E559 – Remonter à la source
Une suite S0 est définie par les six entiers 1,2,3,4,5,6 . On efface deux entiers quelconques a et b et on les remplace par leur somme a + b et leur produit ab. En poursuivant le processus aussi longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs.
Parmi les trois suites S1 : {15, 50, 60, 125, 153, 900}, S2 : {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} et S3 :{27, 60, 213, 324, 630, 1960}, une seule a pour source S0.Laquelle ? Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Solution de Jean Nicot
Les termes de S1, sauf 153, sont tous multiples de 5. Sur la suite S0, effectuons toutes les opérations a+b et ab modulo 5. S0= 1,2,3,4,0,1
On peut supposer a <= b Si a=0 a+b=b ab=0 Si a=b=1 a+b=2 ab=1 Si a=b=2 a+b=ab=4 Si a=b=3 a+b=1 ab=4 Si a=b=4 a+b=3 ab=1 Si a=1 b=2 a+b=3 ab=2 Si a=1 b=3 a+b=4 ab=3 Si a=1 b=4 a+b=0 ab=4 <<<
Si a=2 b=3 a+b=0 ab=1 <<<
Si a=2 b=4 a+b=1 ab=1 Si a=3 b=4 a+b=2 ab=2
Une opération fait au mieux apparaître un seul multiple de 5 en plus, donc dans S0, après n opérations, il restera toujours au moins un entier non multiple de 5 qui sera multiple de 5 + 1 ou +4, mais pas multiple de 5 +3 comme 153. Donc S1 ne convient pas.
De même, tous les entiers de S3, sauf 1960, sont multiples de 3. Effectuons sur S0 les opérations a+b et ab modulo 3. Alors S0 = 1,2,0,1,2,0
Si a=0 a+b=b ab=0 Si a=b=1 a+b=2 et ab=1 Si a=b=2 a+b=ab=1
Si a=1 b=2 a+b=0 ab=2 <<<
Une opération fait au mieux apparaître un seul multiple de 3 en plus, donc dans S0, après n opérations, il restera toujours au moins un entier non multiple de 3 qui sera multiple de 3 + 2, mais pas multiple de 3 +1 comme 1960.
Donc S3 ne convient pas.
S2 = {42, 203, 245, 252, 1372, 15840} ou
S2 = (6x7, 7*29, 5*7², 16*17, 4*73 32*5*9*11)
Le terme 15840 doit résulter d’une multiplication. Quelques essais sur ses facteurs conduisent à 132*120=15840 et 132+120=252
D’où {42, 120, 132, 203, 245, 1372} = [6x7, 3*5*8, 3*4*11, 5*7², 4*73}
1372 devant résulter d’une multiplication, on obtient 7*196=1372 et 7+196=203 D’où {7, 42, 120 132, 196, 245} = {7, 7*6, 3*5*8, 3*4*11, 4*7², 5*7²}
245 peut être le résultat de 7*35, avec 7+35=42
D’où {7, 7, 35, 120, 132, 196} = {7, 7, 5*7, 3*5*8 ,3*4*11, 4*7²}
Avec 196 = 7*28 et 7+28=35 on arrive à
{7, 7 ,7, 28, 120, 132} = {7, 7, 7, 4*7, 3*5*8, 3*4*11}
Avec 132=6*22 et 6+22=28, il vient
{6, 7, 7, 7, 22, 120} = {6, 7, 7, 7, 2*11, 3*5*8} or 120=10*12 et 10+12=22, d’où {6, 7, 7, 7, 10, 12} = {6, 7, 7, 7, 2*5, 3*4} or 12 = 3*4 et 3+4=7
D’où {3, 4, 6, 7, 7, 10} = {3, 4, 6, 7, 7, 2*5} or 10=2*5 et 2+5=7 D’où {2, 3, 4, 5, 6, 7} enfin 1*6=6 et 1+6=7
D’où {1, 2, 3, 4, 5, 6] = S0
