E123. A la recherche de l'irrationnel
On définit la suite des entiers par son premier terme et la formule de récurrence
⌊√ ⌋ dans laquelle ⌊ ⌋ désigne la partie entière par défaut.
Dans un deuxième temps, on détermine la suite des entiers définie pour tout telle que
Démontrer que est le -ième chiffre dans la représentation binaire d’un nombre irrationnel que l’on déterminera.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Terme général de
On remarque tout d’abord que ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ √⌊ ⌋ √ √⌊ ⌋ √⌊ ⌋ ⌊√ ⌋ ⌊√⌊ ⌋⌋
Cela permet d’exprimer la formule de l’énoncé comme suit :
⌊√ ⌋ ⌊√⌊ ⌋⌋ ⌊√ ( ) ⌋ ⌊√ ( )⌋
Démontrons par récurrence que :
⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋
La propriété est vraie au rang 1 car ⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ .
Supposons la propriété vraie au rang et montrons qu’elle est vraie au rang .
⌊√ ( )⌋ ⌊√ (⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ )⌋
Cas pair.
On pose √ ⌊√ ⌋ avec .
⌊√ √ √ ( )⌋ ⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ ⌊√
( √ ) ⌋ √ √
( √ ) √
⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋
Cas impair
On pose √ ⌊√ ⌋ avec , et √ ⌊√ ⌋ où { .
⌊√ √ √ ( )⌋ ⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ ⌊√
√ ⌋ √ √
√ √
( √ ) √
√ √
( √ ) √
⌊√ ⌋ ⌊√ ⌋ Ce qu’il fallait démontrer.
Interprétation de
On calcule grâce au résultat démontré précédemment:
⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋ Et on remarque que :
⌊ √ ⌋ √ ⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋ √ ⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋
⌊ √ ⌋ ⌊ √ ⌋
Donc peut être interprété comme le -ième chiffre binaire du nombre donné par : ∑
∑
⌊ √ ⌋
√ ⌊ √ ⌋ √
⌊ √ ⌋ √ Donc est le -ième chiffre dans la représentation binaire du nombre √ .
