Sup PCSI2 — Contrˆole 2001/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : questions diverses
◮Les questions de cet exercice sont totalement ind´ependantes. Elles doivent n´eanmoins ˆetre r´edig´ees sur une copie s´epar´ee (plusieurs, au besoin).
Q1 Calculez l’inverse de la matrice qui vous est attribu´ee sur la feuille annex´ee.
Q2 Donnez un ´equivalentsimple, quandxtend vers 0, de l’expression qui vous est attribu´ee sur la feuille annex´ee.
Indication: tan(x) =x+x3 3 +2x5
15 +o(x5).
Q3 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Sn= X
06k6n
n2−k2
n3 exp(−k/n).
Q4 Calculez I= Z π/2
0
cos3(x) sin3(x)
1 + sin2(x) dx. Indication: effectuez un adroit changement de variable !
Exercice 2 (DEUG A1/A2 1
`ereann´ ee, Bordeaux I, juin 1977)
◮Soient K un corps et n un naturel non nul. Soient i et j deux ´el´ements de [[1,n]]. Notons Ωi,j la matrice carr´ee d’ordrend´efinie par (Ωi,j)ℓ,k=δi,ℓδj,k pour tousj et kappartenant `a [[1,n]]. Nous savons que lesn2 matrices ainsi d´efinies forment une base deMn(K).
◮La matrice identit´e d’ordrenest not´ee In. En particulier, In= X
16i6n
Ωi,i.
Q1 ´Enoncez et prouvez la formule donnant la valeur de Ωi,jΩp,q.
◮SoientAet B deux ´el´ements deMn(K). Notons [A, B] =AB−BA.
Q2 Que pouvez-vous dire de la trace de [A, B] ? Q3 Donnez une expression de [Ωi,j,Ωp,q].
◮NotonsC={AB−BA|A, B∈ Mn(K)}.
Q4 Montrez que sii6=j, alors Ωi,j∈ C.
Q5 Montrez que Ωi,i−Ωj,j ∈ C.
◮NotonsVle s.e.v. de Mn(K) engendr´e parC.
Q6 Que pouvez-vous dire de la trace d’un ´el´ement deV? Q7 ⋆ ⋆ ⋆ Quelle est la dimension deV?
Q8 Exhibez un suppl´ementaire tr`es simple deV.
Tournez S.V.P.
Exercice 3 (DEUG A1 1
`ereann´ ee, Perpignan 1977)
◮Soitf ∈ C(R) ; nous lui associonsg: x∈R7→
Z x
0
tf(t)dt.
Q1 Justifiez l’existence deg.
Q2 Montrez que gest de classeC1 surR.
Q3 Prouvez l’existence deg′′(0) et calculez sa valeur.
◮NotonsTl’application qui, `af ∈ C(R), associeg.
Q4 Parmi les trois notations suivantes, pr´ecisez lesquelles ont un sens :¡ T(f)¢
(x) ;T(f)(x) ;T¡ f(x)¢
. Q5 Montrez que Test un endomorphisme deC(R).
Q6 Test-il surjectif ? Q7 Test-il injectif ?
Q8 Montrez que C∞(R) est stable parT.
Q9 Explicitez T(arctan).
Q10 Soitg: t∈R7→tarctan(t). ExplicitezT(g).
Q11 Que pouvez-vous dire deT(f) lorsquef est paire ? Et lorsquef est impaire ?
Q12 Soientf ∈ C(R) etα∈R∗. Notonsh: t∈R7→f(αt). Quelle relation existe-t-il entreT(f) et T(h) ? Q13 ⋆ ⋆ ⋆ Montrez qu’il existe une et une seule fonctionf v´erifiantf(x)−T(f)(x) = 1 pour tout r´eel x.
[Contr^ole 2001/07] Compos´e le 11 juin 2008
