Sup PCSI2 — Contrˆole 2007/05
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 : ´ etude d’une suite de r´ eels (EDHEC 1999 option scientifique)
◮Pourn∈N, notons gn: x>n7→
Z x
n
exp(t2)dt.
Q1 Montrez que gn est d´erivable sur [n,+∞[ et explicitezgn′(x).
Q2 Quel est le sens de variation degn?
Q3 Fixonsn∈N. Quelle est la limite de gn(x) lorsquextend vers +∞?
Q4 Montrez que, pour chaque n ∈N, l’´equation gn(x) = 1 poss`ede une et une seule solution dans l’intervalle [n,+∞[. Cette solution sera not´eexn dans la suite.
Q5 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralxn?
◮Notonsun=xn−n.
Q6 ⋆ Pourn∈N, prouvez l’encadrement exp(−xn2)6un6exp(−n2).
Q7 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralun? Q8 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralnun?
Q9 ⋆ En utilisant l’encadrement ´etabli `a la question 6, prouvez queunest ´equivalent `a exp(−n2) lorsquentend vers l’infini.
Exercice 2 : QCM sur les fonctions
◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, preuve ou contre-exemple `a l’appui !
◮Toutes les fonctions consid´er´ees sont d´efinies surRentier.
◮Si vous exhibez une fonction servant de contre-exemple, elle devra ˆetre d´efinie surRentier.
◮Rappel : soitk>0 ;f estk-lipschitzienne si¯
¯f(x)−f(y)¯
¯6k|x−y|, et ce quels que soient les r´eels xety.
f estlipschitzienne s’il existe unk>0 tel quef soitk-lipschitzienne.
Q1 Sif et f gsont born´ees, alors la fonctiong est born´ee.
Q2 ⋆ Sif +get f gsont born´ees, alors les fonctionsf etg sont born´eee.
Q3 Sif et gsont strictement monotones, alors f+g est strictement monotone.
Q4 Sif et gsont strictement monotones, alors f◦g est strictement monotone.
Q5 ⋆ Sif est d´erivable, et sif′ est born´ee, alorsf est lipschitzienne.
Q6 Sif(x)−−−−→
x→+∞ +∞etg(x)−−−−→
x→+∞ +∞, alorsf(x)g(x)−−−−→
x→+∞ +∞.
Q7 ⋆⋆ Si f(x)g(x)−−−−→
x→+∞ +∞, alorsf(x)−−−−→
x→+∞ +∞oug(x)−−−−→
x→+∞ +∞(ou les deux).
Tournez S.V.P.
Exercice 3 (HEC 2005, option LSH)
Q1 Pourt >0, d´emontrez l’in´egalit´e ln(t)6t−1.
◮Notonsf : t >07→ 1
t−ln(t). La question pr´ec´edente nous assure quef est une fonction de classeC∞ sur R∗+.
Q2 Montrez que f(x) poss`ede une limiteαfinie quandxtend vers 0+.
◮Nous consid´ererons d´esormais quef a ´et´e prolong´ee par continuit´e `a droite de 0, en posantf(0) =α.
Q3 f(x) poss`ede-t-elle une limite (finie ou infinie) quandxtend vers +∞? Q4 Montrez que f est d´erivable surR∗+ et explicitez f′(x).
Q5 f est-elle d´erivable `a droite de 0 ?
Q6 ´Etudiez rapidement les variations def et donnez l’allure de sa courbe repr´esentative.
Q7 Pourx >0, justifiez l’existence de l’int´egraleJ(x) = Z 2x
x
f(t)dt.
◮Nous venons de d´efinir une fonctionJ deR∗+ dansR. Q8 Montrez que J est d´erivable surR∗+, et explicitezJ′(x).
Q9 Dressez le tableau des variations deJ. Q10 Pourx >0, calculez
Z 2x
x
dt t . Q11 Montrez quet3/2³
f(t)−1 t
´tend vers 0 lorsquettend vers +∞.
Q12 En d´eduire que Z 2x
x
³
f(t)−1 t
´
dt−−−−→
x→+∞ 0.
Q13 Montrez queJ(x) poss`ede une limiteλlorsque xtend vers +∞. D´eterminez la valeur deλ.
Q14 Montrez queJ poss`ede une limiteℓ`a droite de 0.
◮Nous prolongeons par continuit´e `a droite de 0 la fonctionJ, en d´ecidant queJ(0) =ℓ.
Q15 La fonctionJ ainsi prolong´ee est-elle d´erivable `a droite de 0 ? Q16 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative deJ.
[Contr^ole 2007/05] Compos´e le 12 janvier 2008
