1.
Montrer qu’elle est p´eriodique.
Solution
J’observe d’abord qu’il n’y a pas trois termes n´egatifs cons´ecutifs : siun−1 ≤0,un+1 >0 (j’´ecarte le cas trivial o`u tous les termes sont nuls).
De mˆeme, il n’y a pas quatre termes positifs cons´ecutifs : siun−2 etun−1≥0,un≤un−1 etun+1 ≤0.
Je peux donc trouver, quelque part dans la suite, deux termes cons´ecutifs
−a etbo`u a, b≥0. La suite se poursuit apr`es−a, bpar a+b, a,−b, b−apuis, selon le signe dea−b
2b−a, b, a−b,−a, bsi a−b≤0, ou a,2a−b, a−b,−a, b sia−b≥0.
On retrouve la s´equence−a, b`a 9 termes de distance, engendrant une suite p´eriodique de p´eriode 9.
La relation de r´ecurrence ´etant la mˆeme dans le sens r´etrograde un−1=|un| −un+1,
il en d´ecoule que la suite est p´eriodique d`es son d´ebut : sin >0 est le plus petit indice tel que un=un+9, on doit avoir un−1 6=un+8, mais
un−1=|un| −un+1=|un+9| −un+10=un+8, contradiction.
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